Teorema del punto fijo de Brouwer

Consideremos la función

${\displaystyle f(x)=x+1}$

con dominio${\displaystyle [-1,1]}$. El rango de la función es${\displaystyle [0,2]}$Por lo tanto, f no es un endomorfismo.

Consideremos la función

${\displaystyle f(x)=x+1,}$

que es una función continua de${\displaystyle \mathbb {R} }$a sí mismo. Como desplaza cada punto hacia la derecha, no puede tener un punto fijo. El espacio${\displaystyle \mathbb {R} }$es convexa y cerrada, pero no acotada.

Consideremos la función

${\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}},}$

que es una función continua del intervalo abierto${\displaystyle (-1,1)}$a sí mismo. Desde el punto${\displaystyle x=1}$no forma parte del intervalo, no hay ningún punto en el dominio tal que${\displaystyle f(x)=x}$. El conjunto${\displaystyle (-1,1)}$es convexa y acotada, pero no cerrada. Por otro lado, la función${\displaystyle f}$ tiene un punto fijo en el intervalo cerrado${\displaystyle [-1,1]}$, es decir${\displaystyle x=1}$. El intervalo cerrado${\displaystyle [-1,1]}$es compacto, el intervalo abierto${\displaystyle (-1,1)}$no lo es.

La convexidad no es estrictamente necesaria para el teorema del punto fijo de Brouwer. Dado que las propiedades involucradas (continuidad, ser un punto fijo) son invariantes bajo homeomorfismos , el teorema del punto fijo de Brouwer es equivalente a formas en las que se requiere que el dominio sea una bola unitaria cerrada.${\displaystyle D^{n}}$. Por la misma razón, se cumple para todo conjunto que sea homeomorfo a una bola cerrada (y por lo tanto también cerrado , acotado, conexo , sin agujeros , etc.).

El siguiente ejemplo muestra que el teorema del punto fijo de Brouwer no funciona para dominios con agujeros. Considere la función${\displaystyle f(x)=-x}$, que es una función continua del círculo unitario en sí mismo. Dado que${\displaystyle -x\neq x}$es válido para cualquier punto del círculo unitario,${\displaystyle f}$no tiene un punto fijo. El ejemplo análogo funciona para el${\displaystyle n}$esfera de -dimensiones (o cualquier dominio simétrico que no contenga el origen). El círculo unitario es cerrado y acotado, pero tiene un agujero (y por lo tanto no es convexo). La función${\displaystyle f}$Sí tiene un punto fijo para el disco de la unidad, ya que toma el origen hacia sí mismo.

Una generalización formal del teorema del punto fijo de Brouwer para dominios "libres de agujeros" puede derivarse del teorema del punto fijo de Lefschetz . ^{[ 11 ]}

En este teorema, la función continua no tiene por qué ser biyectiva ni sobreyectiva .

Se supone que el teorema se originó a partir de la observación de Brouwer de una taza de café gourmet. ^{[ 12 ]} Si se revuelve para disolver un terrón de azúcar, parece que siempre hay un punto inmóvil. Llegó a la conclusión de que en cualquier momento, hay un punto en la superficie que no se mueve. ^{[ 13 ]} El punto fijo no es necesariamente el punto que parece estar inmóvil, ya que el centro de la turbulencia se mueve un poco. El resultado no es intuitivo, ya que el punto fijo original puede volverse móvil cuando aparece otro punto fijo.

Se dice que Brouwer añadió: «Puedo formular este espléndido resultado de otra manera: tomo una hoja horizontal y otra idéntica que arrugo, aliso y coloco encima. Entonces, un punto de la hoja arrugada queda en el mismo lugar que en la otra hoja». ^{[ 13 ]} Brouwer «alisa» su hoja como con una plancha, sin eliminar los pliegues ni las arrugas. A diferencia del ejemplo de la taza de café, el ejemplo del papel arrugado también demuestra que puede existir más de un punto fijo. Esto distingue el resultado de Brouwer de otros teoremas de punto fijo, como el de Stefan Banach , que garantizan la unicidad.

