colector CR

Existe un marcado contraste entre las teorías de las variedades CR embebidas (hipersuperficies y aristas de cuñas en el espacio complejo) y las variedades CR abstractas (las dadas por la distribución compleja L ). Muchas de las características geométricas formales son similares. Estas incluyen:

• Una noción de convexidad (proporcionada por la forma de Levi )
• Un operador diferencial canónico , análogo al operador de Dolbeault , y una cohomología asociada (la de Cauchy-Riemann tangencial o${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$- complejo ).

Sin embargo, las variedades CR embebidas poseen una estructura adicional: un problema de Neumann y Dirichlet para las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Este artículo trata en primer lugar la geometría de las variedades CR embebidas, muestra cómo definir estas estructuras intrínsecamente y, a continuación, las generaliza al contexto abstracto.

Las variedades CR incrustadas son, ante todo, subvariedades de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$Definir un par de subhaces del haz tangente complejizado${\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}$por:

• ${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}}$Consiste en los vectores complejos que aniquilan las funciones antiholomorfas . En las coordenadas holomorfas :

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}$

• ${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}$Consiste en los vectores complejos que aniquilan las funciones holomorfas . En coordenadas:

${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}$

También son relevantes los aniquiladores característicos del complejo de Dolbeault :

• ${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}$

Los productos exteriores de estos se denotan mediante la notación evidente Ω ^{( p , q )} , y el operador de Dolbeault y su aplicación conjugada compleja entre estos espacios mediante:

${\displaystyle \partial$ :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}$

Además, existe una descomposición de la derivada exterior usual mediante${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$.

Dejar${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$sea ​​una subvariedad real , definida localmente como el lugar geométrico de un sistema de funciones suaves de valor real.

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}$

Supongamos que la parte lineal compleja del diferencial de este sistema tiene rango máximo, en el sentido de que los diferenciales satisfacen la siguiente condición de independencia :

${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}$

Nótese que esta condición es estrictamente más fuerte que la necesaria para aplicar el teorema de la función implícita : en particular, M es una variedad de dimensión real.${\displaystyle 2n-k.}$Decimos que M es una subvariedad CR incrustada genérica de codimensión CR k . El adjetivo genérico indica que el espacio tangente ${\displaystyle TM}$abarca el espacio tangente de${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$sobre números complejos . En la mayoría de las aplicaciones, k  =  1, en cuyo caso se dice que la variedad es de tipo hipersuperficie .

Dejar${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}$sea ​​el subfibrado de vectores que aniquila todas las funciones definitorias${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$Nótese que, según las consideraciones habituales para distribuciones integrables en hipersuperficies, L es involutiva. Además, la condición de independencia implica que L es un fibrado de rango constante n − k .  

De ahora en adelante, supongamos que k  =  1 (de modo que la variedad CR sea de tipo hipersuperficie), a menos que se indique lo contrario.

Sea M una variedad CR de tipo hipersuperficie con una única función definitoria F = 0. La forma de Levi de M , llamada así en honor a Eugenio Elia Levi , ^{[ 3 ]} es la 2-forma hermitiana.

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}$

Esto determina una métrica en L. Se dice que M es estrictamente pseudoconvexa (desde el lado F<0 ) si h es definida positiva (o pseudoconvexa en caso de que h sea semidefinida positiva). ^{[ 4 ]} Muchos de los resultados analíticos de existencia y unicidad en la teoría de variedades CR dependen de la pseudoconvexidad.

Esta nomenclatura proviene del estudio de dominios pseudoconvexos : M es el límite de un dominio (estrictamente) pseudoconvexo en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$Si y solo si es (estrictamente) pseudoconvexa como una variedad CR desde el lado del dominio. (Véase funciones plurisubarmónicas y variedad de Stein ).

Supongamos que M es una variedad CR de tipo hipersuperficie. La forma de Levi es la 2-forma vectorial , definida en L , con valores en el fibrado de líneas.

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}$

dado por

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}$

h define una forma sesquilineal en L ya que no depende de cómo v y w se extienden a secciones de L , según la condición de integrabilidad. Esta forma se extiende a una forma hermitiana en el fibrado.${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$con la misma expresión. La forma extendida también se conoce a veces como la forma de Levi.

