Conexión Cartan

Consideremos una superficie lisa S en el espacio euclidiano tridimensional R³ ^. Cerca de cualquier punto, S puede aproximarse mediante su plano tangente en ese punto, que es un subespacio afín del espacio euclidiano. Los subespacios afines son superficies modelo : son las superficies más simples en R³ y son homogéneas bajo el grupo euclidiano del plano; por lo tanto, son ^geometrías de Klein en el sentido del programa de Erlangen de Felix Klein . Toda superficie lisa S tiene un único plano afín tangente a ella en cada punto. La familia de todos estos planos en R³ , uno asociado a cada punto de S , se denomina congruencia de planos tangentes. Un plano tangente puede "desplazarse" a lo largo de S , y al hacerlo, el punto de contacto traza una curva en ^S. Recíprocamente , dada una curva en S , el plano tangente puede desplazarse a lo largo de esa curva. Esto proporciona una forma de identificar los planos tangentes en diferentes puntos a lo largo de la curva mediante transformaciones afines (de hecho, euclidianas), y es un ejemplo de una conexión de Cartan llamada conexión afín .

Otro ejemplo se obtiene al reemplazar los planos, como superficies modelo, por esferas, que son homogéneas bajo el grupo de Möbius de transformaciones conformes. Ya no existe una única esfera tangente a una superficie lisa S en cada punto, puesto que el radio de la esfera es indeterminado. Esto se puede solucionar suponiendo que la esfera tiene la misma curvatura media que S en el punto de contacto. Dichas esferas pueden, a su vez, rodarse a lo largo de curvas en S , lo que dota a S de otro tipo de conexión de Cartan llamada conexión conforme .

Los geómetras diferenciales de finales del siglo XIX y principios del XX mostraron gran interés en utilizar familias de modelos, como planos o esferas, para describir la geometría de superficies. Una familia de espacios modelo asociados a cada punto de una superficie S se denomina congruencia ; en los ejemplos anteriores, se presenta una elección canónica de dicha congruencia. Una conexión de Cartan proporciona una identificación entre los espacios modelo de la congruencia a lo largo de cualquier curva en S. Una característica importante de estas identificaciones es que el punto de contacto del espacio modelo con S siempre se desplaza con la curva. Esta condición genérica es característica de las conexiones de Cartan.

En el tratamiento moderno de las conexiones afines, el punto de contacto se considera el origen en el plano tangente (que entonces es un espacio vectorial), y el movimiento del origen se corrige mediante una traslación, por lo que no se necesitan conexiones de Cartan. Sin embargo, no existe una forma canónica de hacerlo en general: en particular, para la conexión conforme de una congruencia de esferas, no es posible separar el movimiento del punto de contacto del resto del movimiento de forma natural.

En ambos ejemplos, el espacio modelo es un espacio homogéneo G / H.

• En el primer caso, G / H es el plano afín, con G = Aff( R ² ) el grupo afín del plano, y H = GL(2) el grupo lineal general correspondiente.
• En el segundo caso, G / H es la esfera conforme (o celeste ), con G = O ⁺ (3,1) el grupo de Lorentz (ortócrono) y H el estabilizador de una línea nula en R ^3,1 .

La geometría de Cartan de S consiste en una copia del espacio modelo G / H en cada punto de S (con un punto de contacto marcado), junto con una noción de "transporte paralelo" a lo largo de curvas que identifica estas copias mediante elementos de G. Esta noción de transporte paralelo es genérica en el sentido intuitivo de que el punto de contacto siempre se mueve a lo largo de la curva.

En general, sea G un grupo con un subgrupo H y M una variedad de la misma dimensión que G / H . Entonces, en términos generales, una conexión de Cartan en M es una G -conexión que es genérica con respecto a una reducción a H.

Una conexión afín en una variedad M es una conexión en el fibrado de marcos (fibrado principal) de M (o, equivalentemente, una conexión en el fibrado tangente (fibrado vectorial) de M ). Un aspecto clave del punto de vista de la conexión de Cartan es desarrollar esta noción en el contexto de los fibrados principales (que podrían denominarse la "teoría general o abstracta de marcos").

Sea H un grupo de Lie ,${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$su álgebra de Lie . Entonces, un fibrado H principal es un fibrado P sobre M con una acción suave de H sobre P que es libre y transitiva en las fibras. Por lo tanto, P es una variedad suave con una aplicación suave π : P → M que se parece localmente al fibrado trivial M × H → M. El fibrado de marcos de M es un fibrado GL( n ) principal, mientras que si M es una variedad riemanniana , entonces el fibrado de marcos ortonormal es un fibrado O( n ) principal.

