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Derivada covariante

En matemáticas , la derivada covariante es una forma de especificar una derivada a lo largo de los vectores tangentes de una variedad . Alternativamente, la derivada covariante ...

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En matemáticas , la derivada covariante es una forma de especificar una derivada a lo largo de los vectores tangentes de una variedad . Alternativamente, la derivada covariante es una forma de introducir y trabajar con una conexión en una variedad mediante un operador diferencial , en contraste con el enfoque dado por una conexión principal en el fibrado de marcos (véase conexión afín) . En el caso especial de una variedad incrustada isométricamente en un espacio euclidiano de dimensión superior , la derivada covariante puede considerarse como la proyección ortogonal de la derivada direccional euclidiana sobre el espacio tangente de la variedad. En este caso, la derivada euclidiana se divide en dos partes: la componente normal extrínseca (que depende de la incrustación) y la componente de derivada covariante intrínseca.

El nombre está motivado por la importancia de los cambios de coordenadas en física : la derivada covariante se transforma covariantemente bajo una transformación de coordenadas general, es decir, linealmente a través de la matriz jacobiana de la transformación. [ 1 ]

Este artículo presenta una introducción a la derivada covariante de un campo vectorial con respecto a otro campo vectorial, tanto en un lenguaje independiente de coordenadas como utilizando un sistema de coordenadas local y la notación de índices tradicional. La derivada covariante de un campo tensorial se presenta como una extensión del mismo concepto. La derivada covariante se generaliza directamente a una noción de diferenciación asociada a una conexión en un fibrado vectorial , también conocida como conexión de Koszul .

Historia

Históricamente, a principios del siglo XX, la derivada covariante fue introducida por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita en la teoría de la geometría riemanniana y pseudoriemanniana . [ 2 ] Ricci y Levi-Civita (siguiendo ideas de Elwin Bruno Christoffel ) observaron que los símbolos de Christoffel utilizados para definir la curvatura también podían proporcionar una noción de diferenciación que generalizaba la derivada direccional clásica de campos vectoriales en una variedad. [ 3 ] [ 4 ] Esta nueva derivada —la conexión de Levi-Civita— era covariante en el sentido de que satisfacía el requisito de Riemann de que los objetos en geometría debían ser independientes de su descripción en un sistema de coordenadas particular.

Pronto, otros matemáticos, entre los que destacan Hermann Weyl , Jan Arnoldus Schouten y Élie Cartan , [ 5 ] observaron que una derivada covariante podía definirse abstractamente sin la presencia de una métrica . La característica crucial no era una dependencia particular de la métrica, sino que los símbolos de Christoffel satisfacían una ley de transformación precisa de segundo orden. Esta ley de transformación podía servir como punto de partida para definir la derivada de manera covariante. Así, la teoría de la diferenciación covariante se separó del contexto estrictamente riemanniano para incluir una gama más amplia de geometrías posibles.

En la década de 1940, los practicantes de la geometría diferencial comenzaron a introducir otras nociones de diferenciación covariante en haces vectoriales generales que, a diferencia de los haces clásicos de interés para los geómetras, no formaban parte del análisis tensorial de la variedad. En general, estas derivadas covariantes generalizadas debían especificarse ad hoc mediante alguna versión del concepto de conexión. En 1950, Jean-Louis Koszul unificó estas nuevas ideas de diferenciación covariante en un haz vectorial mediante lo que hoy se conoce como conexión de Koszul o conexión en un haz vectorial. [ 6 ] Utilizando ideas de la cohomología del álgebra de Lie , Koszul logró convertir muchas de las características analíticas de la diferenciación covariante en algebraicas. En particular, las conexiones de Koszul eliminaron la necesidad de manipulaciones complejas de los símbolos de Christoffel (y otros objetos análogos no tensoriales ) en geometría diferencial. De este modo, rápidamente suplantaron la noción clásica de derivada covariante en muchos tratamientos del tema posteriores a 1950.

Motivación

La derivada covariante es una generalización de la derivada direccional del cálculo vectorial . Al igual que la derivada direccional, la derivada covariante es una regla,∇túv{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}, que toma como entradas: (1) un vector, u , definido en un punto P , y (2) un campo vectorial v definido en un entorno de P . [ 7 ] La salida es el vector∇túv(PAG){\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }(P)}, también en el punto P. La principal diferencia con la derivada direccional usual es que∇túv{\displaystyle \nabla _{\mathbf {u} }{\mathbf {v} }}debe, en cierto sentido preciso, ser independiente de la forma en que se expresa en un sistema de coordenadas .

Un vector puede describirse como una lista de números en términos de una base , pero como objeto geométrico, conserva su identidad independientemente de cómo se describa. Para un vector geométrico expresado en componentes con respecto a una base, cuando se cambia la base, las componentes se transforman según una fórmula de cambio de base , y las coordenadas experimentan una transformación covariante . La derivada covariante debe transformarse, bajo un cambio de coordenadas, mediante una transformación covariante del mismo modo que lo hace una base (de ahí su nombre).

