Expresión (matemáticas)

En álgebra elemental , una variable en una expresión es una letra que representa un número cuyo valor puede cambiar. Evaluar una expresión con una variable significa hallar el valor de la expresión cuando la variable se sustituye por un número dado. Las expresiones se pueden simplificar reemplazando las operaciones que aparecen en ellas por su resultado, o combinando términos semejantes . La evaluación de una expresión consiste en repetir pasos de simplificación hasta obtener finalmente un solo número. ^{[ 6 ]}

Por ejemplo, tomemos la expresión${\displaystyle 4x^{2}+8}$; se puede evaluar para x = 3 siguiendo los siguientes pasos:

${\textstyle 4\cdot 3^{2}+8}$(reemplazar x por 3)

${\displaystyle 4\cdot 9+8}$(evaluar el cuadrado)

${\displaystyle 36+8}$(evalúa la multiplicación)

${\displaystyle 44}$(evaluar la suma)

Un término es una constante o el producto de una constante y una o más variables. Algunos ejemplos incluyen:${\displaystyle 7,\;5x,\;13x^{2}y,\;4b}$La constante del producto se llama coeficiente . Los términos que son constantes o que tienen las mismas variables elevadas a la misma potencia se llaman términos semejantes . Si hay términos semejantes en una expresión, se puede simplificar combinándolos. Se suman los coeficientes y se mantiene la misma variable.

${\displaystyle 4x+7x+2x=13x}$

Cualquier variable puede clasificarse como variable libre o variable ligada . Para una combinación dada de valores de las variables libres, se puede evaluar una expresión, aunque para algunas combinaciones de valores de las variables libres, el valor de la expresión puede ser indefinido . Por lo tanto, una expresión representa una operación sobre constantes y variables libres, cuyo resultado es el valor resultante de la expresión. ^{[ 7 ]}

Para un lenguaje no formalizado, es decir, en la mayoría de los textos matemáticos fuera de la lógica matemática , para una expresión individual no siempre es posible identificar qué variables son libres y cuáles están ligadas. Por ejemplo, en${\textstyle \sum _ {i<k}a_ {ik}}$, dependiendo del contexto, la variable${\textstyle i}$puede ser gratis y${\textstyle k}$ligados, o viceversa, pero no pueden ser ambos libres. Determinar qué valor se supone libre depende del contexto y la semántica . ^{[ 8 ]}

Una expresión se usa a menudo para definir una función , o para denotar composiciones de funciones, tomando las variables como argumentos , o entradas, de la función, y asignando como salida la evaluación de la expresión resultante. ^{[ 9 ]} Por ejemplo,${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$y${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$ define la función que asocia a cada número su cuadrado más uno. Una expresión sin variables definiría una función constante . De esta manera, se dice que dos expresiones son equivalentes si, para cada combinación de valores de las variables libres, tienen el mismo resultado, es decir, representan la misma función. ^{[ 10 ] [ 11 ]} La equivalencia entre dos expresiones se llama identidad y a veces se denota con${\displaystyle \equiv .}$

Por ejemplo, en la expresión${\textstyle \sum _ {n=1}^{3}(2nx),}$La variable n está ligada y la variable x es libre. Esta expresión es equivalente a la expresión más simple 12 x ; es decir$${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$El valor para x = 3 es 36, que se puede denotar$${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

La sintaxis de las expresiones matemáticas puede describirse de manera algo informal como sigue: los operadores permitidos deben tener el número correcto de entradas en los lugares correctos (generalmente escritos con notación infija ), las subexpresiones que componen estas entradas deben estar bien formadas, tener un orden claro de operaciones , etc. Las cadenas de símbolos que se ajustan a las reglas de sintaxis se denominan bien formadas , y las que no lo están se denominan mal formadas y no constituyen expresiones matemáticas. ^{[ 12 ]}

Por ejemplo, en aritmética , la expresión 1 + 2 × 3 está bien formada, pero

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

no lo es.

Sin embargo, estar bien formado no es suficiente para ser considerado bien definido. Por ejemplo, en aritmética, la expresión${\textstyle {\frac {1}{0}}}$está bien formada, pero no está bien definida (véase División por cero ). Estas expresiones se denominan indefinidas .