Sea R _h la acción (derecha) de h ∈ H sobre P . La derivada de esta acción define un campo vectorial vertical sobre P para cada elemento ξ de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$: si h ( t ) es un subgrupo de un parámetro con h (0)= e (el elemento identidad) y h '( 0 )= ξ , entonces el campo vectorial vertical correspondiente es

${\displaystyle X_{\xi }={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}R_{h(t)}{\biggr |}_{t=0}.\,}$

Una conexión H principal en P es una 1-forma${\displaystyle \omega \colon TP\to {\mathfrak {h}}}$ en P , con valores en el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$de H , tal que

1. ${\displaystyle {\hbox{Ad}}(h)(R_{h}^{*}\omega )=\omega }$
2. para cualquier${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$, ω ( X _ξ ) = ξ (idénticamente en P ).

La idea intuitiva es que ω ( X ) proporciona un componente vertical de X , utilizando el isomorfismo de las fibras de π con H para identificar vectores verticales con elementos de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$.

Los haces de marcos tienen una estructura adicional llamada forma de soldadura , que puede usarse para extender una conexión principal en P a una trivialización del haz tangente de P llamada paralelismo absoluto .

En general, supongamos que M tiene dimensión n y H actúa sobre R ⁿ (este podría ser cualquier espacio vectorial real n -dimensional). Una forma de soldadura en un fibrado principal H P sobre M es una 1 -forma θ : T P → R n con ^valores en R ⁿ que es horizontal y equivariante de modo que induce un homomorfismo de fibrado de T M al fibrado asociado P × _H R ⁿ . Además, se requiere que sea un isomorfismo de fibrado. Los fibrados de marco tienen una forma de soldadura (canónica o tautológica) que envía un vector tangente X ∈ T _p P a las coordenadas de d π _p ( X ) ∈ T _{π ( p )} M con respecto al marco p .

El par ( ω , θ ) (una conexión principal y una forma de soldadura) define una 1-forma η en P , con valores en el álgebra de Lie.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$del producto semidirecto G de H con R ⁿ , que proporciona un isomorfismo de cada espacio tangente T _p P con${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Induce una conexión principal α en el fibrado principal G asociado P × _H G . Esta es una conexión de Cartan.

Las conexiones de Cartan generalizan las conexiones afines de dos maneras.

• La acción de H sobre R ⁿ no tiene por qué ser efectiva. Esto permite, por ejemplo, que la teoría incluya conexiones de espín, en las que H es el grupo de espín Spin( n ) en lugar del grupo ortogonal O( n ).
• El grupo G no tiene por qué ser un producto semidirecto de H con R ⁿ .

El programa de Klein en Erlangen sugirió que la geometría podía considerarse un estudio de espacios homogéneos : en particular, el estudio de las numerosas geometrías de interés para los geómetras del siglo XIX (y anteriores). Una geometría de Klein consistía en un espacio, junto con una ley para el movimiento dentro de ese espacio (análoga a las transformaciones euclidianas de la geometría euclidiana clásica ) expresada como un grupo de Lie de transformaciones . Estos espacios generalizados resultan ser variedades diferenciables homogéneas difeomorfas al espacio cociente de un grupo de Lie mediante un subgrupo de Lie . La estructura diferencial adicional que poseen estos espacios homogéneos permite estudiar y generalizar su geometría utilizando el cálculo.

El enfoque general de Cartan consiste en comenzar con una geometría de Klein suave , dada por un grupo de Lie G y un subgrupo de Lie H , con álgebras de Lie asociadas.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, respectivamente. Sea P el espacio homogéneo principal subyacente de G. Una geometría de Klein es el espacio homogéneo dado por el cociente P / H de P por la acción derecha de H. Hay una acción derecha de H sobre las fibras de la proyección canónica.

π : P → P / H

dado por R _h g = gh . Además, cada fibra de π es una copia de H . P tiene la estructura de un haz H principal sobre P / H . ^{[ 2 ]}

Un campo vectorial X en P es vertical si d π ( X ) = 0. Cualquier ξ ∈${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$da lugar a un campo vectorial vertical canónico X _ξ tomando la derivada de la acción derecha del subgrupo de 1 parámetro de H asociado a ξ. La forma de Maurer-Cartan η de P es la${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Forma univariada en P que identifica cada espacio tangente con el álgebra de Lie. Tiene las siguientes propiedades:

1. Ad( h ) R _h ^* η = η para todo h en H
2. η ( X _ξ ) = ξ para todo ξ en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$
3. para todo g ∈ P , η restringe un isomorfismo lineal de T _g P con${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ (η es un paralelismo absoluto en P ).