En el caso del espacio euclidiano , la derivada direccional de un campo vectorial se define habitualmente como la diferencia entre dos vectores en dos puntos cercanos. En este sistema, se traslada uno de los vectores al origen del otro, manteniendo la paralelidad, y luego se calcula su diferencia dentro del mismo espacio vectorial. En un sistema de coordenadas cartesianas ( ortonormales fijas ), mantener la paralelidad equivale a mantener constantes las componentes. Esta derivada direccional ordinaria en el espacio euclidiano es el primer ejemplo de una derivada covariante.

A continuación, hay que tener en cuenta los cambios en el sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el plano euclidiano se describe mediante coordenadas polares, «mantenerlo paralelo» no equivale a mantener constantes las componentes polares durante la traslación, ya que la propia cuadrícula de coordenadas «rota». Por lo tanto, la misma derivada covariante escrita en coordenadas polares contiene términos adicionales que describen cómo rota la cuadrícula de coordenadas o cómo, en coordenadas más generales, la cuadrícula se expande, se contrae, se retuerce, se entrelaza, etc.

Consideremos el ejemplo de una partícula que se mueve a lo largo de una curva γ ( t ) en el plano euclidiano. En coordenadas polares, γ puede escribirse en términos de sus coordenadas radiales y angulares mediante γ ( t ) = ( r ( t ), θ ( t )) . Un vector en un instante particular t [ 8 ] (por ejemplo, una aceleración constante de la partícula) se expresa en términos de(mir,miθ){\displaystyle (\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta })}, dóndemir{\displaystyle \mathbf {e} _ {r}}ymiθ{\displaystyle \mathbf {e} _ {\theta }}son vectores tangentes unitarios para las coordenadas polares, que sirven como base para descomponer un vector en términos de componentes radiales y tangenciales . Un poco más tarde, la nueva base en coordenadas polares aparece ligeramente rotada con respecto al primer conjunto. La derivada covariante de los vectores base (los símbolos de Christoffel ) sirve para expresar este cambio.

En un espacio curvo, como la superficie de la Tierra (considerada una esfera), la traslación de vectores tangentes entre diferentes puntos no está bien definida, y su análogo, el transporte paralelo , depende de la trayectoria a lo largo de la cual se traslada el vector. Un vector en un globo terráqueo, en el ecuador, en el punto Q, apunta hacia el norte. Supongamos que transportamos el vector (manteniéndolo paralelo) primero a lo largo del ecuador hasta el punto P , luego lo arrastramos a lo largo de un meridiano hasta el polo norte y, finalmente, lo transportamos a lo largo de otro meridiano de vuelta a Q. Entonces observamos que el vector transportado paralelamente a lo largo de un circuito cerrado no regresa como el mismo vector; en cambio, tiene una orientación diferente. Esto no ocurriría en el espacio euclidiano y se debe a la curvatura de la superficie del globo. El mismo efecto ocurre si arrastramos el vector a lo largo de una superficie cerrada infinitesimalmente pequeña, posteriormente en dos direcciones y luego de vuelta. Este cambio infinitesimal del vector es una medida de la curvatura y puede definirse en términos de la derivada covariante.

Observaciones

  • La definición de la derivada covariante no utiliza la métrica en el espacio. Sin embargo, para cada métrica existe una derivada covariante única sin torsión , denominada conexión de Levi-Civita, tal que la derivada covariante de la métrica es cero.
  • Las propiedades de una derivada implican que∇vtú{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }depende de los valores de u en un entorno de un punto p de la misma manera que, por ejemplo, la derivada de una función escalar f a lo largo de una curva en un punto dado p depende de los valores de f en un entorno de p .
  • La información en la vecindad de un punto p en la derivada covariante puede utilizarse para definir el transporte paralelo de un vector. Asimismo, la curvatura , la torsión y las geodésicas pueden definirse únicamente en términos de la derivada covariante u otra variación relacionada con la idea de una conexión lineal .
  • Algunas ecuaciones que involucran derivadas covariantes pueden resolverse localmente utilizando las integrales iteradas de Chen [ 9 ] o mediante un enfoque basado en el operador de homotopía lineal. [ 10 ]

Definición informal mediante una incrustación en el espacio euclidiano

Supongamos que un subconjunto abierto U de una variedad riemanniana d -dimensional M está incrustado en el espacio euclidiano.(Rnorte,⟨⋅,⋅⟩){\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}mediante una aplicación dos veces continuamente diferenciable (C2 )Ψ→:Rd⊃U→Rnorte{\displaystyle {\vec {\Psi }}:\mathbb {R} ^{d}\supset U\to \mathbb {R} ^{n}}de tal manera que el espacio tangente enΨ→(pag){\displaystyle {\vec {\Psi }}(p)}está generado por los vectores {∂Ψ→∂incógnitai|pag:i∈{1,…,d}}{\displaystyle \left\{\left.{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}}\right|_{p}:i\in \{1,\dots ,d\}\right\}} y el producto escalar⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle }enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}es compatible con la métrica en M : gramoij=⟨∂Ψ→∂incógnitai,∂Ψ→∂incógnitaj⟩.{\displaystyle g_{ij}=\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right\rangle .}

(Dado que la métrica de la variedad siempre se supone regular, la condición de compatibilidad implica la independencia lineal de los vectores tangentes de las derivadas parciales).