En una dimensión, el resultado es intuitivo y fácil de demostrar. La función continua f está definida en un intervalo cerrado [ a , b ] y toma valores en el mismo intervalo. Decir que esta función tiene un punto fijo equivale a decir que su gráfica (verde oscuro en la figura de la derecha) interseca la de la función definida en el mismo intervalo [ a , b ] que mapea x a x (verde claro).  

Intuitivamente, cualquier línea continua desde el borde izquierdo del cuadrado hasta el borde derecho necesariamente interseca la diagonal verde. Para demostrar esto, consideremos la función g que asigna a x el valor de f ( x )  - x . Es ≥ 0 en a y ≤ 0 en b . Por el teorema del valor intermedio , g tiene un cero en [ a , b ]; este cero es un punto fijo.     

Se dice que Brouwer lo expresó de la siguiente manera: «En lugar de examinar una superficie, demostraremos el teorema con un trozo de cuerda. Comencemos con la cuerda desplegada y luego la volvamos a doblar. Aplanemos la cuerda plegada. De nuevo, un punto de la cuerda no ha cambiado su posición con respecto a su posición original en la cuerda desplegada». ^{[ 13 ]}

A finales del siglo XIX, el antiguo problema ^{[ 17 ]} de la estabilidad del sistema solar volvió a ser el centro de atención de la comunidad matemática. ^{[ 18 ]} Su solución requería nuevos métodos. Como señaló Henri Poincaré , quien trabajó en el problema de los tres cuerpos , no hay esperanza de encontrar una solución exacta: «Nada es más apropiado para darnos una idea de la dificultad del problema de los tres cuerpos, y en general de todos los problemas de Dinámica donde no hay una integral uniforme y las series de Bohlin divergen». ^{[ 19 ]} También señaló que la búsqueda de una solución aproximada no es más eficiente: «cuanto más buscamos obtener aproximaciones precisas, más divergirá el resultado hacia una imprecisión creciente». ^{[ 20 ]}

Estudió una cuestión análoga a la del movimiento de la superficie en una taza de café. ¿Qué podemos decir, en general, acerca de las trayectorias en una superficie animada por un flujo constante ? ^{[ 21 ]} Poincaré descubrió que la respuesta se encuentra en lo que ahora llamamos las propiedades topológicas en el área que contiene la trayectoria. Si esta área es compacta , es decir, cerrada y acotada , entonces la trayectoria se vuelve estacionaria o se aproxima a un ciclo límite . ^{[ 22 ]} Poincaré fue más allá; si el área es del mismo tipo que un disco, como es el caso de la taza de café, necesariamente debe haber un punto fijo. Este punto fijo es invariante bajo todas las funciones que asocian a cada punto de la superficie original su posición después de un breve intervalo de tiempo t . Si el área es una banda circular, o si no es cerrada, ^{[ 23 ]} entonces esto no es necesariamente el caso. 

Para comprender mejor las ecuaciones diferenciales, nació una nueva rama de las matemáticas. Poincaré la denominó analysis situs . La Encyclopædia Universalis francesa la define como la rama que «trata las propiedades de un objeto que son invariantes si se deforma de cualquier manera continua, sin romperse». ^{[ 24 ]} En 1886, Poincaré demostró un resultado equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer, ^{[ 25 ]} aunque la conexión con el tema de este artículo aún no era evidente. ^{[ 26 ]} Poco después, desarrolló una de las herramientas fundamentales para comprender mejor el analysis situs, ahora conocido como grupo fundamental o, a veces, grupo de Poincaré. ^{[ 27 ]} Este método puede utilizarse para una demostración muy compacta del teorema en cuestión.

El método de Poincaré era análogo al de Émile Picard , un matemático contemporáneo que generalizó el teorema de Cauchy-Lipschitz . ^{[ 28 ]} El enfoque de Picard se basa en un resultado que más tarde sería formalizado por otro teorema de punto fijo , que lleva el nombre de Banach . En lugar de las propiedades topológicas del dominio, este teorema utiliza el hecho de que la función en cuestión es una contracción .