Además de estas propiedades, η satisface la ecuación de estructura (o estructural ).

${\displaystyle d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta ,\eta ]=0.}$

Por el contrario, se puede demostrar que, dada una variedad M y un fibrado principal H P sobre M , y una 1-forma η con estas propiedades, entonces P es localmente isomorfo como fibrado H al fibrado homogéneo principal G → G / H. La ecuación de estructura es la condición de integrabilidad para la existencia de dicho isomorfismo local.

Una geometría de Cartan es una generalización de una geometría de Klein suave, en la que no se asume la ecuación de estructura, sino que se utiliza para definir una noción de curvatura . Por lo tanto, se dice que las geometrías de Klein son los modelos planos de las geometrías de Cartan. ^{[ 3 ]}

Una conexión de Cartan consiste ^{[ 7 ] [ 8 ]} de un atlas de coordenadas de conjuntos abiertos U en M , junto con un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$_{θ U} de valor 1 definido en cada carta de tal manera que

1. θ _U  : T U →${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.
2. θ _U mod${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ : Tu _U →${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$es un isomorfismo lineal para cada u ∈ U .
3. Para cualquier par de cartas U y V en el atlas, existe una aplicación suave h  : U ∩ V → H tal que

${\displaystyle \theta _ {V}=Ad(h^{-1})\theta _ {U}+h^{*}\omega _ {H},\,}$

donde ω _H es la forma de Maurer-Cartan de H.

Por analogía con el caso en que θ _U provenía de sistemas de coordenadas, la condición 3 significa que φ _U está relacionado con φ _V por h .

La curvatura de una conexión de Cartan consiste en un sistema de 2-formas definidas en las cartas, dadas por

${\displaystyle \Omega _{U}=d\theta _{U}+{\tfrac {1}{2}}[\theta _{U},\theta _{U}].}$

Ω _U satisface la condición de compatibilidad:

Si las formas θ _U y θ _V están relacionadas por una función h  : U ∩ V → H , como se indicó anteriormente, entonces Ω _V = Ad( h ⁻¹ ) Ω _U

La definición puede hacerse independiente de los sistemas de coordenadas mediante la formación del espacio cociente.

${\displaystyle P=(\coprod _{U}U\times H)/\sim }$

de la unión disjunta sobre todos los U en el atlas. La relación de equivalencia ~ se define en pares ( x , h ₁ ) ∈ U ₁ × H y ( x , h ₂ ) ∈ U ₂ × H , por

( x , h ₁ ) ~ ( x , h ₂ ) si y solo si x ∈ U ₁ ∩ U ₂ , θ _{U 1} está relacionado con θ _{U 2} por h , y h ₂ = h ( x ) ⁻¹ h ₁ .

Entonces P es un fibrado H principal en M , y la condición de compatibilidad en las formas de conexión θ _U implica que se elevan a un${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued 1-form η defined on P (see below).

Let P be a principal H bundle over M. Then a Cartan connection^[9] is a ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued 1-form η on P such that

1. for all h in H, Ad(h)R_h^*η = η
2. for all ξ in ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, η(X_ξ) = ξ
3. for all p in P, the restriction of η defines a linear isomorphism from the tangent space T_pP to ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

The last condition is sometimes called the Cartan condition: it means that η defines an absolute parallelism on P. The second condition implies that η is already injective on vertical vectors and that the 1-form η mod ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, with values in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$, is horizontal. The vector space ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ is a representation of H using the adjoint representation of H on ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, and the first condition implies that η mod ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ is equivariant. Hence it defines a bundle homomorphism from TM to the associated bundle ${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$. The Cartan condition is equivalent to this bundle homomorphism being an isomorphism, so that η mod ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ is a solder form.

The curvature of a Cartan connection is the ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-valued 2-form Ω defined by

${\displaystyle \Omega =d\eta +{\tfrac {1}{2}}[\eta \wedge \eta ].}$

Note that this definition of a Cartan connection looks very similar to that of a principal connection. There are several important differences, however. First, the 1-form η takes values in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, but is only equivariant under the action of H. Indeed, it cannot be equivariant under the full group G because there is no G bundle and no G action. Secondly, the 1-form is an absolute parallelism, which intuitively means that η yields information about the behavior of additional directions in the principal bundle (rather than simply being a projection operator onto the vertical space). Concretely, the existence of a solder form binds (or solders) the Cartan connection to the underlying differential topology of the manifold.