Para un campo vectorial tangente,V→=vj∂Ψ→∂incógnitaj{\displaystyle {\vec {V}}=v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}}, uno tiene ∂V→∂incógnitai=∂∂incógnitai(vj∂Ψ→∂incógnitaj)=∂vj∂incógnitai∂Ψ→∂incógnitaj+vj∂2Ψ→∂incógnitai∂incógnitaj.{\displaystyle {\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(v^{j}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}\right)={\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}}+v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}.}

El último término no es tangente a M , pero puede expresarse como una combinación lineal de los vectores base del espacio tangente utilizando los símbolos de Christoffel como factores lineales más un vector ortogonal al espacio tangente: vj∂2Ψ→∂incógnitai∂incógnitaj=vjΓkij∂Ψ→∂incógnitak+norte→.{\displaystyle v^{j}{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}=v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}}.}

En el caso de la conexión Levi-Civita , la derivada covariante∇miiV→{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}}, también escrito∇iV→{\displaystyle \nabla _{i}{\vec {V}}}, se define como la proyección ortogonal de la derivada usual sobre el espacio tangente: ∇miiV→:=∂V→∂incógnitai−norte→=(∂vk∂incógnitai+vjΓkij)∂Ψ→∂incógnitak.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{i}}{\vec {V}}:={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial x^{i}}}-{\vec {n}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial x^{i}}}+v^{j}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}.}

Desde aquí puede ser computacionalmente conveniente obtener una relación entre los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita y la métrica. Para ello, primero observamos que, dado que el vectornorte→{\displaystyle {\vec {n}}}en la ecuación anterior es ortogonal al espacio tangente, ⟨∂2Ψ→∂incógnitai∂incógnitaj,∂Ψ→∂incógnital⟩=⟨Γkij∂Ψ→∂incógnitak+norte→,∂Ψ→∂incógnital⟩=⟨∂Ψ→∂incógnitak,∂Ψ→∂incógnital⟩Γkij=gramoklΓkij.{\displaystyle \left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\Gamma ^{k}}_{ij}{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}}+{\vec {n}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{l}}}\right\rangle {\Gamma ^{k}}_{ij}=g_{kl}\,{\Gamma ^{k}}_{ij}.}

Entonces, dado que la derivada parcial de un componentegramoab{\displaystyle g_{ab}}de la métrica con respecto a una coordenadaincógnitado{\displaystyle x^{c}}es ∂gramoab∂incógnitado=∂∂incógnitado⟨∂Ψ→∂incógnitaa,∂Ψ→∂incógnitab⟩=⟨∂2Ψ→∂incógnitado∂incógnitaa,∂Ψ→∂incógnitab⟩+⟨∂Ψ→∂incógnitaa,∂2Ψ→∂incógnitado∂incógnitab⟩,{\displaystyle {\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}={\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{a}}},{\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{b}}}\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{a}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{c}\,\partial x^{b}}}\right\rangle ,} Cualquier triplete i , j , k de índices produce un sistema de ecuaciones. {∂gramojk∂incógnitai=⟨∂Ψ→∂incógnitaj,∂2Ψ→∂incógnitak∂incógnitai⟩+⟨∂Ψ→∂incógnitak,∂2Ψ→∂incógnitai∂incógnitaj⟩∂gramoki∂incógnitaj=⟨∂Ψ→∂incógnitai,∂2Ψ→∂incógnitaj∂incógnitak⟩+⟨∂Ψ→∂incógnitak,∂2Ψ→∂incógnitai∂incógnitaj⟩∂gramoij∂incógnitak=⟨∂Ψ→∂incógnitai,∂2Ψ→∂incógnitaj∂incógnitak⟩+⟨∂Ψ→∂incógnitaj,∂2Ψ→∂incógnitak∂incógnitai⟩.{\displaystyle \left\{{\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}=&&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &&+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right\rangle \\{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=&\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}\right\rangle &+\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{j}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}\partial x^{i}}}\right\rangle &&.\end{alignedat}}\right.} (Aquí se ha utilizado la simetría del producto escalar y se ha intercambiado el orden de las derivadas parciales).

