Hubbard model

The Hubbard model is a simplified model used to describe the transition between conducting and insulating systems.^[1] It is particularly useful in solid-state physics. The model is named after John Hubbard.

The Hubbard model states that each electron experiences competing forces: one pushes it to tunnel to neighboring atoms, while the other pushes it away from its neighbors.^[2] Its Hamiltonian thus has two terms: a kinetic term allowing for tunneling ("hopping") of particles between lattice sites and a potential term reflecting on-site interaction. The particles can either be fermions, as in Hubbard's original work, or bosons, in which case the model is referred to as the "Bose–Hubbard model".

The Hubbard model is a useful approximation for particles in a periodic potential at sufficiently low temperatures, where all the particles may be assumed to be in the lowest Bloch band, and long-range interactions between the particles can be ignored. If interactions between particles at different sites of the lattice are included, the model is often referred to as the "extended Hubbard model". In particular, the Hubbard term, most commonly denoted by ${\displaystyle U}$, is applied in first principles based simulations using density functional theory (DFT). The inclusion of the Hubbard term in DFT simulations is important as this improves the prediction of electron localisation and thus it prevents the incorrect prediction of metallic conduction in insulating systems.^[3]

The Hubbard model introduces short-range interactions between electrons to the tight-binding model, which only includes kinetic energy (a "hopping" term) and interactions with the atoms of the lattice (an "atomic" potential). When the interaction between electrons is strong, the behavior of the Hubbard model can be qualitatively different from a tight-binding model. For example, the Hubbard model correctly predicts the existence of Mott insulators: materials that are insulating due to the strong repulsion between electrons, even though they satisfy the usual criteria for conductors, such as having an odd number of electrons per unit cell.

El modelo fue propuesto originalmente en 1963 para describir los electrones en los sólidos. ^{[ 4 ]} John Hubbard , Martin Gutzwiller y Junjiro Kanamori lo propusieron de forma independiente. ^{[ 2 ]}

Desde entonces, se ha aplicado al estudio de la superconductividad de alta temperatura , el magnetismo cuántico y las ondas de densidad de carga. ^{[ 5 ]}

El modelo de Hubbard se basa en la aproximación de enlace fuerte de la física del estado sólido , que describe partículas que se mueven en un potencial periódico, generalmente denominado red . Para materiales reales, cada sitio de la red podría corresponder a un núcleo iónico, y las partículas serían los electrones de valencia de estos iones. En la aproximación de enlace fuerte, el hamiltoniano se escribe en términos de estados de Wannier , que son estados localizados centrados en cada sitio de la red. Los estados de Wannier en sitios vecinos de la red están acoplados, lo que permite que las partículas de un sitio "salten" a otro. Matemáticamente, la fuerza de este acoplamiento viene dada por una "integral de salto" o "integral de transferencia" entre sitios cercanos. Se dice que el sistema está en el límite de enlace fuerte cuando la fuerza de las integrales de salto disminuye rápidamente con la distancia. Este acoplamiento permite que los estados asociados a cada sitio de la red se hibriden, y los autoestados de dicho sistema cristalino son funciones de Bloch , con los niveles de energía divididos en bandas de energía separadas . El ancho de las bandas depende del valor de la integral de salto.

El modelo de Hubbard introduce una interacción de contacto entre partículas de espín opuesto en cada sitio de la red. Cuando se utiliza el modelo de Hubbard para describir sistemas electrónicos, se espera que estas interacciones sean repulsivas, debido a la interacción de Coulomb apantallada . Sin embargo, también se han considerado con frecuencia interacciones atractivas. La física del modelo de Hubbard está determinada por la competencia entre la intensidad de la integral de salto, que caracteriza la energía cinética del sistema , y ​​la intensidad del término de interacción. Por lo tanto, el modelo de Hubbard puede explicar la transición de metal a aislante en ciertos sistemas interactuantes. Por ejemplo, se ha utilizado para describir óxidos metálicos a medida que se calientan, donde el correspondiente aumento en el espaciado entre vecinos más cercanos reduce la integral de salto hasta el punto en que el potencial local se vuelve dominante. De manera similar, el modelo de Hubbard puede explicar la transición de conductor a aislante en sistemas como los pirocloros de tierras raras a medida que aumenta el número atómico del metal de tierra rara, porque el parámetro de red aumenta (o el ángulo entre los átomos también puede cambiar) a medida que aumenta el número atómico del elemento de tierra rara, cambiando así la importancia relativa de la integral de salto en comparación con la repulsión en el sitio.