Una interpretación intuitiva de la conexión de Cartan en esta forma es que determina una fractura del fibrado principal tautológico asociado a una geometría de Klein. Así, las geometrías de Cartan son análogos deformados de las geometrías de Klein. Esta deformación es, a grandes rasgos, una prescripción para adjuntar una copia del espacio modelo G / H a cada punto de M y considerar ese espacio modelo como tangente a (e infinitesimalmente idéntico a) la variedad en un punto de contacto. La fibra del fibrado tautológico G → G / H de la geometría de Klein en el punto de contacto se identifica entonces con la fibra del fibrado P. Cada una de estas fibras (en G ) contiene una forma de Maurer-Cartan para G , y la conexión de Cartan es una manera de ensamblar estas formas de Maurer-Cartan, reunidas en los puntos de contacto, en una 1-forma coherente η definida en todo el fibrado. El hecho de que solo los elementos de H contribuyan a la ecuación de Maurer-Cartan Ad( h ) R _h ^* η = η tiene la interpretación intuitiva de que cualquier otro elemento de G alejaría el espacio del modelo del punto de contacto y, por lo tanto, dejaría de ser tangente a la variedad.

A partir de la conexión de Cartan, definida en estos términos, se puede recuperar una conexión de Cartan como un sistema de 1-formas en la variedad (como en la definición de calibre) tomando una colección de trivializaciones locales de P dadas como secciones s _U  : U → P y haciendo que θ _U = s ^* η sean los retrocesos de la conexión de Cartan a lo largo de las secciones.

Otra forma de definir una conexión de Cartan es como una conexión principal en un determinado fibrado G principal . Desde esta perspectiva, una conexión de Cartan consiste en:

• un fibrado G principal Q sobre M
• una conexión G principal α en Q (la conexión de Cartan)
• un subhaz H principal P de Q (es decir, una reducción del grupo de estructura)

de tal manera que el retroceso η de α a P satisfaga la condición de Cartan.

La conexión principal α en Q se puede recuperar de la forma η tomando Q como el fibrado asociado P × _H G . Recíprocamente, la forma η se puede recuperar de α tirando hacia atrás a lo largo de la inclusión P ⊂ Q .

Dado que α es una conexión principal, induce una conexión en cualquier fibrado asociado a Q. En particular, el fibrado Q × _G G / H de espacios homogéneos sobre M , cuyas fibras son copias del espacio modelo G / H , tiene una conexión. La reducción del grupo de estructura a H viene dada equivalentemente por una sección s de E = Q × _G G / H. La fibra de${\displaystyle P\times _{H}{\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$El espacio tangente en s ( x ) a la fibra de Q × _G G / H sobre x puede considerarse como el espacio tangente en s( x ) a la fibra de Q × G G / H sobre x . Por lo tanto, la condición de Cartan tiene la interpretación intuitiva de que los espacios modelo son tangentes a M a lo largo de la sección s . Dado que esta identificación de espacios tangentes es inducida por la conexión, los puntos marcados dados por s siempre se mueven bajo transporte paralelo.

Otra forma de definir una conexión de Cartan es mediante una conexión de Ehresmann en el fibrado E = Q × _G G / H de la sección anterior. ^{[ 10 ]} Una conexión de Cartan consiste entonces en:

• Un haz de fibras π  : E → M con fibra G / H y espacio vertical V E ⊂ T E .
• Una sección s  : M → E .
• Una conexión G θ  : T E → V E tal que

s ^* θ _x  : T _x M → V _{s ( x )} E es un isomorfismo lineal de espacios vectoriales para todo x ∈ M .

Esta definición formaliza las ideas intuitivas presentadas en la introducción. En primer lugar, la sección preferida s puede considerarse como un punto de contacto entre la variedad y el espacio tangente. La última condición, en particular, implica que el espacio tangente de M en x es isomorfo al espacio tangente del espacio modelo en el punto de contacto. Por lo tanto, los espacios modelo son, de esta manera, tangentes a la variedad.