Sumando las dos primeras ecuaciones y restando la tercera, obtenemos ∂gramojk∂incógnitai+∂gramoki∂incógnitaj−∂gramoij∂incógnitak=2⟨∂Ψ→∂incógnitak,∂2Ψ→∂incógnitai∂incógnitaj⟩.{\displaystyle {\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}}=2\left\langle {\frac {\partial {\vec {\Psi }}}{\partial x^{k}}},{\frac {\partial ^{2}{\vec {\Psi }}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}\right\rangle .}

Así, los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita están relacionados con la métrica por gramoklΓkij=12(∂gramojl∂incógnitai+∂gramoli∂incógnitaj−∂gramoij∂incógnital).{\displaystyle g_{kl}{\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}

Si g no es degenerado entoncesΓkij{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}se puede resolver directamente como Γkij=12gramokl(∂gramojl∂incógnitai+∂gramoli∂incógnitaj−∂gramoij∂incógnital).{\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}={\frac {1}{2}}g^{kl}\left({\frac {\partial g_{jl}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial g_{li}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{l}}}\right).}

Para un ejemplo muy sencillo que capture la esencia de la descripción anterior, dibuje un círculo en una hoja de papel plana. Recorra el círculo a velocidad constante. La derivada de su velocidad, su vector de aceleración, siempre apunta radialmente hacia adentro. Enrolle esta hoja de papel formando un cilindro. Ahora, la derivada (euclidiana) de su velocidad tiene una componente que a veces apunta hacia el eje del cilindro, dependiendo de si se encuentra cerca de un solsticio o un equinoccio. (En el punto del círculo donde se mueve paralelamente al eje, no hay aceleración hacia adentro. Por el contrario, en un punto (1/4 de círculo más adelante) donde la velocidad está a lo largo de la curva del cilindro, la aceleración hacia adentro es máxima). Esta es la componente normal (euclidiana). La componente de la derivada covariante es la componente paralela a la superficie del cilindro, y es la misma que antes de enrollar la hoja en un cilindro.

Definición formal

Una derivada covariante es una conexión (de Koszul) en el fibrado tangente y otros fibrados tensoriales : diferencia campos vectoriales de forma análoga a la diferencial usual en funciones. La definición se extiende a una diferenciación en el dual de campos vectoriales (es decir, campos covectoriales ) y a campos tensoriales arbitrarios , de una forma única que garantiza la compatibilidad con el producto tensorial y las operaciones de traza (contracción tensorial).

Funciones

Dado un puntopag∈METRO{\displaystyle p\in M}de la variedad M , una función realF:METRO→R{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }en la variedad y un vector tangentev∈TpagMETRO{\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}, la derivada covariante de f en p a lo largo de v es el escalar en p , denotado(∇vF)pag{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}, que representa la parte principal del cambio en el valor de f cuando el argumento de f se modifica mediante el vector de desplazamiento infinitesimal v . (Este es el diferencial de f evaluado con respecto al vector v ). Formalmente, existe una curva diferenciable.ϕ:[−1,1]→METRO{\displaystyle \phi :[-1,1]\to M} tal queϕ(0)=pag{\displaystyle \phi (0)=p}yϕ′(0)=v{\displaystyle \phi '(0)=\mathbf {v} }y la derivada covariante de f en p se define por (∇vF)pag=(F∘ϕ)′(0)=límitet→0F(ϕ(t))−F(pag)t.{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}=\left(f\circ \phi \right)^{\prime }\left(0\right)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\phi \left(t\right))-f(p)}{t}}.}

Cuandov:METRO→TpagMETRO{\displaystyle \mathbf {v} :M\to T_{p}M}es un campo vectorial en M , la derivada covariante∇vF:METRO→R{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f:M\to \mathbb {R} }es la función que asocia a cada punto p en el dominio común de f y v el escalar(∇vF)pag{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}}.

Para una función escalar f y un campo vectorial v , la derivada covariante es∇vF{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}coincide con la derivada de LieLv(F){\displaystyle L_{\mathbf {v} }(f)}y con la derivada exteriordF(v){\displaystyle df(\mathbf {v} )}.

Campos vectoriales

Dado un punto p de la variedad M , un campo vectorialtú:METRO→TpagMETRO{\displaystyle \mathbf {u} :M\to T_{p}M}definido en un entorno de p y un vector tangentev∈TpagMETRO{\displaystyle \mathbf {v} \in T_{p}M}, la derivada covariante de u en p a lo largo de v es el vector tangente en p , denotado(∇vtú)pag{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}, de modo que se cumplan las siguientes propiedades (para cualesquiera vectores tangentes v , x e y en p , campos vectoriales u y w definidos en un entorno de p , valores escalares g y h en p , y función escalar f definida en un entorno de p ):