A principios del siglo XX, el interés por el análisis situs no pasó desapercibido. Sin embargo, la necesidad de un teorema equivalente al que se analiza en este artículo aún no era evidente. Piers Bohl , matemático letón , aplicó métodos topológicos al estudio de ecuaciones diferenciales. ^{[ 29 ]} En 1904 demostró el caso tridimensional del teorema, ^{[ 14 ]} pero su publicación no tuvo repercusión. ^{[ 30 ]}

Fue Brouwer, finalmente, quien le dio al teorema su primera patente de nobleza. Sus objetivos eran diferentes a los de Poincaré. Este matemático se inspiró en los fundamentos de las matemáticas, especialmente en la lógica matemática y la topología . Su interés inicial radicaba en intentar resolver el quinto problema de Hilbert . ^{[ 31 ]} En 1909, durante un viaje a París, conoció a Henri Poincaré , Jacques Hadamard y Émile Borel . Las discusiones subsiguientes convencieron a Brouwer de la importancia de una mejor comprensión de los espacios euclidianos y fueron el origen de un fructífero intercambio de cartas con Hadamard. Durante los siguientes cuatro años, se concentró en la demostración de ciertos teoremas importantes sobre esta cuestión. En 1912 demostró el teorema de la bola peluda para la esfera bidimensional, así como el hecho de que toda aplicación continua de la bola bidimensional a sí misma tiene un punto fijo. ^{[ 32 ]} Estos dos resultados en sí mismos no eran realmente nuevos. Como observó Hadamard, Poincaré había demostrado un teorema equivalente al teorema de la bola peluda. ^{[ 33 ]} El aspecto revolucionario del enfoque de Brouwer fue su uso sistemático de herramientas de reciente desarrollo, como la homotopía , concepto subyacente del grupo de Poincaré. Al año siguiente, Hadamard generalizó el teorema en cuestión a una dimensión finita arbitraria, pero empleó métodos diferentes. Hans Freudenthal comenta sobre los roles respectivos de la siguiente manera: «Comparados con los métodos revolucionarios de Brouwer, los de Hadamard eran muy tradicionales, pero la participación de Hadamard en el nacimiento de las ideas de Brouwer se asemeja más a la de una partera que a la de un mero espectador». ^{[ 34 ]}

El enfoque de Brouwer dio sus frutos, y en 1910 también encontró una demostración válida para cualquier dimensión finita, ^{[ 5 ]} así como otros teoremas clave como la invariancia de la dimensión. ^{[ 35 ]} En el contexto de este trabajo, Brouwer también generalizó el teorema de la curva de Jordan a dimensión arbitraria y estableció las propiedades relacionadas con el grado de una aplicación continua . ^{[ 36 ]} Esta rama de las matemáticas, originalmente concebida por Poincaré y desarrollada por Brouwer, cambió de nombre. En la década de 1930, el análisis situs se convirtió en topología algebraica . ^{[ 37 ]}

El teorema demostró su valía de diversas maneras. Durante el siglo XX se desarrollaron numerosos teoremas de punto fijo, e incluso una rama de las matemáticas denominada teoría del punto fijo . ^{[ 38 ]} El teorema de Brouwer es probablemente el más importante. ^{[ 39 ]} También se encuentra entre los teoremas fundamentales sobre la topología de las variedades topológicas y se utiliza con frecuencia para demostrar otros resultados importantes, como el teorema de la curva de Jordan . ^{[ 40 ]}

