factorización de Stein

En geometría algebraica , la factorización de Stein , introducida por Karl Stein ( 1956 ) para el caso de espacios complejos, establece que un morfismo propio de esquemas puede factorizarse como la composición de una aplicación finita y un morfismo propio con fibras conexas . En términos generales, la factorización de Stein contrae las componentes conexas de las fibras de una aplicación a puntos. 

Una versión para esquemas establece lo siguiente: ( EGA , III.4.3.1)

Sea X un esquema , S un esquema localmente noetheriano y${\displaystyle f:X\to S}$un morfismo propio . Entonces se puede escribir

${\displaystyle f=g\circ f'}$

dónde${\displaystyle g\colon S'\to S}$es un morfismo finito y${\displaystyle f'\colon X\to S'}$es un morfismo propio de modo que${\displaystyle f'_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S'}.}$

La existencia de esta descomposición en sí misma no es difícil. Véase más abajo. Pero, según el teorema de conectividad de Zariski , la última parte anterior dice que la fibra${\displaystyle f'^{-1}(s)}$está conectado para cualquier${\displaystyle s\in S'}$A continuación:

Corolario : Para cualquier${\displaystyle s\in S}$, el conjunto de componentes conectados de la fibra${\displaystyle f^{-1}(s)}$está en biyección con el conjunto de puntos en la fibra${\displaystyle g^{-1}(s)}$.

Colocar:

${\displaystyle S'=\operatorname {Spec} _{S}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

donde Spec _S es el Spec relativo . La construcción da el mapa natural.${\displaystyle g\colon S'\to S}$, que es finito ya que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$es coherente y f es propia. El morfismo f se factoriza a través de g y se obtiene${\displaystyle f'\colon X\to S'}$, lo cual es correcto. Por construcción,${\displaystyle f'_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{S'}}$. Luego se utiliza el teorema sobre funciones formales para demostrar que la última igualdad implica${\displaystyle f'}$tiene fibras conectadas. (Esta parte a veces se conoce como el teorema de conectividad de Zariski).

• Morfismo de contracción

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007/bf02684274 . SEÑOR 0217085 . 
• Stein, Karl (1956), "Analytische Zerlegungen komplexer Räume", Mathematische Annalen , 132 : 63– 93, doi : 10.1007/BF01343331 , ISSN 0025-5831 , MR 0083045