  1. (∇vtú)pag{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}es lineal env{\displaystyle \mathbf {v} }entonces(∇gramoincógnita+hytú)pag=gramo(pag)(∇incógnitatú)pag+h(pag)(∇ytú)pag{\displaystyle \left(\nabla _{g\mathbf {x} +h\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}=g(p)\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} \right)_{p}+h(p)\left(\nabla _{\mathbf {y} }\mathbf {u} \right)_{p}}
  2. (∇vtú)pag{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}es aditivo entú{\displaystyle \mathbf {u} }entonces:(∇v[tú+w])pag=(∇vtú)pag+(∇vw)pag{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[\mathbf {u} +\mathbf {w} \right]\right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}+\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {w} \right)_{p}}
  3. (∇vtú)pag{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}}obedece la regla del producto ; es decir, donde∇vF{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f}se define arriba,(∇v[Ftú])pag=F(pag)(∇vtú)pag+(∇vF)pagtúpag.{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\left[f\mathbf {u} \right]\right)_{p}=f(p)\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }f\right)_{p}\mathbf {u} _{p}.}

Tenga en cuenta que(∇vtú)pag{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}depende no solo del valor de u en p sino también de los valores de u en un entorno de p , porque la última propiedad, la regla del producto, implica la derivada direccional de f (por el vector v ).

Si u y v son ambos campos vectoriales definidos sobre un dominio común, entonces∇vtú{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} }denota el campo vectorial cuyo valor en cada punto p del dominio es el vector tangente(∇vtú)pag{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}}.

campos covectoriales

Dado un campo de covectores (o 1-forma )α{\displaystyle \alpha }definido en un entorno de p , su derivada covariante(∇vα)pag{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}se define de manera que la operación resultante sea compatible con la contracción tensorial y la regla del producto. Es decir,(∇vα)pag{\displaystyle (\nabla _{\mathbf {v} }\alpha )_{p}}se define como la única 1-forma en p tal que se satisface la siguiente identidad para todos los campos vectoriales u en un entorno de p.(∇vα)pag(túpag)=∇v[α(tú)]pag−αpag[(∇vtú)pag].{\displaystyle \left(\nabla _{\mathbf {v} }\alpha \right)_{p}\left(\mathbf {u} _{p}\right)=\nabla _{\mathbf {v} }\left[\alpha \left(\mathbf {u} \right)\right]_{p}-\alpha _{p}\left[\left(\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} \right)_{p}\right].}

La derivada covariante de un campo covectorial a lo largo de un campo vectorial v es, de nuevo, un campo covectorial.

campos tensoriales

Una vez definida la derivada covariante para campos de vectores y covectores, puede definirse para campos tensoriales arbitrarios imponiendo las siguientes identidades para cada par de campos tensoriales.φ{\displaystyle \varphi }yψ{\displaystyle \psi }en un vecindario del punto p : ∇v(φ⊗ψ)pag=(∇vφ)pag⊗ψ(pag)+φ(pag)⊗(∇vψ)pag,{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\left(\varphi \otimes \psi \right)_{p}=\left(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi \right)_{p}\otimes \psi (p)+\varphi (p)\otimes \left(\nabla _{\mathbf {v} }\psi \right)_{p},} y paraφ{\displaystyle \varphi }yψ{\displaystyle \psi }de la misma valencia ∇v(φ+ψ)pag=(∇vφ)pag+(∇vψ)pag.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(\varphi +\psi )_{p}=(\nabla _{\mathbf {v} }\varphi )_{p}+(\nabla _{\mathbf {v} }\psi )_{p}.} La derivada covariante de un campo tensorial a lo largo de un campo vectorial v es, de nuevo, un campo tensorial del mismo tipo.

Explícitamente, sea T un campo tensorial de tipo ( p , q ) . Consideremos T como una aplicación multilineal diferenciable de secciones suaves α₁ , α₂ , ..., αq del fibrado cotangente T * M y de secciones X₁, X₂ , ... , Xp del fibrado tangente TM , escrita T ( α₁ , α₂ , ..., X₁ , X₂ , ... ) en R. La derivada covariante de T a lo largo de Y viene dada por la fórmula (∇YT)(α1,α2,…,incógnita1,incógnita2,…)=∇Y(T(α1,α2,…,incógnita1,incógnita2,…))−T(∇Yα1,α2,…,incógnita1,incógnita2,…)−T(α1,∇Yα2,…,incógnita1,incógnita2,…)−⋯−T(α1,α2,…,∇Yincógnita1,incógnita2,…)−T(α1,α2,…,incógnita1,∇Yincógnita2,…)−⋯{\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla _{Y}T)\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)=&{}\nabla _{Y}\left(T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)\right)\\&{}-T\left(\nabla _{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\nabla _{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots \right)-\cdots \\&{}-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\nabla _{Y}X_{1},X_{2},\ldots \right)-T\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},\nabla _{Y}X_{2},\ldots \right)-\cdots \end{aligned}}}

Descripción de coordenadas

Dadas las funciones de coordenadasincógnitai, i=0,1,2,…,{\displaystyle x^{i},\ i=0,1,2,\dots ,}Cualquier vector tangente puede describirse mediante sus componentes en la base.mii=∂∂incógnitai.{\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}.}