Además de los teoremas de punto fijo para funciones más o menos contractivas , hay muchos que han surgido directa o indirectamente del resultado en discusión. Una aplicación continua de una bola cerrada del espacio euclidiano a su frontera no puede ser la identidad en la frontera. De manera similar, el teorema de Borsuk-Ulam dice que una aplicación continua de la esfera n- dimensional a R ⁿ tiene un par de puntos antipodales que se mapean al mismo punto. En el caso de dimensión finita, el teorema de punto fijo de Lefschetz proporcionó desde 1926 un método para contar puntos fijos. En 1930, el teorema de punto fijo de Brouwer se generalizó a espacios de Banach . ^{[ 41 ]} Esta generalización se conoce como el teorema de punto fijo de Schauder , un resultado generalizado aún más por S. Kakutani a funciones multivaluadas . ^{[ 42 ]} También se encuentra el teorema y sus variantes fuera de la topología. Se puede utilizar para demostrar el teorema de Hartman-Grobman , que describe el comportamiento cualitativo de ciertas ecuaciones diferenciales cerca de ciertos equilibrios. De manera similar, el teorema de Brouwer se utiliza para la demostración del teorema del límite central . El teorema también se puede encontrar en demostraciones de existencia para las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales parciales . ^{[ 43 ]}

También se abordan otras áreas. En teoría de juegos , John Nash utilizó el teorema para demostrar que en el juego de Hex existe una estrategia ganadora para las blancas. ^{[ 44 ]} En economía, P. Bich explica que ciertas generalizaciones del teorema muestran que su uso es útil para ciertos problemas clásicos en teoría de juegos y, en general, para equilibrios ( ley de Hotelling ), equilibrios financieros y mercados incompletos. ^{[ 45 ]}

La fama de Brouwer no se debe exclusivamente a su trabajo topológico. Las demostraciones de sus grandes teoremas topológicos no son constructivas , ^{[ 46 ]} y la insatisfacción de Brouwer con esto fue en parte lo que lo llevó a articular la idea de constructividad . Se convirtió en el creador y defensor ferviente de una forma de formalizar las matemáticas conocida como intuicionismo , que en ese momento se oponía a la teoría de conjuntos . ^{[ 47 ]} Brouwer renegó de su demostración original del teorema del punto fijo.

La demostración original de Brouwer de 1911 se basó en la noción del grado de una aplicación continua , derivada de ideas de la topología diferencial . En la literatura se pueden encontrar varias versiones modernas de la demostración, en particular la de Milnor (1965) . ^{[ 48 ] [ 49 ]}

Dejar${\displaystyle K={\overline {B(0)}}}$denota la bola unitaria cerrada en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$centrado en el origen. Supongamos, por simplicidad, que${\displaystyle f:K\to K}$es continuamente diferenciable. Un valor regular de${\displaystyle f}$es un punto${\displaystyle p\in B(0)}$de tal manera que el jacobiano de${\displaystyle f}$es no singular en cada punto de la preimagen de${\displaystyle p}$. En particular, por el teorema de la función inversa , cada punto de la preimagen de${\displaystyle f}$se encuentra en${\displaystyle B(0)}$(el interior de${\displaystyle K}$). El grado de${\displaystyle f}$a un valor regular${\displaystyle p\in B(0)}$se define como la suma de los signos del determinante jacobiano de${\displaystyle f}$sobre las preimágenes de${\displaystyle p}$bajo${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \operatorname {deg} _{p}(f)=\sum _{x\in f^{-1}(p)}\operatorname {sign} \,\det(df_{x}).}$

El grado es, en términos generales, el número de "hojas" de la preimagen f que cubren un pequeño conjunto abierto alrededor de p , contando las hojas de forma inversa si tienen orientación opuesta. Esto constituye, por lo tanto, una generalización del número de vueltas a dimensiones superiores.

El grado satisface la propiedad de invariancia homotópica : sea${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$sean dos funciones continuamente diferenciables, y${\displaystyle H_{t}(x)=tf+(1-t)g}$para${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$. Supongamos que el punto${\displaystyle p}$es un valor regular de${\displaystyle H_{t}}$para todo t . Entonces${\displaystyle \deg _{p}f=\deg _{p}g}$.

