Morfismo de contracción

En geometría algebraica , un morfismo de contracción es un morfismo proyectivo sobreyectivo.${\displaystyle f:X\to Y}$entre variedades proyectivas normales (o esquemas proyectivos) tales que${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Y}}$o, de forma equivalente, todas las fibras geométricas están conectadas ( teorema de conectividad de Zariski ). También se le suele llamar espacio de fibras algebraico , ya que es un análogo de un espacio de fibras en topología algebraica .

Según la factorización de Stein , cualquier morfismo proyectivo sobreyectivo es un morfismo de contracción seguido de un morfismo finito.

Algunos ejemplos son las superficies regladas y los espacios de fibras de Mori .

La siguiente perspectiva es crucial en la geometría birracional (en particular en el programa de modelos mínimos de Mori ).

Dejar${\displaystyle X}$ser una variedad proyectiva y${\displaystyle {\overline {NS}}(X)}$el cierre del tramo de curvas irreducibles en${\displaystyle X}$en${\displaystyle N_{1}(X)}$= el espacio vectorial real de clases de equivalencia numérica de 1-ciclos reales en${\displaystyle X}$. Dado un rostro${\displaystyle F}$de${\displaystyle {\overline {NS}}(X)}$, el morfismo de contracción asociado a F , si existe, es un morfismo de contracción${\displaystyle f:X\to Y}$a alguna variedad proyectiva${\displaystyle Y}$de tal manera que para cada curva irreducible${\displaystyle C\subset X}$,${\displaystyle f(C)}$es un punto si y solo si${\displaystyle [C]\in F}$. ^{[ 1 ]} La pregunta básica es qué cara${\displaystyle F}$da lugar a tal morfismo de contracción (cf. teorema del cono ).

• Teorema de contracción de Castelnuovo
• Voltear (matemáticas)

• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Geometría birracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  134, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959 
• Robert Lazarsfeld , Positividad en geometría algebraica I: Contexto clásico (2004)