La semántica es el estudio del significado. La semántica formal se ocupa de atribuir significado a las expresiones. Se dice que una expresión que define un valor o significado único está bien definida . De lo contrario, se dice que la expresión está mal definida o es ambigua. ^{[ 13 ]} En general, el significado de las expresiones no se limita a designar valores; por ejemplo, una expresión puede designar una condición, o una ecuación que debe resolverse, o puede considerarse como un objeto en sí mismo que puede manipularse según ciertas reglas. Ciertas expresiones que designan un valor expresan simultáneamente una condición que se supone válida, por ejemplo, aquellas que involucran el operador${\displaystyle \oplus }$designar una suma directa interna .

En álgebra , una expresión puede utilizarse para designar un valor, que puede depender de los valores asignados a las variables que aparecen en ella. La determinación de este valor depende de la semántica asociada a los símbolos de la expresión. La elección de la semántica depende del contexto de la expresión. La misma expresión sintáctica 1 + 2 × 3 puede tener diferentes valores (matemáticamente 7, pero también 9), dependiendo del orden de las operaciones que implique el contexto (véase también Operaciones § Calculadoras ).

Para números reales , el producto${\displaystyle a\times b\times c}$es inequívoco porque${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$; por lo tanto, se dice que la notación está bien definida . ^{[ 13 ]} Esta propiedad, también conocida como asociatividad de la multiplicación, garantiza que el resultado no depende de la secuencia de multiplicaciones; por lo tanto, se puede omitir la especificación de la secuencia. La operación de resta no es asociativa; a pesar de ello, existe una convención que${\displaystyle abc}$es una abreviatura de${\displaystyle (ab)-c}$, por lo tanto se considera "bien definido". Por otro lado, la división no es asociativa, y en el caso de${\displaystyle a/b/c}$Las convenciones de uso de paréntesis no están bien establecidas; por lo tanto, esta expresión a menudo se considera mal definida.

A diferencia de las funciones, las ambigüedades de notación se pueden superar mediante definiciones adicionales (por ejemplo, reglas de precedencia , asociatividad del operador). Por ejemplo, en el lenguaje de programación C , el operador -de resta es asociativo de izquierda a derecha , lo que significa que a-b-cse define como (a-b)-c, y el operador =de asignación es asociativo de derecha a izquierda , lo que significa que a=b=cse define como a=(b=c). ^{[ 14 ]} En el lenguaje de programación APL solo hay una regla: de derecha a izquierda , pero primero los paréntesis.

Un cálculo es cualquier tipo de cálculo aritmético o no aritmético que esté "bien definido". ^{[ 19 ]} La noción de que las proposiciones matemáticas deberían estar "bien definidas" había sido debatida por matemáticos desde al menos el siglo XVII , ^{[ 20 ]} pero el acuerdo sobre una definición adecuada resultó difícil de alcanzar. ^{[ 21 ]} Varios matemáticos propusieron independientemente una definición candidata en la década de 1930. ^{[ 22 ]} La variante más conocida fue formalizada por el matemático Alan Turing , quien definió una proposición o cálculo bien definido como cualquier proposición que pudiera expresarse en términos de los parámetros de inicialización de una máquina de Turing . ^{[ 23 ]} La definición de Turing atribuyó la "bien definida" a una clase muy amplia de proposiciones matemáticas, incluidas todas las proposiciones algebraicas bien formadas y todas las proposiciones escritas en lenguajes de programación modernos. ^{[ 24 ]}

A pesar de la amplia aceptación de esta definición, existen algunos conceptos matemáticos que no tienen una caracterización bien definida bajo esta definición. Esto incluye el problema de la parada y el juego del castor ocupado . Sigue siendo una cuestión abierta si existe una definición más potente de «bien definido» que pueda abarcar tanto enunciados computables como «no computables». ^{[ a ] ​​[ 25 ]} Todos los enunciados caracterizados en los lenguajes de programación modernos están bien definidos, incluidos C++ , Python y Java . ^{[ 24 ]}

Ejemplos comunes de computación son la aritmética básica y la ejecución de algoritmos informáticos . Un cálculo es un proceso matemático deliberado que transforma una o más entradas en una o más salidas o resultados . Por ejemplo, multiplicar 7 por 6 es un cálculo algorítmico simple. Extraer la raíz cuadrada o la raíz cúbica de un número mediante modelos matemáticos es un cálculo algorítmico más complejo.