Si no hay un punto fijo del límite de${\displaystyle K}$, entonces la función

${\displaystyle g(x)={\frac {xf(x)}{\sup _{y\in K}\left|yf(y)\right|}}}$

está bien definido y

${\displaystyle H(t,x)={\frac {x-tf(x)}{\sup _{y\in K}\left|y-tf(y)\right|}}}$

define una homotopía de la función identidad a ella. La función identidad tiene grado uno en cada punto. En particular, la función identidad tiene grado uno en el origen, por lo que${\displaystyle g}$también tiene grado uno en el origen. Como consecuencia, la preimagen${\displaystyle g^{-1}(0)}$no está vacío. Los elementos de${\displaystyle g^{-1}(0)}$son precisamente los puntos fijos de la función original f .

Esto requiere cierto trabajo para generalizarlo por completo. La definición de grado debe extenderse a valores singulares de f y, posteriormente, a funciones continuas. El surgimiento más reciente de la teoría de la homología simplifica la construcción del grado y, por lo tanto, se ha convertido en una demostración estándar en la literatura.

El teorema de la bola peluda establece que en la esfera unitaria S de un espacio euclidiano de dimensión impar, no existe ningún campo vectorial tangente continuo w que no se anule en ningún punto . (La condición de tangencia implica que w ( x ) ⋅ x = 0 para todo vector unitario x ). A veces, el teorema se expresa como «siempre hay un lugar en el globo sin viento». Una demostración elemental del teorema de la bola peluda se puede encontrar en Milnor (1978) .

De hecho, supongamos primero que w es continuamente diferenciable . Mediante escalamiento, se puede asumir que w es un vector tangente unitario continuamente diferenciable en S. Se puede extender radialmente a una pequeña capa esférica A de S. Para t suficientemente pequeño, un cálculo rutinario muestra que la aplicación f _t ( x ) = x + t w ( x ) es una aplicación de contracción en A y que el volumen de su imagen es un polinomio en t . Por otro lado, como aplicación de contracción, f _t debe restringirse a un homeomorfismo de S sobre (1 + t ² ) ^{⁠ 1 / 2 ⁠} S y A sobre (1 + t ² ) ^{⁠ 1 / 2 ⁠} A. Esto da una contradicción, porque, si la dimensión n del espacio euclidiano es impar, (1 + t ² ) ^{n /2} no es un polinomio.

Si w es solo un vector tangente unitario continuo en S , por el teorema de aproximación de Weierstrass , puede aproximarse uniformemente mediante una aplicación polinómica u de A en el espacio euclidiano. La proyección ortogonal sobre el espacio tangente viene dada por v ( x ) = u ( x ) - u ( x ) ⋅ x . Por lo tanto, v es polinómico y no se anula en ningún punto de A ; por construcción, v /|| v || es un campo vectorial tangente unitario suave en S , lo cual es una contradicción.

La versión continua del teorema de la bola peluda ahora se puede usar para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer. Primero supongamos que n es par. Si existiera una automapa continua f sin puntos fijos de la bola unitaria cerrada B del espacio euclidiano n -dimensional V , definimos

${\displaystyle {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })=(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {f} }({\mathbf {x} }))\,{\mathbf {x} }-(1-{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {x} })\,{\mathbf {f} }({\mathbf {x} }).}$

Dado que f no tiene puntos fijos, se deduce que, para x en el interior de B , el vector w ( x ) es distinto de cero; y para x en S , el producto escalar x ⋅ w ( x ) = 1 – x ⋅ f ( x ) es estrictamente positivo. A partir del espacio euclidiano original de n dimensiones V , construya un nuevo espacio auxiliar de ( n + 1 ) dimensiones W = V x R , con coordenadas y = ( x , t ).

