Conexión (paquete vectorial)

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de gauge , una conexión en un fibrado es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo en el fibrado; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras sobre puntos cercanos. El caso más común es el de una conexión lineal en un fibrado vectorial , para el cual la noción de transporte paralelo debe ser lineal . Una conexión lineal se especifica de forma equivalente mediante una derivada covariante , un operador que diferencia secciones del fibrado a lo largo de direcciones tangentes en la variedad base, de tal manera que las secciones paralelas tienen derivada cero. Las conexiones lineales generalizan, a fibrados vectoriales arbitrarios, la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente de una variedad pseudoriemanniana , que proporciona una forma estándar de diferenciar campos vectoriales. Las conexiones no lineales generalizan este concepto a fibrados cuyas fibras no son necesariamente lineales.

Las conexiones lineales también se denominan conexiones de Koszul en honor a Jean-Louis Koszul , quien proporcionó un marco algebraico para describirlas ( Koszul 1950 ) .

Este artículo define la conexión en un fibrado vectorial utilizando una notación matemática común que resta importancia a las coordenadas. Sin embargo, también se utilizan habitualmente otras notaciones: en la relatividad general , los cálculos con fibrados vectoriales se suelen escribir utilizando tensores indexados; en la teoría de gauge , se enfatizan los endomorfismos de las fibras del espacio vectorial . Las diferentes notaciones son equivalentes, como se explica en el artículo sobre conexiones métricas (los comentarios allí realizados se aplican a todos los fibrados vectoriales).

Sea M una variedad diferenciable , como el espacio euclidiano . Una función con valores vectoriales${\displaystyle M\to \mathbb {R} ^{n}}$puede considerarse como una sección del fibrado vectorial trivial.${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}\to M.}$Se puede considerar una sección de un fibrado vectorial diferenciable general, y por lo tanto es natural preguntarse si es posible diferenciar una sección, como una generalización de cómo se diferencia una función en M.

El caso modelo consiste en diferenciar una función.${\displaystyle X:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$En este contexto, la derivada${\displaystyle dX}$en un punto${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$en la dirección${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{n}}$puede definirse mediante la fórmula estándar

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(x+tv)-X(x)}{t}}.}$

Por cada${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, esto define un nuevo vector${\displaystyle dX(v)(x)\in \mathbb {R} ^{m}.}$

Al pasar a una sección${\displaystyle X}$de un haz vectorial${\displaystyle E}$sobre un colector${\displaystyle M}$, uno se encuentra con dos problemas clave con esta definición. En primer lugar, dado que la variedad no tiene una estructura lineal, el término${\displaystyle x+tv}$no tiene sentido en${\displaystyle M}$En cambio, uno toma un camino${\displaystyle \gamma$ :(-1,1)\to M} tal que${\displaystyle \gamma (0)=x,\gamma '(0)=v}$y calcula

${\displaystyle dX(v)(x)=\lim _{t\to 0}{\frac {X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$

Sin embargo, esto sigue sin tener sentido, porque${\displaystyle X(\gamma (t))}$y${\displaystyle X(\gamma (0))}$son elementos de los distintos espacios vectoriales${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$y${\displaystyle E_{x}.}$Esto significa que la resta de estos dos términos no está definida de forma natural.

El problema se resuelve introduciendo la estructura adicional de una conexión al fibrado vectorial. Existen al menos tres perspectivas desde las que se pueden comprender las conexiones. Cuando se formulan con precisión, las tres perspectivas son equivalentes.

