Marco móvil

En matemáticas , un marco móvil es una generalización flexible de la noción de marco de coordenadas (una base ordenada de un espacio vectorial , junto con un origen ) que se utiliza a menudo para estudiar la geometría diferencial extrínseca de variedades suaves incrustadas en un espacio homogéneo .

En términos sencillos, un marco de referencia es un sistema de varillas de medición que un observador utiliza para medir el espacio circundante mediante coordenadas . Un marco móvil es, por lo tanto, un marco de referencia que se mueve con el observador a lo largo de una trayectoria (una curva ). El método del marco móvil, en este ejemplo simple, busca generar un marco móvil "preferido" a partir de las propiedades cinemáticas del observador. En un contexto geométrico, este problema fue resuelto a mediados del siglo XIX por Jean Frédéric Frenet y Joseph Alfred Serret . ^{[ 1 ]} El marco de Frenet-Serret es un marco móvil definido en una curva que puede construirse únicamente a partir de la velocidad y la aceleración de la curva. ^{[ 2 ]}

El marco de Frenet-Serret desempeña un papel fundamental en la geometría diferencial de curvas , lo que conduce a una clasificación más o menos completa de curvas suaves en el espacio euclidiano salvo congruencia . ^{[ 3 ]} Las fórmulas de Frenet-Serret muestran que existe un par de funciones definidas en la curva, la torsión y la curvatura , que se obtienen al diferenciar el marco y que describen completamente cómo evoluciona el marco en el tiempo a lo largo de la curva. Una característica clave del método general es que un marco móvil preferido, siempre que se pueda encontrar, proporciona una descripción cinemática completa de la curva.

A finales del siglo XIX, Gaston Darboux estudió el problema de construir un marco móvil preferido sobre una superficie en el espacio euclidiano en lugar de una curva, el marco de Darboux (o trièdre mobile, como se le llamaba entonces). Resultó imposible, en general, construir tal marco, y que existían condiciones de integrabilidad que debían cumplirse previamente. ^{[ 1 ]}

Más tarde, Élie Cartan y otros desarrollaron ampliamente los marcos móviles en el estudio de subvariedades de espacios homogéneos más generales (como el espacio proyectivo ). En este contexto, un marco traslada la idea geométrica de una base de un espacio vectorial a otros tipos de espacios geométricos ( geometrías de Klein ). Algunos ejemplos de marcos son: ^{[ 3 ]}

• Un marco lineal es una base ordenada de un espacio vectorial .
• Un marco ortonormal de un espacio vectorial es una base ordenada que consta de vectores unitarios ortogonales (una base ortonormal ).
• Un marco afín de un espacio afín consiste en una elección de origen junto con una base ordenada de vectores en el espacio de diferencias asociado . ^{[ 4 ]}
• Un marco cartesiano de un espacio afín es una elección de origen junto con una base ortonormal del espacio diferencia.
• Un marco proyectivo en un espacio proyectivo n -dimensional es una colección ordenada de n + 2 puntos tal que cualquier subconjunto de n + 1 puntos es linealmente independiente .
• En la relatividad general, los campos de referencia son marcos de cuatro dimensiones, o vierbeins , en alemán.

En cada uno de estos ejemplos, el conjunto de todos los marcos es homogéneo en cierto sentido. En el caso de los marcos lineales, por ejemplo, dos marcos cualesquiera están relacionados por un elemento del grupo lineal general . Los marcos proyectivos están relacionados por el grupo lineal proyectivo . Esta homogeneidad, o simetría, de la clase de marcos captura las características geométricas del paisaje lineal, afín, euclidiano o proyectivo. Un marco móvil, en estas circunstancias, es precisamente eso: un marco que varía de un punto a otro.

Formalmente, un marco en un espacio homogéneo G / H consiste en un punto en el fibrado tautológico G → G / H . Un marco móvil es una sección de este fibrado. Es móvil en el sentido de que, a medida que varía el punto de la base, el marco en la fibra cambia en un elemento del grupo de simetría G . Un marco móvil en una subvariedad M de G / H es una sección del retroceso del fibrado tautológico a M . Intrínsecamente ^{[ 5 ]} un marco móvil puede definirse en un fibrado principal P sobre una variedad. En este caso, un marco móvil viene dado por una aplicación G -equivariante φ  : P → G , enmarcando así la variedad mediante elementos del grupo de Lie G .