${\displaystyle {\mathbf {X} }({\mathbf {x} },t)=(-t\,{\mathbf {w} }({\mathbf {x} }),{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {w} }({\mathbf {x} })).}$

Por construcción, X es un campo vectorial continuo en la esfera unitaria de W , que satisface la condición de tangencia y ⋅ X ( y )  =  0. Además, X ( y ) no se anula en ningún punto (porque, si x tiene norma 1, entonces x ⋅ w ( x ) es distinto de cero; mientras que si x tiene norma estrictamente menor que 1, entonces t y w ( x ) son ambos distintos de cero). Esta contradicción demuestra el teorema del punto fijo cuando n es par. Para n impar, se puede aplicar el teorema del punto fijo a la bola unitaria cerrada B en n + 1 dimensiones y a la aplicación F ( x , y ) = ( f ( x ),0 ). La ventaja de esta demostración es que utiliza solo técnicas elementales; resultados más generales como el teorema de Borsuk-Ulam requieren herramientas de la topología algebraica . ^{[ 50 ]}

La demostración utiliza la observación de que el límite del n -disco D ⁿ es S ^{n −1} , la ( n − 1) -esfera .

Supongamos, por contradicción, que una función continua f  : D ⁿ → D ⁿ no tiene puntos fijos. Esto significa que, para cada punto x en D ⁿ , los puntos x y f ( x ) son distintos. Debido a que son distintos, para cada punto x en D ⁿ , podemos construir un único rayo desde f ( x ) hasta x y seguir el rayo hasta que interseca el límite S ^{n −1} (véase la ilustración). Llamando a este punto de intersección F ( x ), definimos una función F  : D ⁿ → S ^{n −1} que envía cada punto en el disco a su correspondiente punto de intersección en el límite. Como caso especial, siempre que x mismo esté en el límite, entonces el punto de intersección F ( x ) debe ser x .   

En consecuencia, F es un tipo especial de función continua conocida como retracción : cada punto del codominio (en este caso S n ^{−1 )} es un punto fijo de F.

Intuitivamente parece improbable que pueda haber una retracción de D ⁿ sobre S ^{n −1} , y en el caso n = 1, la imposibilidad es más básica, porque S ⁰ (es decir, los extremos del intervalo cerrado D ¹ ) ni siquiera es conexo. El caso n = 2 es menos obvio, pero puede demostrarse usando argumentos básicos que involucran los grupos fundamentales de los espacios respectivos: la retracción induciría un homomorfismo de grupo sobreyectivo del grupo fundamental de D ² al de S ¹ , pero este último grupo es isomorfo a Z mientras que el primer grupo es trivial, por lo que esto es imposible. El caso n = 2 también puede demostrarse por contradicción basado en un teorema sobre campos vectoriales no nulos .

Para n > 2, sin embargo, demostrar la imposibilidad de la retracción resulta más difícil. Una forma de hacerlo es recurrir a grupos de homología : la homología H _{n −1} ( D ⁿ ) es trivial, mientras que H _{n −1} ( S ^{n −1} ) es cíclica infinita . Esto demuestra que la retracción es imposible, ya que, de nuevo, la retracción induciría un homomorfismo de grupos inyectivo del segundo grupo al primero.

La imposibilidad de una retracción también puede demostrarse utilizando la cohomología de De Rham de subconjuntos abiertos del espacio euclidiano E ⁿ . Para n ≥ 2, la cohomología de De Rham de U = E ⁿ – (0) es unidimensional en grado 0 y n – 1, y se anula en los demás casos. Si existiera una retracción, entonces U tendría que ser contraíble y su cohomología de De Rham en grado n – 1 tendría que anularse, lo cual es una contradicción. ^{[ 51 ]}

Como en la demostración del teorema del punto fijo de Brouwer para mapas continuos usando homología, se reduce a demostrar que no hay retracción continua F de la bola B sobre su frontera ∂ B . En ese caso, se puede suponer que F es suave, ya que se puede aproximar usando el teorema de aproximación de Weierstrass o mediante convolución con funciones de bulto suaves no negativas de soporte suficientemente pequeño y entero uno (es decir, suavizando ). Si ω es una forma de volumen en la frontera, entonces por el teorema de Stokes ,