1. ( Transporte paralelo ) Una conexión puede verse como la asignación a cada ruta diferenciable.${\displaystyle \gamma }$un isomorfismo lineal${\displaystyle P_{t}^{\gamma}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$a pesar de${\displaystyle t.}$Utilizando este isomorfismo se puede transportar${\displaystyle X(\gamma (t))}$a la fibra${\displaystyle E_{x}}$y luego tomar la diferencia; explícitamente,$${\displaystyle \nabla _{v}X=\lim _{t\to 0}{\frac {P_{t}^{\gamma }X(\gamma (t))-X(\gamma (0))}{t}}.}$$Para que esto dependa únicamente de${\displaystyle v,}$y no en el camino${\displaystyle \gamma }$extensión${\displaystyle v,}$es necesario imponer restricciones (en la definición) a la dependencia de${\displaystyle P_{t}^{\gamma }}$en${\displaystyle \gamma .}$Su formulación no es sencilla, por lo que esta noción de "transporte paralelo" suele derivarse como consecuencia de otras formas de definir conexiones. De hecho, la siguiente noción de "conexión de Ehresmann" no es más que una formulación infinitesimal del transporte paralelo.
2. ( conexión Ehresmann ) La sección${\displaystyle X}$puede verse como un mapa suave de la variedad suave${\displaystyle M}$al colector liso${\displaystyle E.}$Por lo tanto, se puede considerar el impulso hacia adelante.${\displaystyle dX(v),}$que es un elemento del espacio tangente${\displaystyle T_{X(x)}E.}$En la formulación de Ehresmann de una conexión, se elige una forma de asignar, a cada${\displaystyle x}$y cada${\displaystyle e\in E_{x},}$una descomposición de suma directa de${\displaystyle T_{X(x)}E}$en dos subespacios lineales, uno de los cuales es la incrustación natural de${\displaystyle E_{x}.}$Con estos datos adicionales, se define${\displaystyle \nabla _{v}X}$proyectando${\displaystyle dX(v)}$ser valorado en${\displaystyle E_{x}.}$Para respetar la estructura lineal de un fibrado vectorial, se imponen restricciones adicionales sobre cómo se realiza la descomposición de suma directa de${\displaystyle T_{e}E}$se mueve a medida que e varía a lo largo de una fibra.
3. ( Derivada covariante ) La derivada estándar${\displaystyle dX(v)}$en contextos euclidianos satisface ciertas dependencias de${\displaystyle X}$y${\displaystyle v,}$La más fundamental es la linealidad. Una derivada covariante se define como cualquier operación${\displaystyle (v,X)\mapsto \nabla _{v}X}$que imita estas propiedades, junto con una forma de la regla del producto .

A menos que la base sea de dimensión cero, siempre existen infinitas conexiones en un fibrado vectorial diferenciable dado, y por lo tanto, siempre hay una elección correspondiente de cómo diferenciar las secciones. Dependiendo del contexto, puede haber distintas opciones, por ejemplo, aquellas que se determinan resolviendo ciertas ecuaciones diferenciales parciales . En el caso del fibrado tangente , cualquier métrica pseudoriemanniana (y en particular cualquier métrica riemanniana ) determina una conexión canónica, llamada conexión de Levi-Civita .

Dejar${\displaystyle \pi :E\to M}$sea ​​un fibrado vectorial real suave sobre una variedad suave.${\displaystyle M}$. Denotemos el espacio de secciones suaves de${\displaystyle \pi :E\to M}$por${\displaystyle \Gamma (\pi )}$. Una derivada covariante en${\displaystyle \pi }$es cualquiera de las siguientes estructuras equivalentes:

1. un${\displaystyle \mathbb {R} }$- mapa lineal${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (\pi )\to \Gamma (T^{*}M\otimes \pi )} tal que la regla del producto$${\displaystyle \nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s}$$Se mantiene para todas las funciones suaves.${\displaystyle f}$en${\displaystyle M}$y todas las secciones lisas${\displaystyle s}$de${\displaystyle \pi .}$
2. una asignación, a cualquier sección suave s y cada${\displaystyle x\in M}$, de un${\displaystyle \mathbb {R} }$-mapa lineal${\displaystyle (\nabla s)_{x}:T_{x}M\to \pi ^{-1}(x)}$que depende suavemente de x y tal que$${\displaystyle \nabla (a_{1}s_{1}+a_{2}s_{2})=a_{1}\nabla s_{1}+a_{2}\nabla s_{2}}$$para cualesquiera dos secciones lisas${\displaystyle s_{1},s_{2}}$y cualquier número real${\displaystyle a_{1},a_{2},}$y de tal manera que para cada función suave${\displaystyle f}$,${\displaystyle \nabla (fs)}$está relacionado con${\displaystyle \nabla s}$por$${\displaystyle {\big (}\nabla (fs){\big )}_{x}(v)=df(v)s(x)+f(x)(\nabla s)_{x}(v)}$$para cualquier${\displaystyle x\in M}$y${\displaystyle v\in T_{x}M.}$

