Elementos de Euclides

Los Elementos ( en griego Στοιχεῖα Stoikheîa ) es un tratado matemático que consta de 13 libros atribuidos al matemático griego Euclides c. 300 a. C. Es una colección de definiciones, postulados , proposiciones ( teoremas y construcciones ) y pruebas matemáticas de las proposiciones. Los libros cubren la geometría euclidiana plana y sólida, la teoría elemental de números y las líneas inconmensurables . Elementos es el tratamiento deductivo a gran escala más antiguo existente de las matemáticas. Ha demostrado ser fundamental en el desarrollo de la lógica y la ciencia moderna , y su rigor lógico no fue superado hasta el siglo XIX ^{[ cita requerida ]} .

Los Elementos de Euclides han sido considerados el libro de texto más exitoso ^{[a] [b]} e influyente ^[c] jamás escrito. Fue una de las primeras obras matemáticas que se imprimieron después de la invención de la imprenta y se estima que es la segunda, después de la Biblia, en cuanto a número de ediciones publicadas desde la primera impresión en 1482, ^[1] cifra que supera con creces el millar. ^[d] Durante siglos, cuando el quadrivium se incluyó en el plan de estudios de todos los estudiantes universitarios, se exigía a todos los estudiantes el conocimiento de al menos una parte de los Elementos de Euclides . No fue hasta el siglo XX, cuando su contenido se enseñaba universalmente a través de otros libros de texto escolares, que dejó de considerarse algo que todas las personas educadas habían leído. ^{[ cita requerida ]}

Los eruditos creen que los Elementos son en gran medida una compilación de proposiciones basadas en libros de matemáticos griegos anteriores. ^[3]

Proclo (412-485 d. C.), un matemático griego que vivió unos siete siglos después de Euclides, escribió en su comentario sobre los Elementos : "Euclides, que reunió los Elementos , recogiendo muchos de los teoremas de Eudoxo , perfeccionando muchos de los de Teeteto y también trayendo a una demostración irrefutable las cosas que sólo habían sido probadas de manera algo vaga por sus predecesores".

Pitágoras ( c. 570–495 a. C.) fue probablemente la fuente de la mayoría de los libros I y II, Hipócrates de Quíos ( c. 470–410 a. C., no el más conocido Hipócrates de Cos ) para el libro III, y Eudoxo de Cnido ( c. 408–355 a. C.) para el libro V, mientras que los libros IV, VI, XI y XII probablemente vinieron de otros matemáticos pitagóricos o atenienses. ^[4] Los Elementos pueden haberse basado en un libro de texto anterior de Hipócrates de Quíos, quien también puede haber originado el uso de letras para referirse a figuras. ^[5] También se informa que otras obras similares fueron escritas por Teudio de Magnesia , León y Hermótimo de Colofón. ^{[6] [7]}

En el siglo IV d. C., Teón de Alejandría produjo una edición de Euclides que fue tan ampliamente utilizada que se convirtió en la única fuente sobreviviente hasta el descubrimiento por parte de François Peyrard en 1808 de un manuscrito que no se derivaba del de Teón en el Vaticano . Este manuscrito, el manuscrito de Heiberg , proviene de un taller bizantino alrededor del año 900 y es la base de las ediciones modernas. ^[8] El Papiro Oxirrinco 29 es un fragmento diminuto de un manuscrito aún más antiguo, pero solo contiene el enunciado de una proposición.

Aunque Euclides era conocido por Cicerón , por ejemplo, no existe registro de que el texto haya sido traducido al latín antes de Boecio en el siglo V o VI. ^[2] Los árabes recibieron los Elementos de los bizantinos alrededor de 760; esta versión fue traducida al árabe por Harun al-Rashid ( c. 800). ^[2] El erudito bizantino Arethas encargó la copia de uno de los manuscritos griegos existentes de Euclides a fines del siglo IX. ^[9] Aunque conocido en Bizancio, los Elementos se perdieron en Europa occidental hasta aproximadamente 1120, cuando el monje inglés Adelardo de Bath lo tradujo al latín a partir de una traducción árabe. ^[e] Se hizo un descubrimiento relativamente reciente de una traducción del griego al latín del siglo XII en Palermo, Sicilia. No se conoce el nombre del traductor, excepto que era un estudiante de medicina anónimo de Salerno que estaba visitando Palermo para traducir el Almagesto al latín. El manuscrito de Euclides está existente y bastante completo. ^[11]