La derivada covariante de un vector base a lo largo de otro vector base es nuevamente un vector y, por lo tanto, puede expresarse como una combinación lineal.Γkmik{\displaystyle \Gamma ^{k}\mathbf {e} _{k}}Para especificar la derivada covariante, basta con especificar la derivada covariante de cada campo vectorial base.mii{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}a lo largo demij{\displaystyle \mathbf {e} _{j}}. ∇mijmii=Γkijmik,{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}={\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k},}

los coeficientesΓkij{\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}}son los componentes de la conexión con respecto a un sistema de coordenadas locales. En la teoría de variedades riemannianas y pseudoriemannianas, los componentes de la conexión de Levi-Civita con respecto a un sistema de coordenadas locales se denominan símbolos de Christoffel .

Luego, utilizando las reglas de la definición, encontramos que para campos vectoriales generalesv=vjmij{\displaystyle \mathbf {v} =v^{j}\mathbf {e} _{j}}ytú=túimii{\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}\mathbf {e} _{i}}obtenemos ∇vtú=∇vjmijtúimii=vj∇mijtúimii=vjtúi∇mijmii+vjmii∇mijtúi=vjtúiΓkijmik+vj∂túi∂incógnitajmii{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} &=\nabla _{v^{j}\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\mathbf {e} _{i}\\&=v^{j}u^{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}+v^{j}\mathbf {e} _{i}\nabla _{\mathbf {e} _{j}}u^{i}\\&=v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}\mathbf {e} _{k}+v^{j}{\partial u^{i} \over \partial x^{j}}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}} entonces ∇vtú=(vjtúiΓkij+vj∂túk∂incógnitaj)mik.{\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }\mathbf {u} =\left(v^{j}u^{i}{\Gamma ^{k}}_{ij}+v^{j}{\partial u^{k} \over \partial x^{j}}\right)\mathbf {e} _{k}.}

El primer término de esta fórmula es responsable de "torsionar" el sistema de coordenadas con respecto a la derivada covariante y el segundo de los cambios de componentes del campo vectorial.tú{\displaystyle \mathbf {u} }. En particular ∇mijtú=∇jtú=(∂túi∂incógnitaj+túkΓikj)mii{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {u} =\nabla _{j}\mathbf {u} =\left({\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{j}}}+u^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}\right)\mathbf {e} _{i}}

En otras palabras: la derivada covariante es la derivada usual a lo largo de las coordenadas con términos de corrección que indican cómo cambian las coordenadas.

De manera similar, para los covectores tenemos ∇mijθ=(∂θi∂incógnitaj−θkΓkij)mi∗i,{\displaystyle \nabla _{\mathbf {e} _{j}}{\mathbf {\theta } }=\left({\frac {\partial \theta _{i}}{\partial x^{j}}}-\theta _{k}{\Gamma ^{k}}_{ij}\right){\mathbf {e} ^{*}}^{i},} dóndemi∗i(mij)=δij{\displaystyle {\mathbf {e} ^{*}}^{i}(\mathbf {e} _{j})={\delta ^{i}}_{j}}.

La derivada covariante de un campo tensorial de tipo ( r , s ) a lo largo demido{\displaystyle e_{c}}viene dada por la expresión:

(∇midoT)a1…arb1…bs=∂∂incógnitadoTa1…arb1…bs+Γa1ddoTda2…arb1…bs+⋯+ΓarddoTa1…ar−1db1…bs−Γdb1doTa1…ardb2…bs−⋯−ΓdbsdoTa1…arb1…bs−1d.{\displaystyle {\begin{aligned}{(\nabla _{e_{c}}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+\,{\Gamma ^{a_{1}}}_{dc}{T^{da_{2}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\cdots +{\Gamma ^{a_{r}}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r-1}d}}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&-\,{\Gamma ^{d}}_{b_{1}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{db_{2}\ldots b_{s}}-\cdots -{\Gamma ^{d}}_{b_{s}c}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s-1}d}.\end{aligned}}} O, dicho de otro modo: tome la derivada parcial del tensor y añádale:+Γaiddo{\displaystyle +{\Gamma ^{a_{i}}}_{dc}}para cada índice superiorai{\displaystyle a_{i}}, y−Γdbido{\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{b_{i}c}}por cada índice más bajobi{\displaystyle b_{i}}.

Si en lugar de un tensor, se intenta diferenciar una densidad tensorial (de peso +1), entonces también se añade un término −ΓdddoTa1…arb1…bs.{\displaystyle -{\Gamma ^{d}}_{dc}{T^{a_{1}\ldots a_{r}}}_{b_{1}\ldots b_{s}}.} Si se trata de una densidad tensorial de peso W , entonces multiplique ese término por W. Por ejemplo,−gramo{\textstyle {\sqrt {-g}}}es una densidad escalar (de peso +1), por lo que obtenemos: (−gramo);do=(−gramo),do−−gramoΓdddo{\displaystyle \left({\sqrt {-g}}\right)_{;c}=\left({\sqrt {-g}}\right)_{,c}-{\sqrt {-g}}\,{\Gamma ^{d}}_{dc}} donde el punto y coma ";" indica diferenciación covariante y la coma "," indica diferenciación parcial. Cabe mencionar que esta expresión en particular es igual a cero, ya que la derivada covariante de una función que depende únicamente de la métrica siempre es cero.

