Desarrollo (geometría diferencial)

En geometría diferencial clásica , el desarrollo consiste en el desplazamiento de una superficie lisa sobre otra en el espacio euclidiano . Por ejemplo, el plano tangente a una superficie (como la esfera o el cilindro ) en un punto se puede desplazar alrededor de la superficie para obtener el plano tangente en otros puntos.

El contacto tangencial entre las superficies que ruedan una sobre la otra establece una relación entre puntos de ambas superficies. Si esta relación es (quizás solo localmente ) una biyección entre las superficies, entonces se dice que ambas superficies son desarrollables una sobre la otra o desarrollos mutuos. Dicho de otro modo, la correspondencia establece una isometría , localmente, entre las dos superficies.

En particular, si una de las superficies es un plano, la otra se denomina superficie desarrollable ; por lo tanto, una superficie desarrollable es aquella que es localmente isométrica a un plano. El cilindro es desarrollable, pero la esfera no lo es.

El desarrollo puede generalizarse aún más utilizando conexiones planas. Desde este punto de vista, al hacer rodar el plano tangente sobre una superficie se define una conexión afín en dicha superficie (lo que proporciona un ejemplo de transporte paralelo a lo largo de una curva ), y una superficie desarrollable es aquella para la cual esta conexión es plana.

En términos más generales, cualquier conexión de Cartan plana en una variedad define un desarrollo de dicha variedad sobre el espacio modelo . Quizás el ejemplo más famoso sea el desarrollo de variedades n- planas conformes , en las que el espacio modelo es la n- esfera. El desarrollo de una variedad conformemente plana es un difeomorfismo local conforme desde el recubrimiento universal de la variedad a la n -esfera.

La clase de superficies de doble curvatura (superficies no desarrollables) contiene objetos que no pueden desplegarse (desarrollarse) simplemente. Dichas superficies solo pueden desarrollarse de forma aproximada con algunas distorsiones de los elementos lineales de la superficie (véase el método de la cuadrícula estirada ).

• Superficie desarrollable
• Superficie reglada

• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-94732-9.