Morfismo de variedades algebraicas

En geometría algebraica , un morfismo entre variedades algebraicas es una función entre dichas variedades definida localmente por polinomios . También se denomina aplicación regular . Un morfismo de una variedad algebraica a la recta afín se denomina función regular . Una aplicación regular cuya inversa también es regular se denomina birregular , y las aplicaciones birregulares son los isomorfismos de variedades algebraicas. Dado que las condiciones de regularidad y birregularidad son muy restrictivas —no existen funciones regulares no constantes en variedades proyectivas— , los conceptos de aplicaciones racionales y birracionales también se utilizan ampliamente; estas son funciones parciales definidas localmente por fracciones racionales en lugar de polinomios.

Una variedad algebraica tiene naturalmente la estructura de un espacio localmente anillado ; un morfismo entre variedades algebraicas es precisamente un morfismo de los espacios localmente anillados subyacentes.

Si X e Y son subvariedades cerradas de${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$y${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$(por lo tanto, son variedades afines ), luego un mapa regular${\displaystyle f\colon X\to Y}$es la restricción de una aplicación polinómica${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$. Explícitamente, tiene la forma: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

donde el${\displaystyle f_{i}}$s están en el anillo de coordenadas de X :

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

donde I es el ideal que define X (nota: dos polinomios f y g definen la misma función en X si y solo si f  − g está en I ). La imagen f ( X ) está en Y y, por lo tanto, satisface las ecuaciones que definen Y. Es decir, una aplicación regular. ${\displaystyle f:X\to Y}$es lo mismo que la restricción de una aplicación polinómica cuyos componentes satisfacen las ecuaciones definitorias de${\displaystyle Y}$.

En términos más generales, una aplicación f  : X → Y entre dos variedades es regular en un punto x si existe un entorno U de x y un entorno V de f ( x ) tales que f ( U ) ⊂ V y la función restringida f  : U → V es regular como función en algunas cartas afines de U y V. Entonces, f se llama regular si es regular en todos los puntos de X.

• Nota: No es inmediatamente obvio que las dos definiciones coincidan: si X e Y son variedades afines, entonces una aplicación f  : X → Y es regular en el primer sentido si y solo si lo es en el segundo sentido. ^{[ a ]} ​​Además, no está inmediatamente claro si la regularidad depende de una elección de cartas afines (no depende. ^{[ b ]} ) Sin embargo, este tipo de problema de consistencia desaparece si se adopta la definición formal. Formalmente, una variedad algebraica (abstracta) se define como un tipo particular de un espacio localmente anillado . Cuando se usa esta definición, un morfismo de variedades es simplemente un morfismo de espacios localmente anillados.

La composición de mapas regulares es nuevamente regular; por lo tanto, las variedades algebraicas forman la categoría de variedades algebraicas donde los morfismos son los mapas regulares.

Los mapas regulares entre variedades afines se corresponden contravariantemente en uno a uno con los homomorfismos de álgebras entre los anillos de coordenadas: si f  : X → Y es un morfismo de variedades afines, entonces define el homomorfismo de álgebras.

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

dónde${\displaystyle k[X],k[Y]}$son los anillos de coordenadas de X e Y ; está bien definido ya que${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$es un polinomio en elementos de${\displaystyle k[X]}$. Por el contrario, si${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$es un homomorfismo de álgebra, entonces induce el morfismo

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

dado por: escritura${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

dónde${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$son las imágenes de${\displaystyle y_{i}}$'s. ^{[ c ]} Nota${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$así como${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$^{[ d ]} En particular,fes un isomorfismo de variedades afines si y solo sif^#es un isomorfismo de los anillos de coordenadas.

Por ejemplo, si X es una subvariedad cerrada de una variedad afín Y y f es la inclusión, entonces f ^# es la restricción de funciones regulares en Y a X. Consulte #Ejemplos a continuación para ver más ejemplos.

En el caso particular que${\displaystyle Y}$igual${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$los mapas regulares${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$Se denominan funciones regulares y son análogos algebraicos de las funciones suaves estudiadas en geometría diferencial . El anillo de funciones regulares (es decir, el anillo de coordenadas o, más abstractamente, el anillo de secciones globales del haz estructural) es un objeto fundamental en geometría algebraica afín. La única función regular en una variedad proyectiva es constante (esto puede considerarse un análogo algebraico del teorema de Liouville en análisis complejo ).