${\displaystyle 0<\int _{\partial B}\omega =\int _{\partial B}F^{*}(\omega )=\int _{B}dF^{*}(\omega )=\int _{B}F^{*}(d\omega )=\int _{B}F^{*}(0)=0,}$

dando una contradicción. ^{[ 52 ] [ 53 ]}

De forma más general, esto demuestra que no existe una retracción suave desde ninguna variedad compacta orientada suave no vacía M hacia su frontera. La demostración mediante el teorema de Stokes está estrechamente relacionada con la demostración mediante homología, ya que la forma ω genera el grupo de cohomología de De Rham H ^{n -1} (∂ M ) que es isomorfo al grupo de homología H _{n -1} (∂ M ) por el teorema de De Rham . ^{[ 54 ]}

El BFPT fue demostrado por Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz utilizando el lema de Sperner . Ahora presentamos un esquema de la demostración para el caso especial en el que f es una función del n - símplex estándar .${\displaystyle \Delta ^{n},}$a sí mismo, donde

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{P\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1{\text{ and }}P_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Por cada punto${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$también${\displaystyle f(P)\in \Delta ^{n}.}$Por lo tanto, la suma de sus coordenadas es igual:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{P_{i}}=1=\sum _{i=0}^{n}{f(P)_{i}}}$

Por lo tanto, por el principio del palomar , para cada${\displaystyle P\in \Delta ^{n},}$Debe haber un índice${\displaystyle j\in \{0,\ldots ,n\}}$de tal manera que el${\displaystyle j}$la coordenada de${\displaystyle P}$es mayor o igual que${\displaystyle j}$la coordenada de su imagen bajo f :

${\displaystyle P_{j}\geq f(P)_{j}.}$

Además, si${\displaystyle P}$se encuentra en una subcara k -dimensional de${\displaystyle \Delta ^{n},}$Entonces, por el mismo argumento, el índice${\displaystyle j}$se puede seleccionar entre las k + 1 coordenadas que no son cero en esta subcara.

Ahora utilizamos este hecho para construir una coloración de Sperner. Para cada triangulación de${\displaystyle \Delta ^{n},}$el color de cada vértice${\displaystyle P}$es un índice${\displaystyle j}$de tal manera que${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}.}$

Por construcción, se trata de una coloración de Sperner. Por lo tanto, según el lema de Sperner, existe un símplex n- dimensional cuyos vértices están coloreados con el conjunto completo de n + 1 colores disponibles.

Debido a que f es continua, este simplex puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo una triangulación arbitrariamente fina. Por lo tanto, debe haber un punto${\displaystyle P}$que satisface la condición de etiquetado en todas las coordenadas:${\displaystyle f(P)_{j}\leq P_{j}}$a pesar de${\displaystyle j.}$

Porque la suma de las coordenadas de${\displaystyle P}$y${\displaystyle f(P)}$deben ser iguales, todas estas desigualdades deben ser en realidad igualdades. Pero esto significa que:

${\displaystyle f(P)=P.}$

Eso es,${\displaystyle P}$es un punto fijo de${\displaystyle f.}$

También hay una demostración rápida, de Morris Hirsch , basada en la imposibilidad de una retracción diferenciable. Sea f una aplicación continua de la bola unitaria D ⁿ en el espacio euclidiano n-dimensional a sí misma y supongamos que f no fija ningún punto. Por continuidad y el hecho de que D ⁿ es compacto, se deduce que para algún ε > 0, ∥x - f (x)∥ > ε para todo x en D ⁿ . Entonces la aplicación f puede aproximarse mediante una aplicación suave que conserva la propiedad de no fijar un punto; esto puede hacerse utilizando el teorema de aproximación de Weierstrass o mediante convolución con funciones de bulto suaves . Entonces se define una retracción como la anterior enviando cada x al punto de ∂D ⁿ donde el único rayo de x que pasa por f (x) interseca ∂D ⁿ , y esto ahora debe ser una aplicación diferenciable. Según el teorema de Sard , dicha retracción debe tener un valor no singular p ∈ ∂D ⁿ , que también es no singular para la restricción al borde (que es simplemente la identidad). Por lo tanto, la imagen inversa f ^-1 (p) sería una 1-variedad compacta con borde. Dicho borde tendría que contener al menos dos extremos, y estos tendrían que estar en el borde de la bola original. Esto significaría que la imagen inversa de un punto en ∂D ⁿ contiene un punto diferente en ∂D ⁿ , lo que contradice la definición de una retracción D ⁿ → ∂D ⁿ . ^{[ 55 ]}