Después de la traducción de Adelardo de Bath (conocido como Adelardo I), hubo una oleada de traducciones del árabe. Entre los traductores notables de este período se encuentran Herman de Carintia , que escribió una edición alrededor de 1140, Roberto de Chester (sus manuscritos se conocen colectivamente como Adelardo II, escritos en o antes de 1251), Johannes de Tinemue, ^[12] posiblemente también conocido como Juan de Tynemouth (sus manuscritos se conocen colectivamente como Adelardo III), de finales del siglo XII, y Gerardo de Cremona (en algún momento después de 1120 pero antes de 1187). Los detalles exactos sobre estas traducciones todavía son un área activa de investigación. ^{[13] [ página necesaria ]} Campanus de Novara se basó en gran medida en estas traducciones árabes para crear su edición (en algún momento antes de 1260) que finalmente llegó a dominar las ediciones latinas hasta la disponibilidad de manuscritos griegos en el siglo XVI. Hay más de 100 manuscritos de Campanus anteriores a 1482 todavía disponibles en la actualidad. ^{[14] [15]}

La primera edición impresa apareció en 1482 (basada en la traducción de Campanus), ^[16] y desde entonces ha sido traducida a muchos idiomas y publicada en alrededor de mil ediciones diferentes. La edición griega de Teón fue recuperada y publicada en 1533 ^[17] basada en Paris gr. 2343 y Venetus Marcianus 301. ^[18] En 1570, John Dee proporcionó un "Prefacio matemático" ampliamente respetado, junto con abundantes notas y material complementario, a la primera edición en inglés de Henry Billingsley .

Todavía existen copias del texto griego, algunas de las cuales se encuentran en la Biblioteca Vaticana y en la Biblioteca Bodleiana de Oxford. Los manuscritos disponibles son de calidad variable y siempre están incompletos. Mediante un análisis cuidadoso de las traducciones y los originales, se han formulado hipótesis sobre el contenido del texto original (del que ya no hay copias disponibles).

También son importantes en este proceso los textos antiguos que hacen referencia a los Elementos en sí y a otras teorías matemáticas vigentes en el momento de su redacción. Análisis de este tipo son realizados por J. L. Heiberg y Sir Thomas Little Heath en sus ediciones del texto.

También son importantes los escolios , o anotaciones al texto. Estas adiciones, que a menudo se distinguían del texto principal (según el manuscrito), se fueron acumulando gradualmente con el tiempo a medida que variaban las opiniones sobre lo que merecía explicación o estudio ulterior.

Los Elementos todavía se considera una obra maestra en la aplicación de la lógica a las matemáticas . En el contexto histórico, ha demostrado ser enormemente influyente en muchas áreas de la ciencia . Los científicos Nicolás Copérnico , Johannes Kepler , Galileo Galilei , Albert Einstein y Sir Isaac Newton fueron influenciados por los Elementos y aplicaron su conocimiento de ellos a su trabajo. ^{[19] [20]} Matemáticos y filósofos, como Thomas Hobbes , Baruch Spinoza , Alfred North Whitehead y Bertrand Russell , han intentado crear sus propios "Elementos" fundamentales para sus respectivas disciplinas, adoptando las estructuras deductivas axiomatizadas que introdujo el trabajo de Euclides.