Una función escalar${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$es regular en algún punto${\displaystyle x}$si, en algún vecindario afín abierto de${\displaystyle x}$, es una función racional que es regular en${\displaystyle x}$; es decir, existen funciones regulares${\displaystyle g}$,${\displaystyle h}$cerca${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle f=g/h}$y${\displaystyle h}$no desaparece en${\displaystyle x}$. ^{[ e ]} Precaución: la condición es para algunos pares ( g , h ) no para todos los pares ( g , h ); ver Ejemplos .

Si X es una variedad cuasiproyectiva , es decir, una subvariedad abierta de una variedad proyectiva, entonces el cuerpo de funciones k ( X ) es el mismo que el de la clausura.${\displaystyle {\overline {X}}}$de X y, por lo tanto, una función racional en X es de la forma g / h para algunos elementos homogéneos g , h del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneas.${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$de${\displaystyle {\overline {X}}}$(cf. Variedad proyectiva#Estructura de la variedad ). Entonces, una función racional f en X es regular en un punto x si y solo si existen algunos elementos homogéneos g , h del mismo grado en${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$de tal manera que f = g / h y h no se anula en x . Esta caracterización se toma a veces como la definición de una función regular. ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$y${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} B}$son esquemas afines , entonces cada homomorfismo de anillo${\displaystyle \phi :B\rightarrow A}$determina un morfismo

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

tomando las preimágenes de ideales primos . Todos los morfismos entre esquemas afines son de este tipo y la unión de dichos morfismos da como resultado un morfismo de esquemas en general.

Ahora bien, si X e Y son variedades afines; es decir, A y B son dominios de integridad que son álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k , entonces, trabajando solo con los puntos cerrados, lo anterior coincide con la definición dada en #Definition . (Demostración: Si f  : X → Y es un morfismo, entonces escribiendo${\displaystyle \phi =f^{\#}}$, necesitamos mostrar

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$son los ideales máximos correspondientes a los puntos x y f ( x ); es decir,${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$Esto es inmediato.

Este hecho significa que la categoría de variedades afines puede identificarse con una subcategoría completa de esquemas afines sobre k . Dado que los morfismos de variedades se obtienen pegando morfismos de variedades afines de la misma manera que los morfismos de esquemas se obtienen pegando morfismos de esquemas afines, se deduce que la categoría de variedades es una subcategoría completa de la categoría de esquemas sobre k .

Para obtener más detalles, consulte.

• Las funciones regulares en${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$son exactamente los polinomios en${\displaystyle n}$variables y las funciones regulares en${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$son exactamente las constantes.
• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​la curva afín${\displaystyle y=x^{2}}$. Entonces$${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$es un morfismo; es biyectivo con el inverso${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$. Desde${\displaystyle g}$es también un morfismo,${\displaystyle f}$es un isomorfismo de variedades.
• Dejar${\displaystyle X}$sea ​​la curva afín${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$. Entonces$${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$es un morfismo. Corresponde al homomorfismo de anillos.$${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$lo cual se considera inyectivo (ya que f es sobreyectivo).
• Continuando con el ejemplo anterior, sea U = A ¹  −  {1}. Dado que U es el complemento del hiperplano t = 1, U es afín. La restricción${\displaystyle f:U\to X}$es biyectivo. Pero el homomorfismo de anillos correspondiente es la inclusión${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$, que no es un isomorfismo y por lo tanto la restricción f | _U no es un isomorfismo.
• Sea X la ^curva afín x² + y² = ¹ y sea$${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$Entonces f es una función racional en X. Es regular en (0, 1) a pesar de la expresión ya que, como función racional en X , f también puede escribirse como${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$.
• Sea X = A ² − (0, 0) . Entonces X es una variedad algebraica ya que es un subconjunto abierto de una variedad. Si f es una función regular en X , entonces f es regular en${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$y también en${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$De manera similar, está en${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$Por lo tanto, podemos escribir:$${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$donde g y h son polinomios en k [ x , y ]. Esto implica que g es divisible por xⁿ ^y , por lo tanto, f es de hecho un polinomio. En consecuencia, el anillo de funciones regulares en X es simplemente k [ x , y ]. (Esto también demuestra que X no puede ser afín, ya que, de serlo, X estaría determinado por su anillo de coordenadas y, por lo tanto, ^X = A² ) .
• Suponer${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$identificando los puntos ( x : 1 ⁾  con los puntos x en A1 e ^∞ = (1  : 0). Existe un automorfismo σ de P1 dado por σ(x : y) = (y : x); en particular, σ intercambia 0 e ∞. Si f es una función racional en P1 , ^entonces  $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$y f es regular en ∞ si y solo si f (1/ z ) es regular en cero.
• Tomando el cuerpo de funciones k ( V ) de una curva algebraica irreducible V , las funciones F en el cuerpo de funciones pueden realizarse como morfismos de V a la recta proyectiva sobre k . (cf. #Propiedades ) La imagen será un solo punto o la recta proyectiva completa (esto es consecuencia de la completitud de las variedades proyectivas ). Es decir, a menos que F sea realmente constante, debemos atribuirle el valor ∞ en algunos puntos de V .
• Para cualesquiera variedades algebraicas X , Y , la proyección$${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$es un morfismo de variedades. Si X e Y son afines, entonces el homomorfismo de anillos correspondiente es$${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$dónde${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$.