Esta definición también pone de relieve la idea de desarrollo . Si x _t es una curva en M , entonces la conexión de Ehresmann en E proporciona un mapa de transporte paralelo asociado τ _t  : E _{x t} → E _{x 0} desde la fibra sobre el punto final de la curva hasta la fibra sobre el punto inicial. En particular, dado que E está equipado con una sección preferida s , los puntos s ( x _t ) se transportan de vuelta a la fibra sobre x ₀ y trazan una curva en E _{x 0.} Esta curva se denomina entonces desarrollo de la curva x _t .

Para demostrar que esta definición es equivalente a las anteriores, es necesario introducir una noción adecuada de marco móvil para el fibrado E. En general, esto es posible para cualquier G -conexión en un fibrado con grupo de estructura G. Véase Conexión de Ehresmann#Fibrados asociados para más detalles.

Sea P un fibrado H principal en M , equipado con una conexión de Cartan η  : T P →${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un módulo reductivo para H , lo que significa que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$admite una descomposición Ad ( H )-invariante de espacios vectoriales${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$, entonces el${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-componente de η generaliza la forma de soldadura para una conexión afín . ^{[ 11 ]} En detalle, η se divide en${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$componentes:

η = η_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}+ η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}.

Nótese que la 1-forma η_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}es una conexión H principal en el fibrado de Cartan original P. Además, la 1-forma η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}Satisface:

η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}( X ) = 0 para cada vector vertical X ∈ T P . (η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}es horizontal .)

R _h ^* η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}= Ad ( h ⁻¹ )η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}para cada h ∈ H . (η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}es equivariante bajo la acción H derecha .)

En otras palabras, η es una forma de soldadura para el haz P.

Por lo tanto, P está equipado con la forma η_{${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$}define una estructura H (de primer orden) en M. La forma η_{${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$}define una conexión en la estructura H.

Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie semisimple con subálgebra parabólica${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$(es decir,${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$contiene una subálgebra resoluble máxima de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$) y G y P son grupos de Lie asociados, luego una conexión de Cartan modelada en ( G , P ,${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$,${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$) se denomina geometría de Cartan parabólica , o simplemente geometría parabólica . Una característica distintiva de las geometrías parabólicas es una estructura de álgebra de Lie en sus espacios cotangentes : esto surge porque el subespacio perpendicular${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$^⊥ de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$en${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con respecto a la forma de matar de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una subálgebra de${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$y la forma de Matar induce una dualidad natural entre${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$^⊥ y${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {p}}}$. Por lo tanto, el haz asociado a${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$^⊥ es isomorfo al fibrado cotangente .

Las geometrías parabólicas incluyen muchas de las de interés en la investigación y las aplicaciones de las conexiones de Cartan, como los siguientes ejemplos:

• Conexiones conformes : Aquí G = SO ( p +1, q +1), y P es el estabilizador de un rayo nulo en R ⁿ⁺² .
• Conexiones proyectivas : Aquí G = PGL (n+1) y P es el estabilizador de un punto en RP ⁿ .
• Estructuras CR y conexiones de Cartan-Chern-Tanaka: G = PSU ( p +1, q +1), P = estabilizador de un punto en la hipercuádrica nula proyectiva .
• Conexiones proyectivas de contacto: ^{[ 12 ]} Aquí G = SP (2n+2) y P es el estabilizador del rayo generado por el primer vector base estándar en R ⁿ⁺² .
• Distribuciones genéricas de rango 2 en 5-variedades: Aquí G = Aut ( O _s ) es el grupo de automorfismos del álgebra O _s de octoniones escindidos , un subgrupo cerrado de SO (3,4), y P es la intersección de G con el estabilizador de la línea isotrópica generada por el primer vector base estándar en R ⁷ visto como los octoniones escindidos puramente imaginarios (complemento ortogonal del elemento unitario en O _s ). ^{[ 13 ]}

Supongamos que M es una geometría de Cartan modelada en G / H , y sea ( Q , α ) el fibrado principal de G con conexión, y ( P , η ) la reducción correspondiente a H con η igual al retroceso de α . Sea V una representación de G , y formemos el fibrado vectorial V = Q × _G V sobre M. Entonces, la conexión principal de G α en Q induce una derivada covariante en V , que es un operador diferencial lineal de primer orden.