R. Bruce Kellogg, Tien-Yien Li y James A. Yorke convirtieron la demostración de Hirsch en una demostración computable al observar que la retracción está definida en todas partes excepto en los puntos fijos. ^{[ 56 ]} Para casi cualquier punto q en la frontera —suponiendo que no sea un punto fijo— la 1-variedad con frontera mencionada anteriormente existe y la única posibilidad es que conduzca de q a un punto fijo. Es una tarea numérica sencilla seguir tal camino de q al punto fijo, por lo que el método es esencialmente computable. ^{[ 57 ]} dieron una versión conceptualmente similar de seguimiento de caminos de la demostración de homotopía que se extiende a una amplia variedad de problemas relacionados.

Una variación de la demostración anterior no emplea el teorema de Sard y es la siguiente. Si${\displaystyle r\colon B\to \partial B}$es una retracción suave, se considera la deformación suave${\displaystyle g^{t}(x):=tr(x)+(1-t)x,}$y la función suave

${\displaystyle \varphi (t):=\int _{B}\det Dg^{t}(x)\,dx.}$

Al derivar bajo el signo de integral, no es difícil comprobar que φ ′ ( t ) = 0 para todo t , por lo que φ es una función constante, lo cual es una contradicción porque φ (0) es el volumen n- dimensional de la bola, mientras que φ (1) es cero. La idea geométrica es que φ ( t ) es el área orientada de g ^t ( B ) (es decir, la medida de Lebesgue de la imagen de la bola a través de g ^t , teniendo en cuenta la multiplicidad y la orientación), y debería permanecer constante (como es muy claro en el caso unidimensional). Por otro lado, a medida que el parámetro t pasa de 0 a 1, el mapa g ^t se transforma continuamente del mapa identidad de la bola a la retracción r , lo cual es una contradicción ya que el área orientada de la identidad coincide con el volumen de la bola, mientras que el área orientada de r es necesariamente 0, ya que su imagen es el límite de la bola, un conjunto de medida nula. ^{[ 58 ]}

Una demostración bastante diferente, presentada por David Gale, se basa en el juego de Hex . El teorema fundamental sobre Hex, demostrado por primera vez por John Nash, establece que ninguna partida de Hex puede terminar en empate; el primer jugador siempre tiene una estrategia ganadora (aunque este teorema no es constructivo y las estrategias explícitas no se han desarrollado completamente para tableros de dimensiones 10 x 10 o mayores). Esto resulta ser equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer para dimensión 2. Al considerar versiones n -dimensionales de Hex, se puede demostrar en general que el teorema de Brouwer es equivalente al teorema de determinabilidad para Hex. ^{[ 59 ]}

El teorema del punto fijo de Lefschetz establece que si una aplicación continua f de un complejo simplicial finito B en sí mismo tiene solo puntos fijos aislados, entonces el número de puntos fijos contados con multiplicidades (que pueden ser negativas) es igual al número de Lefschetz.

${\displaystyle \displaystyle \sum _{n}(-1)^{n}\operatorname {Tr} (f|H_{n}(B))}$

y en particular, si el número de Lefschetz es distinto de cero, entonces f debe tener un punto fijo. Si B es una bola (o, más generalmente, es contraíble), entonces el número de Lefschetz es uno porque el único grupo de homología simplicial distinto de cero es:${\displaystyle H_{0}(B)}$y f actúa como la identidad en este grupo, por lo que f tiene un punto fijo. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

En matemáticas inversas , el teorema de Brouwer se puede demostrar en el sistema WKL ₀ y, a la inversa, sobre el sistema base RCA _0. El teorema de Brouwer para un cuadrado implica el lema débil de Kőnig , por lo que esto da una descripción precisa de la fuerza del teorema de Brouwer.