La forma de Levi puede caracterizarse alternativamente en términos de dualidad. Consideremos el subfibrado de líneas del fibrado cotangente complejo que anula V

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}$

Para cada sección local α ∈ Γ( H ₀ M ), sea

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}$

La forma h _α es una forma hermitiana de valores complejos asociada a α. La 1-forma${\displaystyle \alpha }$es real; el haz de hiperplanos complejos${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$es la complejización del fibrado hiperplano real,${\displaystyle V_{\mathbb {R} }=\ker \alpha }$En el caso estrictamente pseudoconvexo, este fibrado define una estructura de contacto en${\displaystyle M}$, con${\displaystyle \alpha }$un formulario de contacto. La clase conforme del formulario de contacto está bien definida.

La elección de un formulario de contacto define un campo vectorial,${\displaystyle T}$transversal a la estructura de contacto,${\displaystyle V_{\mathbb {R} }}$Este campo vectorial, llamado campo vectorial de Reeb, se define por

${\displaystyle i_{T}d\alpha =0,\quad \alpha (T)=1}$.

Existen generalizaciones de la forma de Levi cuando la variedad no es de tipo hipersuperficie, en cuyo caso la forma ya no toma valores en un fibrado de líneas, sino en un fibrado vectorial . Entonces se puede hablar, no de una forma de Levi, sino de una colección de formas de Levi para la estructura.

En variedades CR abstractas, de tipo fuertemente pseudoconvexo, la forma de Levi da lugar a una métrica pseudohermítica en${\displaystyle L}$. Si${\displaystyle Z,W\in L}$, luego definimos el producto interno hermitiano estableciendo ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \langle Z,W\rangle ={\frac {1}{i}}d\alpha (Z,{\overline {W}})}$.

Esto solo define una métrica hermitiana para los vectores tangentes holomorfos y, por lo tanto, es degenerada. Podemos extenderla para definir una métrica riemanniana en el espacio tangente real,${\displaystyle TM}$, al observar que cualquier campo vectorial${\displaystyle X\in TM}$puede expresarse como

${\displaystyle X=Z_{X}+{\overline {Z}}_{X}+a_{X}T{\text{ where }}Z_{X}\in L,a_{X}\in {\mathbb {R} }}$; si ${\displaystyle X,Y\in TM{\text{ then }}\langle X,Y\rangle =\Re \langle Z_{X},Z_{W}\rangle +a_{X}a_{Y}}$.

Esto define una métrica riemanniana en${\displaystyle TM}$. La forma de Levi da la longitud de la proyección de${\displaystyle [v,{\overline {w}}]}$en el${\displaystyle T}$-dirección.

Luego se puede definir una conexión y torsión y tensores de curvatura relacionados, por ejemplo la curvatura de Ricci y la curvatura escalar usando esta métrica. Esto da lugar a un problema análogo de CR Yamabe estudiado por primera vez por David Jerison y John Lee . La conexión asociada a las variedades CR fue definida y estudiada por primera vez por Sidney M. Webster en su tesis sobre el estudio del problema de equivalencia y también definida y estudiada independientemente por Tanaka. ^{[ 6 ]} Se pueden encontrar explicaciones de estas nociones en los artículos. ^{[ 7 ] [ 5 ]} Una variedad CR estrictamente pseudoconvexa también tiene una conexión de Cartan canónica , que se define independientemente de la elección de la forma de contacto. Esta conexión fue introducida en 3 dimensiones por Cartan, y en dimensiones superiores por SS Chern y J. Moser . ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} La conexión de Cartan-Chern-Moser y su curvatura son invariantes bajo difeomorfismos CR.

Una de las preguntas básicas de la Geometría CR es preguntarse cuándo una variedad suave dotada de una estructura CR abstracta puede realizarse como una variedad incrustada en alguna${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Por lo tanto, no solo estamos incrustando la variedad, sino que también exigimos una incrustación global de que el mapa incruste la variedad abstracta en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$debe retraer la estructura CR inducida de la variedad incrustada (proveniente del hecho de que se encuentra en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$) de modo que la estructura CR de retroceso coincida con la estructura CR abstracta. Las funciones de coordenadas de tal mapa son funciones CR, es decir, en el espacio nulo de la${\displaystyle {\bar {\partial }}_{b}}$operador -. Es fácil demostrar que este espacio nulo es un álgebra con multiplicación puntual. Se pueden considerar tanto las cuestiones de incrustabilidad local como de incrustabilidad global.

Louis Boutet de Monvel ^{[ 11 ]} demostró que una variedad CR fuertemente pseudoconvexa, definida abstractamente y compacta, de dimensión real 5 o superior, es globalmente incrustable. Su trabajo muestra que si la${\displaystyle \Box _{b}}$El operador -, (ver más abajo) que actúa sobre funciones, tiene un rango cerrado en${\displaystyle L^{2}}$, entonces la variedad CR es globalmente incrustable.