La austera belleza de la geometría euclidiana ha sido vista por muchos en la cultura occidental como un atisbo de un sistema de otro mundo de perfección y certeza. Abraham Lincoln llevaba una copia de Euclides en su alforja y la estudiaba a altas horas de la noche a la luz de una lámpara; contaba que se decía a sí mismo: «Nunca podrás ser un abogado si no entiendes lo que significa demostrar; y dejé mi situación en Springfield , volví a casa de mi padre y me quedé allí hasta que pude dar cualquier proposición de los seis libros de Euclides a primera vista». ^{[21] [22]} Edna St. Vincent Millay escribió en su soneto «Euclides solo ha mirado la Belleza desnuda», «¡Oh hora cegadora, oh santo, día terrible, / Cuando por primera vez brilló en su visión el haz / De luz anatomizada!». Albert Einstein recordaba una copia de los Elementos y una brújula magnética como dos regalos que tuvieron una gran influencia en él cuando era niño, refiriéndose a Euclides como el «pequeño libro sagrado de geometría». ^{[23] [24]}

El éxito de los Elementos se debe principalmente a su presentación lógica de la mayor parte del conocimiento matemático disponible para Euclides. Gran parte del material no es original de él, aunque muchas de las pruebas sí lo son. Sin embargo, el desarrollo sistemático de Euclides de su tema, desde un pequeño conjunto de axiomas hasta resultados profundos, y la coherencia de su enfoque a lo largo de los Elementos , alentaron su uso como libro de texto durante unos 2000 años. Los Elementos todavía influyen en los libros de geometría modernos. Además, su enfoque lógico y axiomático y sus pruebas rigurosas siguen siendo la piedra angular de las matemáticas.

Una de las influencias más notables de Euclides en las matemáticas modernas es la discusión del postulado de las paralelas . En el Libro I, Euclides enumera cinco postulados, el quinto de los cuales estipula

Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.

Este postulado atormentó a los matemáticos durante siglos debido a su aparente complejidad en comparación con los otros cuatro postulados. Se hicieron muchos intentos de demostrar el quinto postulado basándose en los otros cuatro, pero nunca tuvieron éxito. Finalmente, en 1829, el matemático Nikolai Lobachevsky publicó una descripción de la geometría aguda (o geometría hiperbólica ), una geometría que asumía una forma diferente del postulado de las paralelas. De hecho, es posible crear una geometría válida sin el quinto postulado en su totalidad, o con diferentes versiones del quinto postulado ( geometría elíptica ). Si uno toma el quinto postulado como un hecho, el resultado es la geometría euclidiana . ^{[ cita requerida ]}

• El libro 1 contiene 5 postulados (incluido el infame postulado paralelo ) y 5 nociones comunes, y cubre temas importantes de geometría plana como el teorema de Pitágoras , la igualdad de ángulos y áreas , el paralelismo, la suma de los ángulos en un triángulo y la construcción de varias figuras geométricas.
• El libro 2 contiene una serie de lemas relativos a la igualdad de rectángulos y cuadrados, a veces denominada " álgebra geométrica ", y concluye con una construcción de la proporción áurea y una forma de construir un cuadrado igual en área a cualquier figura plana rectilínea.
• El libro 3 trata de los círculos y sus propiedades: búsqueda del centro, ángulos inscritos , tangentes , la potencia de un punto, el teorema de Tales .
• El libro 4 construye el círculo inscrito y el círculo circunscrito de un triángulo, así como polígonos regulares de 4, 5, 6 y 15 lados.
• El libro 5, sobre proporciones de magnitudes , presenta la teoría altamente sofisticada de la proporción probablemente desarrollada por Eudoxo , y prueba propiedades como la "alternancia" (si a  : b  :: c  : d , entonces a  : c  :: b  : d ).
• El libro 6 aplica las proporciones a la geometría plana, especialmente la construcción y reconocimiento de figuras similares .
• El libro 7 trata sobre la teoría elemental de números: divisibilidad , números primos y su relación con los números compuestos , el algoritmo de Euclides para encontrar el máximo común divisor , encontrar el mínimo común múltiplo .
• El libro 8 trata de la construcción y existencia de secuencias geométricas de números enteros.
• El libro 9 aplica los resultados de los dos libros anteriores y da la infinitud de los números primos y la construcción de todos los números pares perfectos .
• El libro 10 demuestra la irracionalidad de las raíces cuadradas de números enteros no cuadrados (p. ej. ) y clasifica las raíces cuadradas de líneas inconmensurables en trece categorías disjuntas. Euclides introduce aquí el término "irracional", que tiene un significado diferente al concepto moderno de números irracionales . También da una fórmula para producir ternas pitagóricas . ^[25]${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• El libro 11 generaliza los resultados del libro 6 a las figuras sólidas: perpendicularidad, paralelismo, volúmenes y semejanza de paralelepípedos .
• El libro 12 estudia en detalle los volúmenes de conos , pirámides y cilindros mediante el método de exhaustación , precursor de la integración , y muestra, por ejemplo, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro correspondiente. Concluye demostrando que el volumen de una esfera es proporcional al cubo de su radio (en lenguaje moderno) aproximando su volumen mediante la unión de muchas pirámides.
• El libro 13 construye los cinco sólidos platónicos regulares inscritos en una esfera y compara las relaciones de sus aristas con el radio de la esfera.