El átomo de hidrógeno tiene un electrón, en el llamado orbital s , que puede tener espín hacia arriba (${\displaystyle \uparrow }$) o girar hacia abajo (${\displaystyle \downarrow }$). Este orbital puede ser ocupado por como máximo dos electrones, uno con espín hacia arriba y otro hacia abajo (véase el principio de exclusión de Pauli ).

Según la teoría de bandas , para una cadena unidimensional de átomos de hidrógeno, el orbital 1s forma una banda continua, que estaría exactamente medio llena. Por lo tanto, se predice que la cadena unidimensional de átomos de hidrógeno es un conductor según la teoría de bandas convencional. Esta cadena unidimensional es la única configuración lo suficientemente simple como para resolverse directamente. ^{[ 2 ]}

Pero en el caso de que la distancia entre los átomos de hidrógeno aumente gradualmente, en algún momento la cadena debe convertirse en un aislante.

Expresado utilizando el modelo de Hubbard, el hamiltoniano se compone de dos términos. El primer término describe la energía cinética del sistema, parametrizada por la integral de salto,${\displaystyle t}$El segundo término es la interacción in situ de la fuerza${\displaystyle U}$que representa la repulsión electrónica. Escrito en notación de segunda cuantización , el hamiltoniano de Hubbard toma entonces la forma

${\displaystyle {\hat {H}}=-t\sum _{i,\sigma }\left({\hat {c}}_{i,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i+1,\sigma }+{\hat {c}}_{i+1,\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i,\sigma }\right)+U\sum _{i}{\hat {n}}_{i\uparrow }{\hat {n}}_{i\downarrow },}$

dónde${\displaystyle {\hat {n}}_{i\sigma }={\hat {c}}_{i\sigma }^{\dagger }{\hat {c}}_{i\sigma }}$es el operador de densidad de espín para el espín${\displaystyle \sigma }$en el${\displaystyle i}$-ésimo sitio. El operador de densidad es${\displaystyle {\hat {n}}_{i}={\hat {n}}_{i\uparrow }+{\hat {n}}_{i\downarrow }}$y ocupación de${\displaystyle i}$-ésimo sitio para la función de onda${\displaystyle \Phi }$es${\displaystyle n_{i}=\langle \Phi \vert {\hat {n}}_{i}\vert \Phi \rangle }$. Normalmente${\displaystyle t}$se considera positivo y${\displaystyle U}$Puede ser positivo o negativo, pero se asume que es positivo cuando se consideran sistemas electrónicos.

Sin la contribución del segundo término, el hamiltoniano se reduce a la fórmula de enlace fuerte de la teoría de bandas regular.

Incluir el segundo término produce un modelo realista que también predice una transición de conductor a aislante como la relación de interacción a salto,${\displaystyle U/t}$, es variable. Esta relación puede modificarse, por ejemplo, aumentando el espaciado interatómico, lo que disminuiría la magnitud de${\displaystyle t}$sin afectar${\displaystyle U}$. En el límite donde${\displaystyle U/t\gg 1}$, la cadena simplemente se resuelve en un conjunto de momentos magnéticos aislados . Si${\displaystyle U/t}$Si no es demasiado grande, la integral de solapamiento permite interacciones de superintercambio entre momentos magnéticos vecinos, lo que puede dar lugar a diversas correlaciones magnéticas interesantes, como ferromagnéticas, antiferromagnéticas, etc., dependiendo de los parámetros del modelo. El modelo de Hubbard unidimensional fue resuelto por Lieb y Wu utilizando el ansatz de Bethe . En la década de 1990 se lograron avances esenciales: se descubrió una simetría oculta y se evaluaron la matriz de dispersión , las funciones de correlación , el entrelazamiento termodinámico y cuántico . ^{[ 6 ]}

Si bien el modelo de Hubbard es útil para describir sistemas como una cadena unidimensional de átomos de hidrógeno, los sistemas más complejos pueden experimentar otros efectos que el modelo de Hubbard no contempla. En general, los aislantes se pueden dividir en aislantes de Mott-Hubbard y aislantes de transferencia de carga .

Un aislante Mott-Hubbard puede describirse como

${\displaystyle (\mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-})_{2}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{3+}\mathrm {O} ^{2-}+\mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{2-}.}$

Esto puede considerarse análogo al modelo de Hubbard para cadenas de hidrógeno, donde la conducción entre celdas unitarias puede describirse mediante una integral de transferencia.

Sin embargo, es posible que los electrones presenten otro tipo de comportamiento:

${\displaystyle \mathrm {Ni} ^{2+}\mathrm {O} ^{2-}\longrightarrow \mathrm {Ni} ^{1+}\mathrm {O} ^{1-}.}$

Esto se conoce como transferencia de carga y da como resultado aislantes de transferencia de carga . A diferencia de los aislantes de Mott-Hubbard, la transferencia de electrones ocurre solo dentro de una celda unitaria.

