Teorema de comparación de Rauch

En geometría riemanniana , el teorema de comparación de Rauch , que lleva el nombre de Harry Rauch , quien lo demostró en 1951, es un resultado fundamental que relaciona la curvatura seccional de una variedad riemanniana con la velocidad a la que se separan las geodésicas . Intuitivamente, establece que para curvatura positiva, las geodésicas tienden a converger, mientras que para curvatura negativa, tienden a separarse.

El enunciado del teorema involucra dos variedades riemannianas y permite comparar la velocidad infinitesimal a la que se separan las geodésicas en ambas variedades, siempre que se pueda comparar su curvatura. Generalmente, una de las dos variedades es un "modelo de comparación", normalmente una variedad con curvatura constante , y la segunda es la variedad en estudio  : se necesita entonces una cota (inferior o superior) para su curvatura seccional con el fin de aplicar el teorema de comparación de Rauch.

Dejar${\displaystyle M,{\widetilde {M}}}$sean variedades riemannianas, sobre las cuales se dibujan segmentos geodésicos de velocidad unitaria${\displaystyle \gamma$ :[0,T]\to M} y${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}:[0,T]\to {\widetilde {M}}}$. Supongamos que${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$no tiene puntos conjugados a lo largo${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$y dejar${\displaystyle J,{\widetilde {J}}}$ser dos campos de Jacobi normales a lo largo${\displaystyle \gamma }$y${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$de tal manera que  :

• ${\displaystyle J(0)=0}$y${\displaystyle {\widetilde {J}}(0)=0}$
• ${\displaystyle |D_{t}J(0)|=\left|{\widetilde {D}}_{t}{\widetilde {J}}(0)\right|}$.

Si la curvatura seccional de cada plano 2${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$que contiene${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$es menor o igual que la curvatura seccional de cada plano 2${\displaystyle {\widetilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\widetilde {M}}}$que contiene${\displaystyle {\dot {\widetilde {\gamma }}}(t)}$, entonces${\displaystyle |J(t)|\geq |{\widetilde {J}}(t)|}$a pesar de${\displaystyle t\in [0,T]}$.

El teorema se formula utilizando campos de Jacobi para medir la variación en geodésicas. Dado que la parte tangencial de un campo de Jacobi es independiente de la geometría de la variedad, el teorema se centra en campos de Jacobi normales, es decir, campos de Jacobi ortogonales al vector velocidad.${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$de la geodésica para siempre${\displaystyle t}$Hasta la reparametrización, toda variación de geodésicas induce un campo de Jacobi normal.

Se solicita que los campos de Jacobi desaparezcan en ese momento.${\displaystyle t=0}$porque el teorema mide la divergencia infinitesimal (o convergencia) de una familia de geodésicas que parten del mismo punto.${\displaystyle \gamma (0)}$y dicha familia induce un campo de Jacobi que desaparece en${\displaystyle t=0}$.

En condiciones muy similares, también es posible comparar el hessiano de la función de distancia a un punto dado. ^{[ 1 ]} Asimismo, es posible comparar el laplaciano de esta función (que es la traza del hessiano), con alguna condición adicional sobre una de las dos variedades: basta entonces con tener una desigualdad sobre la curvatura de Ricci (que es la traza del tensor de curvatura). ^{[ 1 ]}

• Teorema de Toponogov

• do Carmo, MP Geometría riemanniana , Birkhäuser, 1992.
• Lee, JM, Variedades riemannianas: Una introducción a la curvatura , Springer, 1997.