En la dimensión 3, existen obstáculos para la incrustabilidad global. La estructura CR estándar en la esfera triple${\displaystyle S^{3}}$está abarcado por el campo vectorial complejo, ${\displaystyle {\overline {Z}}=z_{1}\partial _{{\overline {z}}_{2}}-z_{2}\partial _{{\overline {z}}_{1}}}$. Para ${\displaystyle \epsilon \in {\mathbb {C} }\setminus \{0\}}$, con${\displaystyle |\epsilon |<1}$, los campos vectoriales complejos${\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }={\overline {Z}}+\epsilon Z}$definen estructuras CR abstractas en la 3-esfera, que no son globalmente incrustables. A menudo se las llama el ejemplo de Rossi, ^{[ 12 ]} aunque se remontan a trabajos anteriores de Hans Grauert y aparecen en un artículo de Aldo Andreotti y Yum-Tong Siu . ^{[ 13 ]} Estos ejemplos son localmente incrustables en un entorno de cada punto, pero no globalmente incrustables: el álgebra de las funciones CR no separa los puntos. Como demostró Burns ^{[ 14 ]} todas las soluciones a${\displaystyle {\overline {Z}}_{\epsilon }f=0}$son funciones iguales.

Joseph J. Kohn demostró que la incrustabilidad global implica que el laplaciano de Kohn, ${\displaystyle \Box _{b}}$, (ver más abajo) actuando sobre funciones tiene un rango cerrado en${\displaystyle L^{2}}$. ^{[ 15 ]} Combinando esto con el resultado de Boutet de Monvel, se deduce que la incrustabilidad global de una variedad CR estrictamente pseudoconvexa compacta es equivalente a la clausura del rango de ${\displaystyle \Box _{b}}$, actuando sobre funciones. Por lo tanto, la propiedad de rango cerrado para${\displaystyle \Box _{b}}$es invariante CR.

Nótese que el conjunto de perturbaciones incrustables de la estructura CR en una variedad compacta tridimensional es de dimensión infinita y también de codimensión infinita. Bajo una condición de positividad en los coeficientes de Fourier del término de perturbación, Daniel Burns y Charles Epstein demostraron la incrustabilidad global para pequeñas perturbaciones de la estructura CR estándar en la esfera tridimensional. ^{[ 16 ]} De hecho, muestran que toda el álgebra de funciones CR se deforma de forma estable bajo pequeñas "perturbaciones positivas". Poco después, Lempert demostró que cualquier pequeña perturbación incrustable de la estructura CR en una hipersuperficie real compacta, estrictamente pseudocovexa en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$puede ser incrustado como una pequeña perturbación de la incrustación original. ^{[ 17 ] [ 18 ]} El artículo ^{[ 16 ]} también conjetura una forma normal para tales perturbaciones, que incluye las perturbaciones positivas incrustables junto con un número infinito de obstrucciones a la incrustabilidad. La existencia de esta forma normal fue probada por John Bland ^{[ 19 ]} .

En dimensión 3, Sagun Chanillo , Hung-Lin Chiu y Paul C. Yang ^{[ 20 ]} encontraron un conjunto de condiciones no perturbativas que son invariantes CR que garantizan la incrustabilidad global para estructuras CR abstractas fuertemente pseudoconvexas definidas en variedades compactas. Bajo la hipótesis de que el operador de Paneitz CR es no negativo y la constante de Yamabe CR es positiva, se tiene incrustación global. La segunda condición puede debilitarse a una condición no invariante CR al exigir que la curvatura de Webster de la variedad abstracta esté acotada inferiormente por una constante positiva. Esto permite a los autores obtener una cota inferior precisa para el primer autovalor positivo del laplaciano de Kohn. La cota inferior es el análogo en geometría CR de la cota de André Lichnerowicz para el primer autovalor positivo del operador de Laplace-Beltrami para variedades compactas en geometría riemanniana . ^{[ 21 ]} La no negatividad del operador CR Paneitz en dimensión 3 es una condición invariante CR, como se deduce de las propiedades covariantes conformes del operador CR Paneitz en variedades CR de dimensión real 3, observadas por primera vez por Kengo Hirachi . ^{[ 22 ]} La versión CR del operador Paneitz, el llamado operador CR Paneitz, aparece por primera vez en un trabajo de C. Robin Graham y John Lee . No se sabe que el operador sea conformemente covariante en dimensión real 5 y superior, sino solo en dimensión real 3. Siempre es un operador no negativo en dimensión real 5 y superior. ^{[ 23 ]}