Un polinomio consta de variables y coeficientes que involucran únicamente las operaciones de suma , resta , multiplicación y potenciación de números enteros no negativos , y tiene un número finito de términos. El problema de la evaluación de polinomios surge con frecuencia en la práctica. En geometría computacional , los polinomios se utilizan para calcular aproximaciones de funciones mediante polinomios de Taylor . En criptografía y tablas hash , los polinomios se utilizan para calcular funciones hash k -independientes .

En el primer caso, los polinomios se evalúan mediante aritmética de punto flotante , que no es exacta. Por lo tanto, diferentes métodos de evaluación generalmente darán resultados ligeramente distintos. En el segundo caso, los polinomios se evalúan normalmente en un cuerpo finito , en cuyo caso los resultados son siempre exactos.

Para evaluar el polinomio univariado${\textstyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0},}$El método más ingenuo sería utilizar${\displaystyle n}$multiplicaciones para calcular${\displaystyle a_{n}x^{n}}$, usar${\textstyle n-1}$multiplicaciones para calcular${\displaystyle a_{n-1}x^{n-1}}$y así sucesivamente para un total de${\estilo de texto {\frac {n(n+1)}{2}}}$multiplicaciones y${\displaystyle n}$adiciones. Utilizando mejores métodos, como la regla de Horner , esto se puede reducir a${\displaystyle n}$multiplicaciones y${\displaystyle n}$adiciones. Si se permite algún preprocesamiento, es posible obtener aún más ahorros.

Una expresión algebraica es una expresión construida a partir de ^constantes algebraicas , variables y operaciones algebraicas ( suma , resta , multiplicación , división y potenciación por un número racional ). ^{[ 28 ]} Por ejemplo, 3 x² − 2 xy + c es una expresión algebraica. Dado que tomar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia 1/2 , la siguiente expresión también es algebraica:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Véase también: Ecuación algebraica y Cierre algebraico

Un polinomio es una expresión construida con escalares (números de elementos de algún campo), variables y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas; por ejemplo${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

Utilizando la asociatividad , la conmutatividad y la distributividad , toda expresión polinómica es equivalente a un polinomio , es decir, una expresión que es una combinación lineal de productos de potencias enteras de las indeterminadas. Por ejemplo, la expresión polinómica anterior es equivalente (denotemos el mismo polinomio como${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

Muchos autores no distinguen entre polinomios y expresiones polinómicas. En este caso, la expresión de un polinomio como combinación lineal se denomina forma canónica , forma normal o forma expandida del polinomio.

Una expresión formal es una especie de cadena de símbolos , creada con las mismas reglas de producción que las expresiones estándar; sin embargo, se utiliza sin tener en cuenta el significado de la expresión. De este modo, dos expresiones formales se consideran iguales solo si son sintácticamente iguales, es decir, si son exactamente la misma expresión. ^{[ 29 ] [ 30 ]} Por ejemplo, las expresiones formales "2" y "1+1" no son iguales.

Los lenguajes formales permiten formalizar el concepto de expresiones bien formadas.

En la década de 1930, Alonzo Church y Stephen Kleene introdujeron un nuevo tipo de expresión, la expresión lambda , para formalizar funciones y su evaluación. ^{[ 31 ] [ b ]} Los operadores lambda (abstracción lambda y aplicación de funciones) forman la base del cálculo lambda, un sistema formal utilizado en lógica matemática y teoría de lenguajes de programación .

La equivalencia de dos expresiones lambda es indecidible (pero véase unificación (informática) ). Esto también se aplica a las expresiones que representan números reales, las cuales se construyen a partir de los enteros mediante las operaciones aritméticas, el logaritmo y la exponencial ( teorema de Richardson ).

El hueso de Ishango en el RBINS . Una tablilla babilónica que aproxima la raíz cuadrada de 2. Problema 14 del Papiro Matemático de Moscú .