El enfoque axiomático y los métodos constructivos de Euclides tuvieron gran influencia.

Muchas de las proposiciones de Euclides eran constructivas, demostrando la existencia de alguna figura al detallar los pasos que utilizó para construir el objeto utilizando un compás y una regla . Su enfoque constructivo aparece incluso en sus postulados de geometría, ya que el primer y el tercer postulado que establecen la existencia de una línea y un círculo son constructivos. En lugar de afirmar que las líneas y los círculos existen según sus definiciones anteriores, afirma que es posible "construir" una línea y un círculo. También parece que, para utilizar una figura en una de sus pruebas, necesita construirla en una proposición anterior. Por ejemplo, demuestra el teorema de Pitágoras inscribiendo primero un cuadrado en los lados de un triángulo rectángulo, pero solo después de construir un cuadrado en una línea dada una proposición anterior. ^[27]

Como era habitual en los textos matemáticos antiguos, cuando una proposición necesitaba ser demostrada en varios casos diferentes, Euclides solía demostrar sólo uno de ellos (a menudo el más difícil), dejando los demás al lector. Editores posteriores, como Teón, solían interpolar sus propias demostraciones de estos casos.

La presentación de Euclides estaba limitada por las ideas y notaciones matemáticas de uso común en su época, y esto hace que el tratamiento parezca extraño para el lector moderno en algunos lugares. Por ejemplo, no existía la noción de un ángulo mayor que dos ángulos rectos, ^[28] el número 1 a veces se trataba por separado de otros números enteros positivos, y como la multiplicación se trataba geométricamente, no utilizó el producto de más de 3 números diferentes. El tratamiento geométrico de la teoría de números puede haberse debido a que la alternativa habría sido el extremadamente extraño sistema de numeración alejandrino . ^[29]

La presentación de cada resultado se da en una forma estilizada, que, aunque no fue inventada por Euclides, se reconoce como típicamente clásica. Tiene seis partes diferentes: primero está la "enunciación", que establece el resultado en términos generales (es decir, el enunciado de la proposición); luego viene el "planteamiento", que da la figura y denota objetos geométricos particulares mediante letras; luego viene la "definición" o "especificación", que reafirma el enunciado en términos de la figura particular; luego sigue la "construcción" o "maquinaria", en la que la figura original se extiende para presentar la prueba; luego sigue la "prueba" misma; finalmente, la "conclusión" conecta la prueba con el enunciado al establecer las conclusiones específicas extraídas en la prueba, en los términos generales del enunciado. ^[30]

No se da ninguna indicación del método de razonamiento que condujo al resultado, aunque los Datos sí proporcionan instrucciones sobre cómo abordar los tipos de problemas encontrados en los primeros cuatro libros de los Elementos . ^[4] Algunos eruditos han tratado de encontrar fallas en el uso de figuras por parte de Euclides en sus demostraciones, acusándolo de escribir pruebas que dependían de las figuras específicas dibujadas en lugar de la lógica general subyacente, especialmente en lo que respecta a la Proposición II del Libro I. Sin embargo, la prueba original de Euclides de esta proposición es general, válida y no depende de la figura utilizada como ejemplo para ilustrar una configuración dada. ^[31]