Notación

En los libros de texto de física, la derivada covariante a veces se expresa en términos de sus componentes en esta ecuación.

A menudo se utiliza una notación en la que la derivada covariante se indica con un punto y coma , mientras que la derivada parcial normal se indica con una coma . En esta notación escribimos lo mismo que: ∇mijv =dmiF vs;jmisvi;j=vi,j+vkΓikj{\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;j}\mathbf {e} _{s}\;\;\;\;\;\;{v^{i}}_{;j}={v^{i}}_{,j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}} En caso de que aparezcan dos o más índices después del punto y coma, todos ellos deben entenderse como derivadas covariantes: ∇mik(∇mijv) =dmiF vs;jkmis{\displaystyle \nabla _{e_{k}}\left(\nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \right)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{s}}_{;jk}\mathbf {e} _{s}}

En algunos textos más antiguos (en particular, Adler, Bazin y Schiffer, Introducción a la relatividad general ), la derivada covariante se denota con una doble barra vertical y la derivada parcial con una sola barra vertical: ∇mijv =dmiF vi||j=vi|j+vkΓikj{\displaystyle \nabla _{e_{j}}\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {v^{i}}_{||j}={v^{i}}_{|j}+v^{k}{\Gamma ^{i}}_{kj}}

Derivada covariante por tipo de campo

Para un campo escalarϕ{\displaystyle \phi \,}La diferenciación covariante es simplemente una diferenciación parcial: ϕ;a≡∂aϕ{\displaystyle \phi _{;a}\equiv \partial _{a}\phi }

Para un campo vectorial contravarianteλa{\displaystyle \lambda ^{a}}, tenemos: λa;b≡∂bλa+Γabdoλdo{\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;b}\equiv \partial _{b}\lambda ^{a}+{\Gamma ^{a}}_{bc}\lambda ^{c}}

Para un campo vectorial covarianteλa{\displaystyle \lambda _{a}}, tenemos: λa;do≡∂doλa−Γbdoaλb{\displaystyle \lambda _{a;c}\equiv \partial _{c}\lambda _{a}-{\Gamma ^{b}}_{ca}\lambda _{b}}

Para un campo tensorial de tipo (2,0)τab{\displaystyle \tau ^{ab}}, tenemos: τab;do≡∂doτab+Γadodτdb+Γbdodτad{\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \partial _{c}\tau ^{ab}+{\Gamma ^{a}}_{cd}\tau ^{db}+{\Gamma ^{b}}_{cd}\tau ^{ad}}

Para un campo tensorial de tipo (0,2)τab{\displaystyle \tau _{ab}}, tenemos: τab;do≡∂doτab−Γddoaτdb−Γddobτad{\displaystyle \tau _{ab;c}\equiv \partial _{c}\tau _{ab}-{\Gamma ^{d}}_{ca}\tau _{db}-{\Gamma ^{d}}_{cb}\tau _{ad}}

Para un campo tensorial de tipo (1,1)τab{\displaystyle {\tau ^{a}}_{b}}, tenemos: τab;do≡∂doτab+Γadodτdb−Γddobτad{\displaystyle {\tau ^{a}}_{b;c}\equiv \partial _{c}{\tau ^{a}}_{b}+{\Gamma ^{a}}_{cd}{\tau ^{d}}_{b}-{\Gamma ^{d}}_{cb}{\tau ^{a}}_{d}}

La notación anterior se entiende en el sentido τab;do≡(∇midoτ)ab{\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;c}\equiv \left(\nabla _{\mathbf {e} _{c}}\tau \right)^{ab}}

Propiedades

En general, las derivadas covariantes no conmutan. Por ejemplo, las derivadas covariantes de un campo vectorialλa;bdo≠λa;dob{\displaystyle \lambda _{a;bc}\neq \lambda _{a;cb}}El tensor de RiemannRdabdo{\displaystyle {R^{d}}_{abc}}se define de tal manera que: λa;bdo−λa;dob=Rdabdoλd{\displaystyle \lambda _{a;bc}-\lambda _{a;cb}={R^{d}}_{abc}\lambda _{d}} o, equivalentemente, λa;bdo−λa;dob=−Radbdoλd{\displaystyle {\lambda ^{a}}_{;bc}-{\lambda ^{a}}_{;cb}=-{R^{a}}_{dbc}\lambda ^{d}}

La derivada covariante de un campo tensorial (2,0) cumple: τab;dod−τab;ddo=−Ramidodτmib−Rbmidodτami{\displaystyle {\tau ^{ab}}_{;cd}-{\tau ^{ab}}_{;dc}=-{R^{a}}_{ecd}\tau ^{eb}-{R^{b}}_{ecd}\tau ^{ae}}

Esto último se puede demostrar tomando (sin pérdida de generalidad) queτab=λaμb{\displaystyle \tau ^{ab}=\lambda ^{a}\mu ^{b}}.

