Ecuación funcional

En matemáticas , una ecuación funcional es, en su sentido más amplio, una ecuación en la que una o varias funciones aparecen como incógnitas . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Así, las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones integrales son ecuaciones funcionales. Sin embargo, a menudo se utiliza un significado más restringido, donde una ecuación funcional es una ecuación que relaciona varios valores de la misma función. Por ejemplo, las funciones logarítmicas se caracterizan esencialmente por la ecuación funcional logarítmica .${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y)}$.​

Si se supone que el dominio de la función desconocida son los números naturales , la función generalmente se considera una sucesión y, en este caso, una ecuación funcional (en el sentido más estricto) se denomina relación de recurrencia . Por lo tanto, el término ecuación funcional se utiliza principalmente para funciones reales y funciones complejas . Además, a menudo se asume una condición de suavidad para las soluciones, ya que sin dicha condición, la mayoría de las ecuaciones funcionales tienen soluciones muy irregulares. Por ejemplo, la función gamma es una función que satisface la ecuación funcional.${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$y el valor inicial${\displaystyle f(1)=1.}$Hay muchas funciones que satisfacen estas condiciones, pero la función gamma es la única que es meromorfa en todo el plano complejo y logarítmicamente convexa para x real y positivo ( teorema de Bohr-Mollerup ).

• Las relaciones de recurrencia pueden verse como ecuaciones funcionales en funciones sobre los números enteros o naturales, en las que las diferencias entre los índices de los términos pueden verse como una aplicación del operador de desplazamiento . Por ejemplo, la relación de recurrencia que define los números de Fibonacci ,${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$, dónde${\displaystyle F_{0}=0}$y${\displaystyle F_{1}=1}$
• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$, que caracteriza las funciones periódicas
• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$, que caracteriza las funciones pares , y asimismo${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$, que caracteriza las funciones impares
• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$, que caracteriza las raíces cuadradas funcionales de una función${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$( ecuación funcional de Cauchy ), satisfecha por aplicaciones lineales . La ecuación puede, dependiendo del axioma de elección , tener también otras soluciones no lineales patológicas, cuya existencia puede probarse con una base de Hamel para los números reales.
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),}$Satisfaceda por todas las funciones exponenciales . Al igual que la ecuación funcional aditiva de Cauchy, esta también puede tener soluciones patológicas y discontinuas.
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)}$, satisfechas por todas las funciones logarítmicas y, sobre argumentos enteros coprimos, por las funciones aditivas.
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)}$, satisfechas por todas las funciones de potencia y, sobre argumentos enteros coprimos, por las funciones multiplicativas
• ${\displaystyle f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]}$(ecuación cuadrática o ley del paralelogramo )
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2}$( Ecuación funcional de Jensen )
• ${\displaystyle g(x+y)+g(xy)=2[g(x)g(y)]}$( ecuación funcional de d'Alembert )
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)}$( Ecuación de Abel )
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)}$( Ecuación de Schröder ).
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}}$( Ecuación de Böttcher ).
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)}$( Ecuación de Julia ).
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)}$(Levi-Civita),
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)}$( fórmula de adición de senos y fórmula de adición de senos hiperbólicos ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)}$( fórmula de adición de cosenos ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)}$( Fórmula de suma de cosenos hiperbólicos ).
• Las leyes conmutativa y asociativa son ecuaciones funcionales. En su forma familiar, la ley asociativa se expresa escribiendo la operación binaria en notación infija ,$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$pero si escribimos f ( a , b ) en lugar de a ○ b entonces la ley asociativa se parece más a una ecuación funcional convencional,$${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).}$$
• La ecuación funcional$${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$se satisface mediante la función zeta de Riemann ^{[ a ]} . La letra mayúscula Γ denota la función gamma .
• La función gamma es la solución única del siguiente sistema de tres ecuaciones:
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          ( Fórmula de reflexión de Euler )
• La ecuación funcional$${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$donde a , b , c , d son números enteros que satisfacen${\displaystyle ad-bc=1}$, es decir${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$= 1, define f como una forma modular de orden k .

Una característica que todos los ejemplos mencionados anteriormente tienen en común es que, en cada caso, dos o más funciones conocidas (a veces la multiplicación por una constante, a veces la suma de dos variables, a veces la función identidad ) están dentro del argumento de las funciones desconocidas que se deben resolver.

Cuando se trata de buscar todas las soluciones, puede ser necesario aplicar condiciones del análisis matemático ; por ejemplo, en el caso de la ecuación de Cauchy mencionada anteriormente, las soluciones que son funciones continuas son las "razonables", mientras que otras soluciones que probablemente no tengan aplicación práctica pueden construirse (utilizando una base de Hamel para los números reales como espacio vectorial sobre los números racionales ). El teorema de Bohr-Mollerup es otro ejemplo bien conocido.

En la programación dinámica se utilizan diversos métodos de aproximación sucesiva ^{[ 4 ] [ 5 ]} para resolver la ecuación funcional de Bellman , incluidos métodos basados ​​en iteraciones de punto fijo .

• Ecuación funcional (función L)
• ecuación de Bellman
• Programación dinámica
• Función implícita
• Ecuación diferencial funcional

• János Aczél , Lecciones sobre ecuaciones funcionales y sus aplicaciones , Academic Press , 1966, reimpreso por Dover Publications, ISBN 0486445232.
• János Aczél y J. Dhombres, Ecuaciones funcionales en varias variables , Cambridge University Press , 1989.
• C. Efthimiou, Introducción a las ecuaciones funcionales , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6 ; en línea .
• Pl. Kannappan, Ecuaciones funcionales y desigualdades con aplicaciones , Springer, 2009.
• Marek Kuczma , Introducción a la teoría de ecuaciones e inecuaciones funcionales , segunda edición, Birkhäuser, 2009.
• Henrik Stetkær, Ecuaciones funcionales en grupos , primera edición, World Scientific Publishing, 2013.
• Christopher G. Small (3 de abril de 2007). Ecuaciones funcionales y cómo resolverlas . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

• Ecuaciones funcionales: Soluciones exactas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones funcionales: Índice en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Texto del Compendio de la OMI (archivado) sobre ecuaciones funcionales en la resolución de problemas.