Los Elementos de Euclides contienen errores. Algunos de los teoremas fundamentales se demuestran utilizando axiomas que Euclides no enunció explícitamente. Unas pocas demostraciones tienen errores, al basarse en suposiciones que son intuitivas pero no están explícitamente demostradas. El matemático e historiador WW Rouse Ball puso las críticas en perspectiva, señalando que "el hecho de que durante dos mil años [los Elementos ] fuera el libro de texto habitual sobre el tema plantea una fuerte presunción de que no es inadecuado para ese propósito". ^[28]

Editores posteriores han añadido los supuestos axiomáticos implícitos de Euclides en su lista de axiomas formales. ^[32] Por ejemplo, en la primera construcción del Libro 1, Euclides utilizó una premisa que no fue postulada ni probada: que dos círculos con centros a la distancia de su radio se intersectarán en dos puntos. ^[33]

Los errores conocidos de Euclides datan al menos de 1882, cuando Pasch publicó su axioma faltante .

Los primeros intentos de encontrar todos los errores incluyen los axiomas geométricos de Hilbert y los de Tarski . En 2018, Michael Beeson et al. utilizaron asistentes de prueba informáticos para crear un nuevo conjunto de axiomas similares a los de Euclides y generar pruebas que fueran válidas con esos axiomas. ^[34]

Beeson et al. revisaron únicamente el Libro I y encontraron estos errores: axiomas faltantes, axiomas superfluos, lagunas en la lógica (como no demostrar que los puntos eran colineales), teoremas faltantes (como que un ángulo no puede ser menor que sí mismo) y demostraciones completamente malas. Las demostraciones malas estaban en el Libro I, Demostración 7 y en el Libro I, Proposición 9.

No era raro en la antigüedad atribuir a autores célebres obras que no habían sido escritas por ellos. Es por estos medios que los libros apócrifos XIV y XV de los Elementos a veces se incluían en la colección. ^[35] El espurio Libro XIV probablemente fue escrito por Hipsícles sobre la base de un tratado de Apolonio . El libro continúa la comparación de Euclides de los sólidos regulares inscritos en esferas, con el resultado principal siendo que la relación de las superficies del dodecaedro y el icosaedro inscritos en la misma esfera es la misma que la relación de sus volúmenes, siendo la relación $${\displaystyle {\sqrt {\frac {10}{3(5-{\sqrt {5}})}}}={\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{6}}}.}$$

El espurio Libro XV fue escrito probablemente, al menos en parte, por Isidoro de Mileto . Este libro trata temas como el conteo del número de aristas y ángulos sólidos en los sólidos regulares y la determinación de la medida de los ángulos diedros de las caras que se encuentran en una arista. ^[f]

• Siglo IV, Teón de Alejandría , manuscrito existente del año 888 d.C.
• Siglo IX, Pre-Teón Peyrard Vat. gr. 190
• Numerosas ediciones medievales, anteriores a 1482
• Década de 1460, Regiomontanus (incompleto)
• 1482, Erhard Ratdolt (Venecia), editio princeps (en latín) ^{[36] [37]}
• 1533, editio princeps del texto griego de Simon Grynäus ^[38]
• 1557, por Jean Magnien y Pierre de Montdoré  [fr] , revisado por Stephanus Gracilis (solo proposiciones, sin pruebas completas, incluye el original griego y la traducción latina)
• 1572, Edición latina de Commandinus
• 1574, Cristóbal Clavio
• 1883–1888, Johan Ludwig Heiberg

1. 1570, Henry Billingsley
2. 1651, Thomas Rudd
3. 1660, Isaac Barrow
4. 1661, John Leeke y Geo. Serle
5. 1685, William Hallifax
6. 1705, Charles Scarborough
7. 1708, John Keill
8. 1714, W. Whiston
9. 1756, Robert Simson
10. 1781, 1788 James Williamson
11. 1781, William Austin
12. 1795, John Playfair
13. 1826, George Phillips
14. 1828, Dionisio Lardner
15. 1833, Thomas Perronet Thompson
16. 1862, Isaac Todhunter
17. 1908, Thomas Little Heath (revisado en 1926) de la edición de Johan Ludvig Heiberg
18. 1939, R. Catesby Taliaferro