Más allá de utilizar la identificación canónica entre el espacio vectorial${\displaystyle T_{x}^{\ast }M\otimes \pi ^{-1}(x)}$y el espacio vectorial de mapas lineales${\displaystyle T_{x}M\to \pi ^{-1}(x),}$Estas dos definiciones son idénticas y solo difieren en el lenguaje utilizado.

Es típico denotar${\displaystyle (\nabla s)_{x}(v)}$por${\displaystyle \nabla _{v}s,}$con${\displaystyle x}$estar implícito en${\displaystyle v.}$Con esta notación, se escribe la regla del producto en la segunda versión de la definición dada anteriormente.

${\displaystyle \nabla _{v}(fs)=df(v)s+f\nabla _{v}s.}$

Nota. En el caso de un fibrado vectorial complejo , la definición anterior sigue siendo significativa, pero generalmente se considera modificada cambiando "real" y "${\displaystyle \mathbb {R} }$" por todas partes parecen "complejos" y "${\displaystyle \mathbb {C} .}$Esto impone restricciones adicionales, ya que no toda aplicación lineal real entre espacios vectoriales complejos es lineal compleja. Existe cierta ambigüedad en esta distinción, puesto que un fibrado vectorial complejo también puede considerarse un fibrado vectorial real.

Dado un haz vectorial${\displaystyle E\to M}$, existen muchos paquetes asociados a${\displaystyle E}$que puede construirse, por ejemplo, el fibrado vectorial dual.${\displaystyle E^{*}}$, potencias tensoriales${\displaystyle E^{\otimes k}}$potencias tensoriales simétricas y antisimétricas${\displaystyle S^{k}E,\Lambda ^{k}E}$y las sumas directas${\displaystyle E^{\oplus k}}$. Una conexión en${\displaystyle E}$induce una conexión en cualquiera de estos haces asociados. La facilidad para pasar entre conexiones en haces asociados se describe de forma más elegante mediante la teoría de conexiones de haces principales , pero aquí presentamos algunas de las conexiones inducidas básicas.

Dejar${\displaystyle E\to M}$ser un haz vectorial. Un${\displaystyle E}$-forma diferencial valorada de grado${\displaystyle r}$es una sección del haz de productos tensoriales :

${\displaystyle \bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E.}$

El espacio de tales formas se denota por

${\displaystyle \Omega ^{r}(E)=\Omega ^{r}(M;E)=\Gamma \left(\bigwedge ^{r}T^{*}M\otimes E\right)=\Omega ^{r}(M)\otimes _{C^{\infty }(M)}\Gamma (E),}$

donde el último producto tensorial denota el producto tensorial de módulos sobre el anillo de funciones suaves en${\displaystyle M}$.

Un${\displaystyle E}$-valued 0-form es solo una sección del paquete${\displaystyle E}$. Eso es,

${\displaystyle \Omega ^{0}(E)=\Gamma (E).}$

En esta notación una conexión en ${\displaystyle E\to M}$es un mapa lineal

${\displaystyle \nabla$ :\Omega ^{0}(E)\a \Omega ^{1}(E).}

Una conexión puede entonces ser vista como una generalización de la derivada exterior a formas con valores en haces vectoriales. De hecho, dada una conexión${\displaystyle \nabla }$en${\displaystyle E}$Hay una forma única de extender${\displaystyle \nabla }$a una derivada covariante exterior

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{r}(E)\to \Omega ^{r+1}(E).}$

Esta derivada covariante exterior se define mediante la siguiente regla de Leibniz, que se especifica en tensores simples de la forma${\displaystyle \omega \otimes s}$y se extendió linealmente:

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \otimes s)=d\omega \otimes s+(-1)^{\deg \omega }\omega \wedge \nabla s}$

dónde${\displaystyle \omega \in \Omega ^{r}(M)}$de modo que${\displaystyle \deg \omega =r}$,${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$es una sección, y${\displaystyle \omega \wedge \nabla s}$denota el${\displaystyle (r+1)}$-formulario con valores en${\displaystyle E}$definido por acuñamiento${\displaystyle \omega }$con la parte de forma única de${\displaystyle \nabla s}$. Observe que para${\displaystyle E}$formas 0-valoradas, esto recupera la regla de Leibniz normal para la conexión${\displaystyle \nabla }$.

A diferencia de la derivada exterior ordinaria, generalmente se tiene${\displaystyle d_{\nabla }^{2}\neq 0}$. De hecho,${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$está directamente relacionado con la curvatura de la conexión${\displaystyle \nabla }$(vea abajo ).

Todo fibrado vectorial sobre una variedad admite una conexión, que puede demostrarse utilizando particiones de la unidad . Sin embargo, las conexiones no son únicas. Si${\displaystyle \nabla _{1}}$y${\displaystyle \nabla _{2}}$son dos conexiones en${\displaystyle E\to M}$entonces su diferencia es una${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-operador lineal. Es decir,

${\displaystyle (\nabla _{1}-\nabla _{2})(fs)=f(\nabla _{1}s-\nabla _{2}s)}$

para todas las funciones fluidas${\displaystyle f}$en${\displaystyle M}$y todas las secciones lisas${\displaystyle s}$de${\displaystyle E}$De ello se deduce que la diferencia${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}}$puede identificarse de forma única con una sola forma en${\displaystyle M}$con valores en el haz de endomorfismos${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$:

${\displaystyle \nabla _{1}-\nabla _{2}\in \Omega ^{1}(M;\mathrm {End} \,E).}$

Por el contrario, si${\displaystyle \nabla }$es una conexión en${\displaystyle E}$y${\displaystyle A}$es una forma única en${\displaystyle M}$con valores en${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$, entonces${\displaystyle \nabla +A}$es una conexión en${\displaystyle E}$.

En otras palabras, el espacio de conexiones en${\displaystyle E}$es un espacio afín para${\displaystyle \Omega ^{1}(\operatorname {End} (E))}$Este espacio afín se suele denotar${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Dejar${\displaystyle E\to M}$sea ​​un paquete vectorial de rango${\displaystyle k}$y dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$ser el conjunto de marcos de${\displaystyle E}$. Luego una conexión (principal) en${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$induce una conexión en${\displaystyle E}$. Primero tenga en cuenta que secciones de${\displaystyle E}$están en correspondencia uno a uno con mapas equivariantes por la derecha${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to \mathbb {R} ^{k}}$. (Esto se puede observar al considerar el retroceso de${\displaystyle E}$encima${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\to M}$, que es isomorfo al fibrado trivial${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)\times \mathbb {R} ^{k}}$.) Dado una sección${\displaystyle s}$de${\displaystyle E}$Sea el mapa equivariante correspondiente${\displaystyle \psi (s)}$. La derivada covariante en${\displaystyle E}$entonces se da por

${\displaystyle \psi (\nabla _{X}s)=X^{H}(\psi (s))}$

dónde${\displaystyle X^{H}}$es el elevador horizontal de${\displaystyle X}$de${\displaystyle M}$a${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$. (Recuerde que la elevación horizontal está determinada por la conexión en${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$.)

Por el contrario, una conexión en${\displaystyle E}$determina una conexión en${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$y estas dos construcciones son mutuamente inversas.

Una conexión en${\displaystyle E}$también se determina de forma equivalente mediante una conexión de Ehresmann lineal en${\displaystyle E}$Esto proporciona un método para construir la conexión principal asociada.