Un morfismo entre variedades es continuo con respecto a las topologías de Zariski en la fuente y el destino.

La imagen de un morfismo de variedades no tiene por qué ser abierta ni cerrada (por ejemplo, la imagen de${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$no es ni abierto ni cerrado). Sin embargo, aún se puede decir: si f es un morfismo entre variedades, entonces la imagen de f contiene un subconjunto denso abierto de su clausura (cf. conjunto constructible ).

Se dice que un morfismo f : X → Y de variedades algebraicas es dominante si tiene imagen densa. Para tal f , si V es un subconjunto afín abierto no vacío de Y , entonces existe un subconjunto afín abierto no vacío U de X tal que f ( U ) ⊂ V y entonces${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$es inyectiva. Por lo tanto, la aplicación dominante f induce una inyección a nivel de campos de funciones:

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

donde el límite directo recorre todos los subconjuntos afines abiertos no vacíos de Y. (De forma más abstracta, este es el mapa inducido del campo residual del punto genérico de Y al de X ). Recíprocamente, toda inclusión de campos${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$es inducido por un mapa racional dominante de X a Y. ^{[ 3} ] Por lo tanto, la construcción anterior determina una contravariante-equivalencia entre la categoría de variedades algebraicas sobre un cuerpo k y ^los mapas racionales dominantes entre ellas y la categoría de extensión de cuerpo finitamente generada de k . ^{[ 4 ]}

Si X es una curva completa suave (por ejemplo, P ¹ ) y si f es una aplicación racional de X a un espacio proyectivo P ^m , entonces f es una aplicación regular X → P ^m . ^{[ 5 ]} En particular, cuando X es una curva completa suave, cualquier función racional en X puede verse como un morfismo X → P ¹ y, a la inversa, dicho morfismo como una función racional en X .

En una variedad normal (en particular, una variedad lisa ), una función racional es regular si y solo si no tiene polos de codimensión uno. ^{[ f ]} Este es un análogo algebraico del teorema de extensión de Hartogs . También existe una versión relativa de este hecho; véase.

Un morfismo entre variedades algebraicas que es un homeomorfismo entre los espacios topológicos subyacentes no tiene por qué ser un isomorfismo (un contraejemplo lo proporciona un morfismo de Frobenius).${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$Por otro lado, si f es biyectiva birracional y el espacio objetivo de f es una variedad normal , entonces f es biregular. (Véase el teorema principal de Zariski ).

Una aplicación regular entre variedades algebraicas complejas es una aplicación holomorfa . (En realidad, existe una ligera diferencia técnica: una aplicación regular es una aplicación meromorfa cuyos puntos singulares son removibles , pero esta distinción suele ignorarse en la práctica). En particular, una aplicación regular a los números complejos es simplemente una función holomorfa usual (función analítica compleja).