• 1505, Bartolomeo Zamberti  [Delaware] (latín)
• 1543, Nicolo Tartaglia (italiano)
• 1557, Jean Magnien y Pierre de Montdoré, revisado por Stephanus Gracilis (del griego al latín)
• 1558, Johann Scheubel (alemán)
• 1562, Jacob Kündig (alemán)
• 1562, Wilhelm Holtzmann (alemán)
• 1564-1566, Pierre Forcadel  [fr] de Béziers (francés)
• 1572, Commandinus (latín)
• 1575, Commandinus (en italiano)
• 1576, Rodrigo de Zamorano (español)
• 1594, Typographia Medicea (edición de la traducción árabe de La recensión de los "Elementos" de Euclides ^[39] )
• 1604, Jean Errard de Bar-le-Duc (francés)
• 1606, Jan Pieterszoon Dou (holandés)
• 1607, Matteo Ricci , Xu Guangqi (chino)
• 1613, Pietro Cataldi (italiano)
• 1615, Denis Henrion (francés)
• 1617, Frans van Schooten (holandés)
• 1637, L. Carduchi (español)
• 1639, Pierre Hérigone (francés)
• 1651, Heinrich Hoffmann (alemán)
• 1663, Domenico Magni (italiano del latín)
• 1672, Claude François Milliet Dechales (francés)
• 1680, Vitale Giordano (italiano)
• 1689, Jacob Knesa (español)
• 1690, Vincenzo Viviani (italiano)
• 1694, Ant. Ernst Burkh contra Pirckenstein (alemán)
• 1695, Claes Jansz Vooght (holandés)
• 1697, Samuel Reyher (alemán)
• 1702, Hendrik Coets (holandés)
• 1714, Chr. Schessler (alemán)
• Década de 1720, Jagannatha Samrat (sánscrito, basado en la traducción árabe de Nasir al-Din al-Tusi) ^[40]
• 1731, Guido Grandi (abreviatura de italiano)
• 1738, Ivan Satarov (ruso a partir del francés)
• 1744, Mårten Strömer (sueco)
• 1749, Dechales (italiano)
• 1749, antrakitis de Methodios (Μεθόδιος Ανθρακίτης) (griego)
• 1745, Ernest Gottlieb Ziegenbalg (danés)
• 1752, Leonardo Ximenes (italiano)
• 1763, Pibo Steenstra (holandés)
• 1768, Angelo Brunelli (portugués)
• 1773, 1781, JF Lorenz (alemán)
• 1780, Baruch Schick de Shklov (hebreo) ^[41]
• 1789, Pr. Suvoroff nad Yos. Nikitin (ruso a partir del griego)
• 1803, HC Linderup (danés)
• 1804, François Peyrard (francés). Peyrard descubrió en 1808 el Vaticanus Graecus 190 , lo que le permitió proporcionar una primera versión definitiva en 1814-1818.
• 1807, Józef Checo (polaco basado en ediciones en griego, latín e inglés)
• 1807, J. K. F. Hauff (alemán)
• 1818, Vincenzo Flauti (italiano)
• 1820, Benjamín de Lesbos (griego moderno)
• 1828, Joh. Josh e Ign. Hoffmann (alemán)
• 1833, ES Unger (alemán)
• 1836, H. Falk (sueco)
• 1844, 1845, 1859, PR Bråkenhjelm (sueco)
• 1850, FAA Lundgren (sueco)
• 1850, HA Witt y ME Areskong (sueco)
• 1865, Sámuel Brassai (húngaro)
• 1873, Masakuni Yamada (japonés)
• 1880, Vachtchenko-Zakhartchenko (ruso)
• 1897, Thyra Eibe (danés)
• 1901, Max Simon (alemán)
• 1907, František Servít (checo) ^[42]
• 1953, 1958, 1975, Evangelos Stamatis (Ευάγγελος Σταμάτης) (griego moderno)
• 1999, Maja Hudoletnjak Grgić (Libro I-VI) (croata) ^[43]
• 2009, Irineu Bicudo ( portugués )
• 2019, Ali Sinan Sertöz (turco) ^[44]
• 2022, Ján Čižmár (eslovaco)