Uno puede preguntarse si todos los colectores CR compactos en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$tienen operadores de Paneitz no negativos. Esta es una especie de pregunta inversa a los teoremas de incrustación discutidos anteriormente. En esta dirección, Jeffrey Case, Sagun Chanillo y Paul C. Yang han demostrado un teorema de estabilidad. Es decir, si se parte de una familia de variedades CR compactas incrustadas en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$y la estructura CR de la familia${\displaystyle J_{t}}$cambios de forma analítica real con respecto al parámetro${\displaystyle t,}$y la constante de CR Yamabe de la familia de variedades está uniformemente acotada inferiormente por una constante positiva, entonces el operador de CR Paneitz permanece no negativo para toda la familia, siempre que un miembro de la familia tenga su operador de CR Paneitz no negativo. ^{[ 24 ]} La cuestión inversa fue finalmente resuelta por Yuya Takeuchi. Demostró que para variedades CR-3 compactas e inmersas que son estrictamente pseudoconvexas, el operador de CR Paneitz asociado a esta variedad inmersa es no negativo. ^{[ 25 ]}

La realización de la variedad CR abstracta como una variedad suave en algún${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$acotará una variedad compleja que, en general, puede tener singularidades. Este es el contenido del problema de la meseta compleja estudiado en el artículo de F. Reese Harvey y H. Blaine Lawson . ^{[ 26 ]} También existe otro trabajo sobre el problema de la meseta compleja realizado por Stephen S.-T. Yau . ^{[ 27 ]}

La incrustación local de estructuras CR abstractas no es cierta en dimensión real 3, debido a un ejemplo de Louis Nirenberg (el libro de Chen y Mei-Chi Shaw mencionado más adelante también incluye una presentación de la demostración de Nirenberg). ^{[ 28 ]} El ejemplo de L. Nirenberg puede verse como una perturbación suave del campo vectorial complejo no soluble de Hans Lewy . Se puede comenzar con el campo vectorial antiholomorfo.${\displaystyle {\overline {L}}}$sobre el grupo de Heisenberg dado por

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

El campo vectorial definido anteriormente tiene dos integrales primeras linealmente independientes. Es decir, hay dos soluciones para la ecuación homogénea,

${\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}$

Dado que estamos en dimensión tres real, la condición de integrabilidad formal es simplemente,

${\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}$

lo cual es automático. Nótese que la forma de Levi es estrictamente definida positiva, como lo demuestra un cálculo simple:

${\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}$

donde el campo vectorial holomorfo L viene dado por,

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

Las primeras integrales que son linealmente independientes nos permiten realizar la estructura CR como un gráfico en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$dado por

${\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}$

La estructura CR se ve entonces como nada más que la restricción de la estructura compleja de${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$al gráfico. Nirenberg construye un único campo vectorial complejo no nulo.${\displaystyle P,}$definido en un vecindario del origen en${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$Luego demuestra que si${\displaystyle Pu=0}$, entonces${\displaystyle u}$tiene que ser una constante. Por lo tanto, el campo vectorial${\displaystyle P}$no tiene integrales primeras. El campo vectorial${\displaystyle P}$se crea a partir del campo vectorial antiholomorfo para el grupo de Heisenberg mostrado arriba, perturbándolo mediante una función suave de valores complejos.${\displaystyle \phi }$como se muestra a continuación:

${\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}$

Por lo tanto, este nuevo campo vectorial P no tiene integrales primeras que no sean constantes y, por lo tanto, no es posible realizar esta estructura CR perturbada de ninguna manera como un gráfico en ningún${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$El trabajo de L. Nirenberg ha sido extendido a un resultado genérico por Howard Jacobowitz y François Trèves . ^{[ 29 ]} En dimensión real 9 y superior, la incrustación local de estructuras CR estrictamente pseudoconvexas abstractas es verdadera según el trabajo de Masatake Kuranishi y en dimensión real 7 según el trabajo de Akahori. ^{[ 30 ]} Una presentación simplificada de la demostración de Kuranishi se debe a Webster. ^{[ 31 ]}

El problema de la incrustación local sigue abierto en dimensión real 5.