Se puede extender la noción de marcos a un caso más general: se puede " soldar " un haz de fibras a una variedad diferenciable , de tal manera que las fibras se comporten como si fueran tangentes. Cuando el haz de fibras es un espacio homogéneo, esto se reduce al campo de marcos descrito anteriormente. Cuando el espacio homogéneo es un cociente de grupos ortogonales especiales , esto se reduce a la concepción estándar de un vierbein .

Aunque existe una diferencia formal sustancial entre los marcos móviles extrínsecos e intrínsecos, ambos son similares en el sentido de que un marco móvil siempre viene dado por una aplicación en G. La estrategia en el método de marcos móviles de Cartan , como se describe brevemente en el método de equivalencia de Cartan , consiste en encontrar un marco móvil natural en la variedad y luego tomar su derivada de Darboux , es decir, retroceder la forma de Maurer-Cartan de G a M (o P ), y así obtener un conjunto completo de invariantes estructurales para la variedad. ^{[ 3 ]}

Cartan (1937) formuló la definición general de un marco móvil y el método del marco móvil, tal como lo elaboró ​​Weyl (1938) . Los elementos de la teoría son:

• Un grupo de mentiras G.
• Un espacio de Klein X cuyo grupo de automorfismos geométricos es G.
• Una variedad diferenciable Σ que sirve como espacio de coordenadas (generalizadas) para X.
• Una colección de marcos ƒ, cada uno de los cuales determina una función de coordenadas de X a Σ (la naturaleza precisa del marco se deja vaga en la axiomatización general).

Se asume entonces que se cumplen los siguientes axiomas entre estos elementos:

• Hay una acción de grupo libre y transitiva de G sobre la colección de marcos: es un espacio homogéneo principal para G. En particular, para cualquier par de marcos ƒ y ƒ ′ , hay una transición única de marco (ƒ→ƒ ′ ) en G determinada por el requisito (ƒ→ƒ ′ )ƒ  =  ƒ ′ .
• Dado un marco ƒ y un punto A  ∈ X , se asocia un punto x = ( A ,ƒ) perteneciente a Σ. Esta aplicación determinada por el marco ƒ es una biyección de los puntos de X a los de Σ. Esta biyección es compatible con la ley de composición de marcos en el sentido de que la coordenada x ′ del punto A en un marco diferente ƒ ′ surge de ( A ,ƒ) mediante la aplicación de la transformación (ƒ→ƒ ′ ). Es decir,   $${\displaystyle (A,f')=(f\to f')\circ (A,f).}$$

El método se centra en subvariedades parametrizadas de X. Las consideraciones son principalmente locales, por lo que el dominio de parámetros se define como un subconjunto abierto de R ^λ . Se aplican técnicas ligeramente diferentes según se trate de la subvariedad junto con su parametrización, o de la subvariedad hasta su reparametrización.

El caso más común de un marco móvil es el del fibrado de marcos tangentes (también llamado fibrado de marcos ) de una variedad. En este caso, un marco tangente móvil en una variedad M consiste en una colección de campos vectoriales e ₁ , e ₂ , …, e _n que forman una base del espacio tangente en cada punto de un conjunto abierto U ⊂ M .

Si${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$Si U es un sistema de coordenadas , entonces cada campo vectorial e _j puede expresarse como una combinación lineal de los campos vectoriales de coordenadas.${\textstyle {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$:$${\displaystyle e_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}$$donde cada${\displaystyle A_{j}^{i}}$es una función en U. Estas pueden verse como los componentes de una matriz${\displaystyle A}$Esta matriz es útil para encontrar la expresión de coordenadas del coframe dual, como se explica en la siguiente sección.

En muchos casos, resulta imposible definir un único sistema de referencia válido a nivel global. Para superar esta limitación, se suelen combinar varios sistemas de referencia para formar un atlas , dando lugar así al concepto de sistema de referencia local . Además, a menudo es conveniente dotar a estos atlas de una estructura suave , de modo que los campos de referencia resultantes sean diferenciables.

Aunque este artículo construye los campos de marco como un sistema de coordenadas en el fibrado tangente de una variedad , las ideas generales se trasladan fácilmente al concepto de fibrado vectorial , que es una variedad dotada de un espacio vectorial en cada punto, siendo dicho espacio vectorial arbitrario y no relacionado en general con el fibrado tangente.

Los sistemas de referencia fijos al cuerpo se utilizan ampliamente en la mecánica de cuerpos rígidos . Las maniobras de las aeronaves pueden expresarse en términos del sistema de referencia móvil ( ejes principales de la aeronave ) cuando las describe el piloto.

• Marco Darboux
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Gráficos de tortuga
• Guiñada, cabeceo y balanceo
• Marco de referencia giratorio

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