${\displaystyle \nabla \colon \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )\to \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} ),}$

dónde${\displaystyle \Omega _{M}^{k}(\mathbf {V} )}$denota el espacio de k -formas en M con valores en V tales que ${\displaystyle \Omega _{M}^{0}(\mathbf {V} )}$es el espacio de secciones de V y${\displaystyle \Omega _{M}^{1}(\mathbf {V} )}$es el espacio de secciones de Hom(T M , V ). Para cualquier sección v de V , la contracción de la derivada covariante ∇ v con un campo vectorial X en M se denota ∇ _X v y satisface la siguiente regla de Leibniz:

${\displaystyle \nabla _{X}(fv)=df(X)v+f\nabla _{X}v}$

para cualquier función suave f en M .

La derivada covariante también puede construirse a partir de la conexión de Cartan η en P. De hecho, construirla de esta manera es un poco más general en el sentido de que V no necesita ser una representación completa de G. ^{[ 14 ]} Supongamos en cambio que V es una (${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, H )-módulo: una representación del grupo H con una representación compatible del álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Recordemos que una sección v del fibrado vectorial inducido V sobre M puede considerarse como una aplicación H -equivariante P → V. Este es el punto de vista que adoptaremos. Sea X un campo vectorial sobre M. Elija cualquier elevación invariante por la derecha.${\displaystyle {\bar {X}}}$al fibrado tangente de P. Definir

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$.

Para demostrar que ∇ v está bien definido, debe cumplirse lo siguiente:

1. ser independiente del ascensor elegido${\displaystyle {\bar {X}}}$
2. ser equivariante, de modo que descienda a una sección del fibrado V.

Para (1), la ambigüedad al seleccionar una elevación invariante por la derecha de X es una transformación de la forma${\displaystyle X\mapsto X+X_{\xi }}$dónde${\displaystyle X_{\xi }}$es el campo vectorial vertical invariante a la derecha inducido por${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {h}}}$. Por lo tanto, calculamos la derivada covariante en términos del nuevo lift${\displaystyle {\bar {X}}+X_{\xi }}$, uno tiene

${\displaystyle \nabla _{X}v=dv({\bar {X}}+X_{\xi })+\eta ({\bar {X}}+X_{\xi }))\cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+dv(X_{\xi })+\eta ({\bar {X}})\cdot v+\xi \cdot v}$

${\displaystyle =dv({\bar {X}})+\eta ({\bar {X}})\cdot v}$

desde${\displaystyle \xi \cdot v+dv(X_{\xi })=0}$tomando la diferencial de la propiedad de equivariancia${\displaystyle h\cdot R_{h}^{*}v=v}$en h igual al elemento identidad.

Para (2), observe que dado que v es equivariante y${\displaystyle {\bar {X}}}$es invariante por la derecha,${\displaystyle dv({\bar {X}})}$es equivariante. Por otro lado, dado que η también es equivariante, se deduce que${\displaystyle \eta ({\bar {X}})\cdot v}$También es equivariante.

Supongamos que V es solo una representación del subgrupo H y no necesariamente del grupo más grande G. Sea${\displaystyle \Omega ^{k}(P,V)}$Sea el espacio de k -formas diferenciales con valores en V sobre P. En presencia de una conexión de Cartan, existe un isomorfismo canónico.

${\displaystyle \varphi \colon \Omega ^{k}(P,V)\cong \Omega ^{0}(P,V\otimes \bigwedge \nolimits ^{k}{\mathfrak {g}}^{*})}$

dado por ${\displaystyle \varphi (\beta )(\xi _{1},\xi _{2},\dots ,\xi _{k})=\beta (\eta ^{-1}(\xi _{1}),\dots ,\eta ^{-1}(\xi _{k}))}$dónde${\displaystyle \beta \in \Omega ^{k}(P,V)}$y${\displaystyle \xi _{j}\in {\mathfrak {g}}}$.

Para cada k , la derivada exterior es un operador diferencial de primer orden.

${\displaystyle d\colon \Omega ^{k}(P,V)\rightarrow \Omega ^{k+1}(P,V)\,}$

y así, para k = 0, define un operador diferencial

${\displaystyle \varphi \circ d\colon \Omega ^{0}(P,V)\rightarrow \Omega ^{0}(P,V\otimes {\mathfrak {g}}^{*}).\,}$

Como η es equivariante, si v es equivariante, también lo es Dv  := φ (d v ). De ello se deduce que este compuesto desciende a un operador diferencial de primer orden D desde secciones de V = P × _H V hasta secciones del fibrado.${\displaystyle P\times _{H}(\mathbf {V} \otimes {\mathfrak {g}}^{*})}$Esto se denomina derivada fundamental o universal, u operador D fundamental.