En primer lugar, es necesario definir un operador de co-frontera.${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$. Para las variedades CR que surgen como fronteras de variedades complejas, se puede ver este operador como la restricción de${\displaystyle {\overline {\partial }}}$desde el interior hasta el límite. El subíndice b sirve para recordar que estamos en el límite. El operador de co-límite transforma las formas (0,p) en formas (0,p+1). Incluso se puede definir el operador de co-límite para una variedad CR abstracta, aunque no sea el límite de una variedad compleja. Esto se puede hacer utilizando la conexión de Webster. ^{[ 32 ]} El operador de co-límite${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$forma un complejo, es decir${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}$Este complejo se denomina complejo de Cauchy-Riemann tangencial o complejo de Kohn-Rossi. La investigación de este complejo y el estudio de sus grupos de cohomología se llevaron a cabo en un artículo fundamental de Joseph J. Kohn y Hugo Rossi. ^{[ 33 ]}

Asociado al complejo CR tangencial se encuentra un objeto fundamental en la geometría CR y en varias variables complejas: el laplaciano de Kohn. Se define como:

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}$

Aquí${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$denota el adjunto formal de${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$con respecto a${\displaystyle L^{2}(M)}$donde la forma de volumen puede derivarse de una forma de contacto asociada a la estructura CR. Véase, por ejemplo, el artículo de J.M. Lee en la revista American J. citado más adelante. Nótese que el laplaciano de Kohn transforma formas (0,p) en formas (0,p). Las funciones que son aniquiladas por el laplaciano de Kohn se denominan funciones CR . Son los análogos de frontera de las funciones holomorfas . Las partes reales de las funciones CR se denominan funciones pluriharmónicas CR . El laplaciano de Kohn${\displaystyle \Box _{b}}$es un operador no negativo, formalmente autoadjunto. Es degenerado y tiene un conjunto característico donde su símbolo se anula. En una variedad CR abstracta compacta y fuertemente pseudoconvexa, tiene autovalores positivos discretos que tienden a infinito y también se aproximan a cero. El núcleo consiste en las funciones CR y, por lo tanto, es de dimensión infinita. Si los autovalores positivos del laplaciano de Kohn están acotados inferiormente por una constante positiva, entonces el laplaciano de Kohn tiene rango cerrado y viceversa. Así, para estructuras CR embebidas usando el resultado de Kohn mencionado anteriormente, concluimos que la estructura CR compacta que es fuertemente pseudoconvexa está embebida si y solo si el laplaciano de Kohn tiene autovalores positivos que están acotados inferiormente por una constante positiva. El laplaciano de Kohn siempre tiene el autovalor cero correspondiente a las funciones CR.

Estimaciones para${\displaystyle \Box _{b}}$y${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$Se han obtenido en diversos espacios funcionales en diversos entornos. Estas estimaciones son más fáciles de derivar cuando la variedad es fuertemente pseudoconvexa, ya que entonces se puede reemplazar la variedad osculándola a un orden suficientemente alto con el grupo de Heisenberg. Luego, utilizando la propiedad de grupo y la estructura de convolución asociada del grupo de Heisenberg, se pueden escribir inversas/paramétricas o paramétricas relativas a${\displaystyle \Box _{b}}$. ^{[ 34 ]}

Un ejemplo concreto de la${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$Se puede proporcionar un operador en el grupo de Heisenberg. Consideremos el grupo de Heisenberg general.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$y consideremos los campos vectoriales antiholomorfos que también son invariantes por la izquierda de grupo,

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

Entonces, para una función u tenemos la forma (0,1)${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}$

Desde${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$Se desvanece en funciones, también tenemos la siguiente fórmula para el laplaciano de Kohn para funciones en el grupo de Heisenberg:

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}$

dónde

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

son los campos vectoriales holomorfos invariantes por la izquierda del grupo en el grupo de Heisenberg. La expresión para el laplaciano de Kohn anterior se puede reescribir de la siguiente manera. Primero se comprueba fácilmente que

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}$

Así, mediante un cálculo elemental, tenemos:

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}$

El primer operador de la derecha es un operador real y, de hecho, es la parte real del laplaciano de Kohn. Se le llama sub-laplaciano . Es un ejemplo primario de lo que se denomina operador de sumas de cuadrados de Hörmander . ^{[ 35 ] [ 36 ]} Obviamente es no negativo, como se puede comprobar mediante una integración por partes. Algunos autores definen el sub-laplaciano con signo opuesto. En nuestro caso, específicamente tenemos:

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}$

donde el símbolo${\displaystyle \Delta _{b}}$es el símbolo tradicional del sublaplaciano. Por lo tanto

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$