Las conexiones inducidas discutidas en #Conexiones inducidas se pueden construir como conexiones en otros haces asociados al haz de marcos de${\displaystyle E}$, utilizando representaciones distintas a la representación estándar utilizada anteriormente. Por ejemplo, si${\displaystyle \rho }$denota la representación estándar de${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, luego el paquete asociado a la representación${\displaystyle \rho \oplus \rho }$de${\displaystyle \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\oplus \mathbb {R} ^{k}}$es el conjunto de suma directa${\displaystyle E\oplus E}$y la conexión inducida es precisamente la que se describió anteriormente.

Dejar${\displaystyle E\to M}$sea ​​un paquete vectorial de rango${\displaystyle k}$y dejar${\displaystyle U}$ser un subconjunto abierto de${\displaystyle M}$sobre cuál${\displaystyle E}$trivializa. Por lo tanto, sobre el conjunto${\displaystyle U}$,${\displaystyle E}$admite un marco liso local de secciones

${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},\dots ,e_{k});\quad e_{i}:U\to \left.E\right|_{U}.}$

Dado el marco${\displaystyle \mathbf {e} }$define una base de la fibra${\displaystyle E_{x}}$para cualquier${\displaystyle x\in U}$, se puede expandir cualquier sección local${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$en el marco como

${\displaystyle s=\sum _{i=1}^{k}s^{i}e_{i}}$

para una colección de funciones suaves${\displaystyle s^{1},\dots ,s^{k}:U\to \mathbb {R} }$.

Dada una conexión${\displaystyle \nabla }$en${\displaystyle E}$, es posible expresar${\displaystyle \nabla }$encima${\displaystyle U}$en términos del marco local de secciones, utilizando la regla del producto característico para la conexión. Para cualquier sección base${\displaystyle e_{i}}$la cantidad${\displaystyle \nabla (e_{i})\in \Omega ^{1}(U)\otimes \Gamma (U,E)}$puede expandirse en el marco local${\displaystyle \mathbf {e} }$como

${\displaystyle \nabla (e_{i})=\sum _{j=1}^{k}A_{i}^{\ j}\otimes e_{j},}$

dónde${\displaystyle A_{i}^{\ j}\in \Omega ^{1}(U);\,j=1,\dots ,k}$son una colección de formas locales de un solo elemento. Estas formas se pueden colocar en una matriz de formas de un solo elemento definida por

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ 1}&\cdots &A_{k}^{\ 1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1}^{\ k}&\cdots &A_{k}^{\ k}\end{pmatrix}}\in \Omega ^{1}(U,\operatorname {End} (\left.E\right|_{U}))}$

llamada la forma de conexión local de${\displaystyle \nabla }$encima${\displaystyle U}$. La acción de${\displaystyle \nabla }$en cualquier sección${\displaystyle s:U\to \left.E\right|_{U}}$se puede calcular en términos de${\displaystyle A}$utilizando la regla del producto como

${\displaystyle \nabla (s)=\sum _{j=1}^{k}\left(ds^{j}+\sum _{i=1}^{k}A_{i}^{\ j}s^{i}\right)\otimes e_{j}.}$

Si la sección local${\displaystyle s}$También se escribe en notación matricial como un vector columna utilizando el marco local.${\displaystyle \mathbf {e} }$como base,

${\displaystyle s={\begin{pmatrix}s^{1}\\\vdots \\s^{k}\end{pmatrix}},}$

Luego, utilizando la multiplicación de matrices regular, se puede escribir:

${\displaystyle \nabla (s)=ds+As}$

dónde${\displaystyle ds}$es una forma abreviada de aplicar la derivada exterior${\displaystyle d}$a cada componente de${\displaystyle s}$como un vector columna. En esta notación, a menudo se escribe localmente que${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}=d+A}$. En este sentido, una conexión está especificada completamente a nivel local por su forma única de conexión en alguna trivialización.

Como se explica en #Propiedades afines del conjunto de conexiones , cualquier conexión difiere de otra por una 1-forma con valores de endomorfismo. Desde esta perspectiva, la 1-forma de conexión${\displaystyle A}$es precisamente la forma única con valores de endomorfismo tal que la conexión${\displaystyle \left.\nabla \right|_{U}}$en${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$difiere de la conexión trivial${\displaystyle d}$en${\displaystyle \left.E\right|_{U}}$, que existe porque${\displaystyle U}$es un conjunto trivializador para${\displaystyle E}$.