Ambos efectos pueden estar presentes y competir entre sí en sistemas iónicos complejos.

El hecho de que el modelo de Hubbard no se haya resuelto analíticamente en dimensiones arbitrarias ha impulsado una intensa investigación sobre métodos numéricos para estos sistemas de electrones fuertemente correlacionados. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Un objetivo principal de esta investigación es determinar el diagrama de fases a baja temperatura de este modelo, particularmente en dos dimensiones. El tratamiento numérico aproximado del modelo de Hubbard en sistemas finitos es posible mediante diversos métodos.

Uno de estos métodos, el algoritmo de Lanczos , puede producir propiedades estáticas y dinámicas del sistema. Los cálculos del estado fundamental mediante este método requieren el almacenamiento de tres vectores del tamaño del número de estados. El número de estados aumenta exponencialmente con el tamaño del sistema, lo que limita el número de sitios en la red a unos 20 en el hardware del siglo XXI. Con el proyector y el Monte Carlo de campo auxiliar a temperatura finita , existen dos métodos estadísticos que pueden obtener ciertas propiedades del sistema. Para bajas temperaturas, aparecen problemas de convergencia que conducen a un esfuerzo computacional exponencial a medida que disminuye la temperatura debido al llamado problema del signo del fermión .

El modelo de Hubbard puede estudiarse dentro de la teoría de campo medio dinámico (DMFT). Este esquema mapea el hamiltoniano de Hubbard sobre un modelo de impureza de un solo sitio , un mapeo que es formalmente exacto solo en dimensiones infinitas y en dimensiones finitas corresponde al tratamiento exacto de todas las correlaciones puramente locales únicamente. La DMFT permite calcular la función de Green local del modelo de Hubbard para un valor dado.${\displaystyle U}$y una temperatura determinada. Dentro de DMFT, se puede calcular la evolución de la función espectral y observar la aparición de las bandas de Hubbard superior e inferior a medida que aumentan las correlaciones.

Se han utilizado pilas de dicalcogenuros de metales de transición (TMD) bidimensionales heterogéneos para simular geometrías en más de una dimensión. Se apilaron diselenuro de tungsteno y sulfuro de tungsteno. Esto creó una superred de moiré compuesta por superceldas hexagonales (unidades de repetición definidas por la relación entre los dos materiales). Cada supercelda se comporta como si fuera un solo átomo. La distancia entre superceldas es aproximadamente 100 veces mayor que la de los átomos que contienen. Esta mayor distancia reduce drásticamente el efecto túnel de electrones a través de las superceldas. ^{[ 2 ]}

Se pueden utilizar para formar cristales de Wigner . Se pueden conectar electrodos para regular un campo eléctrico . El campo eléctrico controla la cantidad de electrones que llenan cada supercelda. El número de electrones por supercelda determina efectivamente qué "átomo" simula la red. Un electrón/celda se comporta como hidrógeno, dos/celda como helio, etc. A partir de 2022, se podían simular superceldas con hasta ocho electrones ( oxígeno ). Un resultado de la simulación mostró que la diferencia entre metal y aislante es una función continua de la intensidad del campo eléctrico. ^{[ 2 ]}

Un régimen de apilamiento "inverso" permite la creación de un aislante de Chern mediante el efecto Hall cuántico anómalo (donde los bordes del dispositivo actúan como conductor, mientras que el interior actúa como aislante). El dispositivo funcionó a una temperatura de 5 Kelvin , muy superior a la temperatura a la que se había observado el efecto por primera vez. ^{[ 2 ]}

• modelo de impureza de Anderson
• Teorema de Bloch
• Estructura de bandas electrónicas
• Física del estado sólido
• Modelo de Bose-Hubbard
• modelo tJ
• Modelo de Heisenberg (cuántico)
• Teoría del campo medio dinámico
• Criterio de Stoner

• Hubbard, J. (1963). "Correlaciones electrónicas en bandas de energía estrechas". Actas de la Royal Society de Londres . 276 (1365): 238– 257. Bibcode : 1963RSPSA.276..238H . doi : 10.1098/rspa.1963.0204 . JSTOR 2414761. S2CID 35439962 .  
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• Lieb, EH (1995). "El modelo de Hubbard: algunos resultados rigurosos y problemas abiertos". Xi Congreso Internacional de Mp, Int. Press (?) . 1995 : cond–mat/9311033. arXiv : cond-mat/9311033 . Bibcode : 1993cond.mat.11033L .
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