modelo de corrección de errores

El primer paso de este método es realizar una prueba previa de las series temporales individuales utilizadas, para confirmar que no son estacionarias . Esto se puede hacer mediante pruebas estándar de raíz unitaria DF y pruebas ADF (para resolver el problema de errores serialmente correlacionados). Consideremos el caso de dos series diferentes.${\displaystyle x_{t}}$y${\displaystyle y_{t}}$Si ambas son I(0), el análisis de regresión estándar será válido. Si están integradas de diferente orden, por ejemplo, una es I(1) y la otra es I(0), debemos transformar el modelo.

Si ambos están integrados al mismo orden (comúnmente I(1)), podemos estimar un modelo ECM de la forma

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha (y_{t-1}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t-1})+\nu _{t}.}$

[definir A y B]

Si ambas variables están integradas y existe este modelo de corrección de errores (ECM), están cointegradas según el teorema de representación de Engle-Granger.

El segundo paso consiste en estimar el modelo utilizando mínimos cuadrados ordinarios :${\displaystyle y_{t}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{t}+\varepsilon _{t}}$ Si la regresión no es espuria según lo determinado por los criterios de prueba descritos anteriormente, los mínimos cuadrados ordinarios no solo serán válidos, sino también consistentes (Stock, 1987). Entonces, los residuos predichos${\displaystyle {\hat {\varepsilon _{t}}}=y_{t}-\beta _{0}-\beta _{1}x_{t}}$Los resultados de esta regresión se guardan y se utilizan en una regresión de variables diferenciadas más un término de error rezagado.

${\displaystyle A(L)\,\Delta y_{t}=\gamma +B(L)\,\Delta x_{t}+\alpha {\hat {\varepsilon }}_{t-1}+\nu _{t}.}$

Luego podemos probar la cointegración utilizando una estadística t estándar en${\displaystyle \alpha }$Aunque este enfoque es fácil de aplicar, presenta numerosos problemas:

• Las pruebas de raíz unitaria univariadas utilizadas en la primera etapa tienen baja potencia estadística.
• La elección de la variable dependiente en la primera etapa influye en los resultados de la prueba, es decir, necesitamos${\displaystyle x_{t}}$ser débilmente exógeno
• Es posible que tengamos un sesgo debido a una muestra pequeña.
• La prueba de cointegración en${\displaystyle \alpha }$no sigue una distribución estándar
• La validez de los parámetros a largo plazo en la primera etapa de regresión, donde se obtienen los residuos, no puede verificarse debido a que la distribución del estimador MCO del vector de cointegración es muy compleja y no normal.
• Como máximo, se puede examinar una relación de cointegración.

El enfoque de Engle-Granger, tal como se describió anteriormente, presenta varias limitaciones. En concreto, se limita a una sola ecuación con una variable dependiente, explicada por otra variable que se supone débilmente exógena para los parámetros de interés. Además, requiere la realización de pruebas previas a la serie temporal para determinar si las variables son I(0) o I(1). Estas limitaciones pueden abordarse mediante el procedimiento de Johansen. Sus ventajas incluyen que no es necesario realizar pruebas previas, puede haber numerosas relaciones de cointegración, todas las variables se tratan como endógenas y es posible realizar pruebas relacionadas con los parámetros a largo plazo. El modelo resultante se conoce como modelo de corrección de errores vectorial (VECM), ya que añade características de corrección de errores a un modelo multifactorial conocido como autorregresión vectorial (VAR). El procedimiento se realiza de la siguiente manera:

• Paso 1: estimar un modelo VAR no restringido que involucre variables potencialmente no estacionarias.
• Paso 2: Prueba de cointegración mediante la prueba de Johansen
• Paso 3: Formar y analizar el VECM.

La idea de cointegración puede demostrarse en un contexto macroeconómico simple. Supongamos que el consumo${\displaystyle C_{t}}$y los ingresos disponibles${\displaystyle Y_{t}}$son series temporales macroeconómicas que están relacionadas a largo plazo (véase la hipótesis del ingreso permanente ). Específicamente, supongamos que la propensión media al consumo es del 90%, es decir, a largo plazo.${\displaystyle C_{t}=0.9Y_{t}}$Desde el punto de vista del econometrista , esta relación a largo plazo (también conocida como cointegración) existe si los errores de la regresión${\displaystyle C_{t}=\beta Y_{t}+\varepsilon _{t}}$son una serie estacionaria , aunque${\displaystyle Y_{t}}$y${\displaystyle C_{t}}$no son estacionarias. Supongamos también que si${\displaystyle Y_{t}}$cambia repentinamente por${\displaystyle \Delta Y_{t}}$, entonces${\displaystyle C_{t}}$cambios por${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}}$Es decir, la propensión marginal al consumo es igual al 50%. Nuestro supuesto final es que la diferencia entre el consumo actual y el de equilibrio disminuye un 20% en cada período.

En este contexto, un cambio${\displaystyle \Delta C_{t}=C_{t}-C_{t-1}}$en el nivel de consumo se puede modelar como${\displaystyle \Delta C_{t}=0.5\,\Delta Y_{t}-0.2(C_{t-1}-0.9Y_{t-1})+\varepsilon _{t}}$. El primer término en el RHS describe el impacto a corto plazo del cambio en${\displaystyle Y_{t}}$en${\displaystyle C_{t}}$El segundo término explica la gravitación a largo plazo hacia la relación de equilibrio entre las variables, y el tercer término refleja las perturbaciones aleatorias que recibe el sistema (por ejemplo, perturbaciones de la confianza del consumidor que afectan al consumo). Para ver cómo funciona el modelo, consideremos dos tipos de perturbaciones: permanentes y transitorias (temporales). Para simplificar, sea${\displaystyle \varepsilon _{t}}$sea ​​cero para todo t. Supongamos que en el período t  −  1 el sistema está en equilibrio, es decir ${\displaystyle C_{t-1}=0.9Y_{t-1}}$Supongamos que en el período t, el ingreso disponible${\displaystyle Y_{t}}$aumenta en 10 y luego regresa a su nivel anterior. Luego${\displaystyle C_{t}}$primero (en el período t) aumenta en 5 (la mitad de 10), pero después del segundo período${\displaystyle C_{t}}$comienza a disminuir y converge a su nivel inicial. Por el contrario, si el choque a${\displaystyle Y_{t}}$es permanente, entonces${\displaystyle C_{t}}$converge lentamente a un valor que supera el inicial.${\displaystyle C_{t-1}}$a  las 9.

Esta estructura es común a todos los modelos ECM. En la práctica, los econometristas suelen estimar primero la relación de cointegración (ecuación en niveles) y luego la incorporan al modelo principal (ecuación en diferencias).