Una conexión${\displaystyle \nabla }$en un haz vectorial${\displaystyle E\to M}$define una noción de transporte paralelo en${\displaystyle E}$a lo largo de una curva en${\displaystyle M}$. Dejar${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} sea un camino suave en${\displaystyle M}$. Una sección${\displaystyle s}$de${\displaystyle E}$a lo largo de${\displaystyle \gamma }$Se dice que es paralelo si

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}s=0}$

a pesar de${\displaystyle t\in [0,1]}$De forma equivalente, se puede considerar el paquete de retroceso .${\displaystyle \gamma ^{*}E}$de${\displaystyle E}$por${\displaystyle \gamma }$. Este es un haz vectorial sobre${\displaystyle [0,1]}$con fibra${\displaystyle E_{\gamma (t)}}$encima${\displaystyle t\in [0,1]}$La conexión${\displaystyle \nabla }$en${\displaystyle E}$retrocede a una conexión en${\displaystyle \gamma ^{*}E}$. Una sección${\displaystyle s}$de ${\displaystyle \gamma ^{*}E}$es paralelo si y solo si${\displaystyle \gamma ^{*}\nabla (s)=0}$.

Suponer${\displaystyle \gamma }$es un camino desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$en${\displaystyle M}$La ecuación anterior que define las secciones paralelas es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden (véase la expresión local anterior) y, por lo tanto, tiene una solución única para cada condición inicial posible. Es decir, para cada vector${\displaystyle v}$en${\displaystyle E_{x}}$Existe una sección paralela única${\displaystyle s}$de${\displaystyle \gamma ^{*}E}$con${\displaystyle s(0)=v}$Definir un mapa de transporte paralelo

${\displaystyle \tau _{\gamma }:E_{x}\to E_{y}\,}$

por${\displaystyle \tau _{\gamma }(v)=s(1)}$Se puede demostrar que${\displaystyle \tau _{\gamma }}$es un isomorfismo lineal , cuya inversa se obtiene siguiendo el mismo procedimiento con el camino inverso.${\displaystyle \gamma ^{-}}$de${\displaystyle y}$a${\displaystyle x}$.

El transporte paralelo se puede utilizar para definir el grupo de holonomía de la conexión.${\displaystyle \nabla }$basado en un punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle M}$Este es el subgrupo de${\displaystyle \operatorname {GL} (E_{x})}$que consta de todos los mapas de transporte paralelos que provienen de bucles con base en${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \mathrm {Hol} _{x}=\{\tau _{\gamma }:\gamma {\text{ is a loop based at }}x\}.\,}$

El grupo de holonomía de una conexión está íntimamente relacionado con la curvatura de la conexión ( AmbroseSinger 1953 ) .

La conexión se puede recuperar de sus operadores de transporte paralelos de la siguiente manera. Si${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$es un campo vectorial y${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$una sección, en un punto${\displaystyle x\in M}$elige una curva integral${\displaystyle \gamma$ :(-\varepsilon ,\varepsilon )\a M} para${\displaystyle X}$en${\displaystyle x}$. Para cada${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$escribiremos${\displaystyle \tau _{t}:E_{\gamma (t)}\to E_{x}}$para el mapa de transporte paralelo que viaja a lo largo${\displaystyle \gamma }$de${\displaystyle t}$a${\displaystyle 0}$. En particular para cada${\displaystyle t\in (-\varepsilon ,\varepsilon )}$, tenemos${\displaystyle \tau _{t}s(\gamma (t))\in E_{x}}$. Entonces${\displaystyle t\mapsto \tau _{t}s(\gamma (t))}$define una curva en el espacio vectorial${\displaystyle E_{x}}$, que puede diferenciarse. La derivada covariante se recupera como

${\displaystyle \nabla _{X}s(x)={\frac {d}{dt}}\left(\tau _{t}s(\gamma (t))\right)_{t=0}.}$

Esto demuestra que una definición equivalente de una conexión se obtiene especificando todos los isomorfismos de transporte paralelo.${\displaystyle \tau _{\gamma }}$entre fibras de${\displaystyle E}$y tomando la expresión anterior como la definición de${\displaystyle \nabla }$.