Las primeras matemáticas escritas probablemente comenzaron con marcas de conteo , donde cada marca representaba una unidad, talladas en madera o piedra. Un ejemplo de conteo primitivo es el hueso de Ishango , encontrado cerca del Nilo y que data de hace más de 20.000 años , que se cree que muestra un calendario lunar de seis meses . ^{[ 32 ]} El antiguo Egipto desarrolló un sistema simbólico utilizando jeroglíficos , asignando símbolos para potencias de diez y utilizando símbolos de suma y resta que se asemejan a piernas en movimiento. ^{[ 33 ] [ 34 ]} Este sistema, registrado en textos como el Papiro Matemático de Rhind (c. 2000–1800 a. C.), influyó en otras culturas mediterráneas . En Mesopotamia , evolucionó un sistema similar, con números escritos en un formato de base 60 ( sexagesimal ) en tablillas de arcilla escritas en escritura cuneiforme , una técnica originada por los sumerios alrededor del 3000 a. C. Este sistema de base 60 persiste hoy en día en la medición del tiempo y los ángulos .

La etapa "sincopada" de las matemáticas introdujo abreviaturas simbólicas para operaciones y cantidades de uso común, marcando un cambio del razonamiento puramente geométrico . Las matemáticas de la antigua Grecia , en gran medida geométricas, se basaron en los sistemas numéricos egipcios (especialmente los numerales áticos ), ^{[ 35 ]} con poco interés en los símbolos algebraicos, hasta la llegada de Diofanto de Alejandría , ^{[ 36 ]} quien fue pionero en una forma de álgebra sincopada en su Arithmetica , que introdujo la manipulación simbólica de expresiones. ^{[ 37 ]} Su notación representaba incógnitas y potencias simbólicamente, pero sin símbolos modernos para relaciones (como igualdad o desigualdad ) o exponentes . ^{[ 38 ]} Un número desconocido se llamaba${\displaystyle \zeta }$. ^{[ 39 ]} El cuadrado de${\displaystyle \zeta }$era${\displaystyle \Delta ^{v}}$; el cubo era${\displaystyle K^{v}}$; la cuarta potencia era${\displaystyle \Delta ^{v}\Delta }$; la quinta potencia era${\displaystyle \Delta K^{v}}$; y${\displaystyle \pitchfork }$significaba restar todo lo que está a la derecha de lo que está a la izquierda. ^{[ 40 ]} Por ejemplo, lo que se escribiría en notación moderna como: $${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+10x-1,}$$ Se escribiría en la notación sincopada de Diofanto como:

${\displaystyle \mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;}$

En el siglo VII, Brahmagupta utilizó diferentes colores para representar las incógnitas en las ecuaciones algebraicas del Brāhmasphuṭasiddhānta . Los avances matemáticos griegos y de otras culturas antiguas a menudo se veían atrapados en ciclos de explosiones de creatividad, seguidas de largos períodos de estancamiento, pero esto comenzó a cambiar a medida que el conocimiento se difundió a principios de la Edad Moderna .

La transición al álgebra totalmente simbólica comenzó con Ibn al-Banna' al-Marrakushi (1256–1321) y Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī , (1412–1482) quienes introdujeron símbolos para operaciones usando caracteres árabes . ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]} El signo más (+) apareció alrededor de 1351 con Nicole Oresme , ^{[ 44 ]} probablemente derivado del latín et (que significa "y"), mientras que el signo menos (−) fue utilizado por primera vez en 1489 por Johannes Widmann . ^{[ 45 ]} Luca Pacioli incluyó estos símbolos en sus obras, aunque gran parte se basó en contribuciones anteriores de Piero della Francesca . El símbolo radical (√) para la raíz cuadrada fue introducido por Christoph Rudolff en el siglo XVI, y los paréntesis para la precedencia por Niccolò Tartaglia en 1556. La Nueva Álgebra de François Viète (1591) formalizó la manipulación simbólica moderna. El signo de multiplicación (×) fue utilizado por primera vez por William Oughtred y el signo de división (÷) por Johann Rahn .

René Descartes perfeccionó aún más el simbolismo algebraico en La Géométrie (1637), donde introdujo el uso de letras al final del alfabeto (x, y, z) para variables , junto con el sistema de coordenadas cartesianas , que unió el álgebra y la geometría. ^{[ 46 ]} Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollaron independientemente el cálculo a finales del siglo XVII, y la notación de Leibniz se convirtió en el estándar.