• 1886, Euclides Libro I Hall & Stevens (inglés)
• 1891,1896, El Euclidiano de Harpur, de Edward Langley y Seys Phillips (inglés)
• 1949, Compañía Henry Regnery (en inglés)

• Elementos de Euclides: los trece libros completos en un volumen , basado en la traducción de Heath, editado por Dana Densmore, et al. Green Lion Press ISBN  1-888009-18-7 .
• Los Elementos: Libros I–XIII – Completo y sin abreviar (2006), Traducido por Sir Thomas Heath, Barnes & Noble ISBN 0-7607-6312-7 . 
• Los trece libros de los Elementos de Euclides , traducción y comentarios de Heath, Thomas L. (1956) en tres volúmenes. Dover Publications. ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3)   
• Geometría plana (Los elementos de Euclides, rediseño) Libros I–VI , basados ​​en la traducción de John Casey, editados por Daniel Callahan, ISBN 978-1977730039 

• Los primeros seis libros de los Elementos de Euclides , editado por Werner Oechslin, Taschen, 2010, ISBN 3836517752 , un facsímil de Byrne (1847). 
• Elementos de Euclides de Oliver Byrne , Art Meets Science, 2022, ISBN 978-1528770439 , un facsímil de Byrne (1847). 
• Elementos de Euclides: Completando la obra de Oliver Byrne, Kronecker Wallis, 2019, un rediseño moderno extendido al resto de los Elementos , lanzado originalmente en Kickstarter .

• Euclid's Elements Redux, Volumen 1 , contiene los libros I a III, basados ​​en la traducción de John Casey. ^[45]
• Euclid's Elements Redux, Volumen 2 , contiene los libros IV al VIII, basados ​​en la traducción de John Casey. ^[45]

• Silla de la novia

• Elementos destacados de ratherthanpaper
• Elementos de Euclides de la Universidad Clark
• Edición multilingüe de Elementa en la Bibliotheca Polyglotta
• Euclides (1997) [c. 300 a. C.]. David E. Joyce (ed.). "Elementos" . Consultado el 30 de agosto de 2006 .En HTML con figuras interactivas basadas en Java.
• Edición bilingüe de Richard Fitzpatrick (PDF de descarga gratuita, composición tipográfica en formato de dos columnas con el original en griego junto a una traducción moderna al inglés; también disponible en versión impresa como ISBN 979-8589564587 ) 
• Traducción al inglés de Heath (HTML, sin las figuras, dominio público) (consultado el 4 de febrero de 2010)
  • Traducción y comentario al inglés de Heath, con las figuras (Google Books): vol. 1, vol. 2, vol. 3, vol. 3 c. 2
• Edición de 1847 de Oliver Byrne (también alojada en archive.org): una versión inusual de Oliver Byrne que utilizó color en lugar de etiquetas como ABC (imágenes de páginas escaneadas, dominio público)
• Versión web adaptada de Euclides de Byrne diseñada por Nicholas Rougeux
• Adaptación en vídeo, animada y explicada por Sandy Bultena, contiene los libros I-VII.
• Los primeros seis libros de los Elementos de John Casey y Euclides escaneados por el Proyecto Gutenberg .
• Leyendo a Euclides – un curso sobre cómo leer a Euclides en el griego original, con traducciones al inglés y comentarios (HTML con figuras)
• El manuscrito de Sir Thomas More
• Traducción latina de Aethelhard de Bath
• Elementos de Euclides – El texto griego original HTML griego
• Archivo histórico del Instituto de Matemáticas Clay : Los trece libros de los Elementos de Euclides copiados por Esteban el Clérigo para Arethas de Patras, en Constantinopla en el año 888 d. C.
• Kitāb Taḥrīr uṣūl li-Ūqlīdis Traducción al árabe de los trece libros de los Elementos de Euclides por Nasīr al-Dīn al-Ṭūsī. Publicado por Medici Oriental Press (también, Typographia Medicea). Facsímil alojado en Islamic Heritage Project.
• Elementos de Euclides Redux, un libro de texto abierto basado en los Elementos
• 1607 Traducciones chinas reimpresas como parte de la Biblioteca Completa de los Cuatro Tesoros , o Siku Quanshu .