Dejar

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

Sea un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo. Sea x un punto de X. Entonces alguna i -ésima coordenada homogénea de f ( x ) es distinta de cero; digamos, i = 0 para simplificar. Entonces, por continuidad, existe un entorno afín abierto U de x tal que

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

es un morfismo, donde y _i son las coordenadas homogéneas. Nótese que el espacio objetivo es el espacio afín A ^m a través de la identificación${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$. Por lo tanto, por definición, la restricción f | _U viene dada por

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

donde los g _i son funciones regulares en U. Dado que X es proyectivo, cada g _i es una fracción de elementos homogéneos del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneas k [ X ] de X. Podemos ordenar las fracciones de modo que todas tengan el mismo denominador homogéneo, digamos f _0. Entonces podemos escribir g _i = f _i / f ₀ para algunos elementos homogéneos f _i en k [ X ]. Por lo tanto, volviendo a las coordenadas homogéneas,

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

para todo x en U y por continuidad para todo x en X siempre que las f _i no se anulen simultáneamente en x . Si se anulan simultáneamente en un punto x de X , entonces, mediante el procedimiento anterior, se puede elegir un conjunto diferente de f _i que no se anulen simultáneamente en x (véase la nota al final de la sección).

De hecho, la descripción anterior es válida para cualquier variedad cuasiproyectiva X , una subvariedad abierta de una variedad proyectiva.${\displaystyle {\overline {X}}}$; la diferencia radica en que los f _i están en el anillo de coordenadas homogéneas de${\displaystyle {\overline {X}}}$.

Nota : Lo anterior no dice que un morfismo de una variedad proyectiva a un espacio proyectivo esté dado por un solo conjunto de polinomios (a diferencia del caso afín). Por ejemplo, sea X la cónica${\displaystyle y^{2}=xz}$en P ² . Luego dos mapas${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$y${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$estar de acuerdo en el subconjunto abierto${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$de X (ya que${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$) y así define un morfismo${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$.

El hecho importante es: ^{[ 6 ]}

En el libro rojo de Mumford, el teorema se demuestra mediante el lema de normalización de Noether . Para un enfoque algebraico donde la libertad genérica juega un papel principal y la noción de " anillo universalmente catenario " es clave en la demostración, véase Eisenbud, cap. 14 de "Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica". De hecho, la demostración allí muestra que si f es plana , entonces la igualdad de dimensión en el punto 2 del teorema se cumple en general (no solo genéricamente).

Sea f : X → Y un morfismo sobreyectivo finito entre variedades algebraicas sobre un cuerpo k . Entonces, por definición, el grado de f es el grado de la extensión de cuerpo finito del cuerpo de funciones k ( X ) sobre f ^* k ( Y ). Por libertad genérica , existe algún subconjunto abierto no vacío U en Y tal que la restricción del haz de estructuras O _X a f ⁻¹ ( U ) es libre como O _Y | _U -módulo . El grado de f es entonces también el rango de este módulo libre.

Si f es étale y si X , Y son completos , entonces para cualquier haz coherente F en Y , escribiendo χ para la característica de Euler ,

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^{[ 7 ]}

(La fórmula de Riemann-Hurwitz para una cubierta ramificada muestra que el término "étale" no puede omitirse en este caso).

En general, si f es un morfismo sobreyectivo finito, si X e Y son completos y F es un haz coherente en Y , entonces a partir de la secuencia espectral de Leray${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$, uno obtiene:

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

En particular, si F es una potencia tensorial${\displaystyle L^{\otimes n}}$de un paquete de líneas, entonces${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$y dado el apoyo de${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$tiene codimensión positiva si q es positivo, comparando los términos principales, se tiene:

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(ya que el rango genérico de${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$es el grado de f .)

Si f es étale y k es algebraicamente cerrado, entonces cada fibra geométrica f ⁻¹ ( y ) consta exactamente de deg( f ) puntos.

• Función algebraica
• Morfismo suave
• Morfismos de Étale : el análogo algebraico de los difeomorfismos locales .
• Resolución de singularidades
• morfismo de contracción