La curvatura de una conexión${\displaystyle \nabla }$en${\displaystyle E\to M}$es una forma 2${\displaystyle F_{\nabla }}$en${\displaystyle M}$con valores en el haz de endomorfismos${\displaystyle \operatorname {End} (E)=E^{*}\otimes E}$. Eso es,

${\displaystyle F_{\nabla }\in \Omega ^{2}(\mathrm {End} (E))=\Gamma (\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathrm {End} (E)).}$

Se define mediante la expresión

${\displaystyle F_{\nabla }(X,Y)(s)=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s}$

dónde${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son campos vectoriales tangentes en${\displaystyle M}$y${\displaystyle s}$es una sección de${\displaystyle E}$. Hay que comprobar que${\displaystyle F_{\nabla }}$es${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-lineal en ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$y que de hecho define un endomorfismo de haces de${\displaystyle E}$.

Como se mencionó anteriormente , la derivada exterior covariante${\displaystyle d_{\nabla }}$no es necesario que sea cuadrado a cero cuando se actúa sobre${\displaystyle E}$formas con valor. El operador${\displaystyle d_{\nabla }^{2}}$es, sin embargo, estrictamente tensorial (es decir,${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-lineal). Esto implica que se induce a partir de una 2-forma con valores en${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$. Esta 2-forma es precisamente la forma de curvatura dada anteriormente. Para un${\displaystyle E}$forma valorada${\displaystyle \sigma }$tenemos

${\displaystyle (d_{\nabla })^{2}\sigma =F_{\nabla }\wedge \sigma .}$

Una conexión plana es aquella cuya forma curva desaparece idénticamente.

Dadas dos conexiones${\displaystyle \nabla _{1},\nabla _{2}}$en un haz vectorial${\displaystyle E\to M}$Es natural preguntarse cuándo podrían considerarse equivalentes. Existe una noción bien definida de automorfismo de un fibrado vectorial.${\displaystyle E\to M}$. Una sección${\displaystyle u\in \Gamma (\operatorname {End} (E))}$es un automorfismo si${\displaystyle u(x)\in \operatorname {End} (E_{x})}$es invertible en cada punto${\displaystyle x\in M}$. Dicho automorfismo se denomina transformación de gauge de${\displaystyle E}$y el grupo de todos los automorfismos se llama grupo de calibre , a menudo denotado${\displaystyle {\mathcal {G}}}$o${\displaystyle \operatorname {Aut} (E)}$El grupo de transformaciones de calibre puede caracterizarse claramente como el espacio de secciones del fibrado adjunto de mayúscula A.${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$del haz de marcos del haz vectorial${\displaystyle E}$Esto no debe confundirse con el haz adjunto en minúsculas .${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathcal {F}}(E))}$, que se identifica naturalmente con${\displaystyle \operatorname {End} (E)}$El paquete mismo.${\displaystyle \operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)}$es el haz asociado al haz de marco principal mediante la representación de conjugación de${\displaystyle G=\operatorname {GL} (r)}$sobre sí mismo,${\displaystyle g\mapsto ghg^{-1}}$y tiene fibra del mismo grupo lineal general${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$dónde${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$Nótese que, a pesar de tener la misma fibra que el haz de tramas,${\displaystyle {\mathcal {F}}(E)}$y estando asociado a ella,${\displaystyle \operatorname {Ad} ({\mathcal {F}}(E))}$no es igual al paquete de marcos, ni siquiera a un paquete principal en sí mismo. El grupo de calibre puede caracterizarse de manera equivalente como${\displaystyle {\mathcal {G}}=\Gamma (\operatorname {Ad} {\mathcal {F}}(E)).}$