Derivada a lo largo de una curva

Dado que la derivada covariante∇incógnitaT{\displaystyle \nabla _{X}T}La derivada covariante de un campo tensorial T en un punto p depende únicamente del valor del campo vectorial X en p. Se puede definir la derivada covariante a lo largo de una curva suave.γ(t){\displaystyle \gamma (t)}en un colector: DtT=∇γ˙(t)T.{\displaystyle D_{t}T=\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}T.} Nótese que el campo tensorial T solo necesita estar definido en la curva.γ(t){\displaystyle \gamma (t)}para que esta definición tenga sentido.

En particular,γ˙(t){\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}es un campo vectorial a lo largo de la curvaγ{\displaystyle \gamma }mismo. Si∇γ˙(t)γ˙(t){\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)}Si se desvanece, la curva se denomina geodésica de la derivada covariante. Si la derivada covariante es la conexión de Levi-Civita de una métrica definida positiva, entonces las geodésicas de la conexión son precisamente las geodésicas de la métrica parametrizadas por la longitud de arco .

La derivada a lo largo de una curva también se utiliza para definir el transporte paralelo a lo largo de la curva.

A veces, la derivada covariante a lo largo de una curva se denomina derivada absoluta o intrínseca .

Relación con la derivada de Lie

Una derivada covariante introduce una estructura geométrica adicional en una variedad que permite comparar vectores en espacios tangentes vecinos: no existe una forma canónica de comparar vectores de diferentes espacios tangentes porque no hay un sistema de coordenadas canónico.

Sin embargo, existe otra generalización de las derivadas direccionales que es canónica: la derivada de Lie , que evalúa el cambio de un campo vectorial a lo largo del flujo de otro campo vectorial. Por lo tanto, es necesario conocer ambos campos vectoriales en un entorno, no solo en un único punto. La derivada covariante, por otro lado, introduce su propio cambio para vectores en una dirección dada, y solo depende de la dirección del vector en un único punto, en lugar de un campo vectorial en un entorno de un punto. En otras palabras, la derivada covariante es lineal (sobre C ∞ ( M ) ) con respecto al argumento de la dirección, mientras que la derivada de Lie no es lineal con respecto a ninguno de los dos argumentos.

Nótese que la derivada covariante antisimetrizada ∇ u v − ∇ v u , y la derivada de Lie L u v difieren por la torsión de la conexión , de modo que si una conexión no tiene torsión, entonces su antisimetrización es la derivada de Lie.

Véase también

Notas

  1. ↑ Einstein, Albert (1922). "La teoría general de la relatividad". El significado de la relatividad .
  2. ^ Ricci, G.; Levi-Civita, T. (1901). "Métodos de cálculo diferencial absoluto y aplicaciones de lecturas" . Annalen Matemáticas . 54 ( 1– 2): 125– 201. doi : 10.1007/bf01454201 . S2CID 120009332 . 
  3. ↑ Riemann, GFB (1866). "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen". Gesammelte Mathematische Werke .; reimpresión, ed. Weber, H. (1953), Nueva York: Dover.
  4. ^ Christoffel, EB (1869). "Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 70 : 46-70 .
  5. ↑ cf. con Cartan, É (1923). "Sur les variétés à connexion affine et la theorie de la relativité généralisée" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 40 : 325– 412. doi : 10.24033/asens.751 .
  6. ^ Koszul, JL (1950). "Homologie et cohomologie des algebres de Lie" . Boletín de la Société Mathématique de France . 78 : 65– 127. doi : 10.24033/bsmf.1410 .
  7. ↑ La derivada covariante también se denota de diversas maneras por ∂ v u , D v u , u otras notaciones.
  8. ↑ En muchas aplicaciones, puede ser mejor no considerar t como equivalente al tiempo, al menos en aplicaciones de relatividad general . Simplemente se considera un parámetro abstracto que varía de forma suave y monótona a lo largo de la trayectoria.
  9. ↑ Chen, Kuo-Tsai (1973). "Integrales iteradas de formas diferenciales y homología de espacios de bucles" . Annals of Mathematics . 97 (2): 217– 246. doi : 10.2307/1970846 . ISSN 0003-486X . 
  10. ↑ Kycia, Radosław Antoni; Šilhan, Josef (2025-05-21). "Inversión de la derivada exterior covariante" . Análisis y Física Matemática . 15 (4): 82. doi : 10.1007/s13324-025-01085-3 . ISSN 1664-235X . 

Referencias