Teorema del punto fijo de Schauder

El teorema del punto fijo de Schauder es una extensión del teorema del punto fijo de Brouwer a espacios vectoriales topológicos localmente convexos , que pueden ser de dimensión infinita. Afirma que si${\displaystyle K}$es un subconjunto cerrado convexo no vacío de un espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff${\displaystyle V}$y${\displaystyle f}$es un mapeo continuo de${\displaystyle K}$en sí mismo de tal manera que${\displaystyle f(K)}$está contenido en un subconjunto compacto de${\displaystyle K}$, entonces${\displaystyle f}$tiene un punto fijo .

Una consecuencia, denominada teorema del punto fijo de Schaefer , resulta particularmente útil para demostrar la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales . El teorema de Schaefer es, de hecho, un caso particular del trascendental teorema de Leray-Schauder , demostrado previamente por Juliusz Schauder y Jean Leray . El enunciado es el siguiente:

Dejar${\displaystyle f}$ser una aplicación continua y compacta de un espacio de Banach${\displaystyle X}$en sí mismo, de tal manera que el conjunto

${\displaystyle \{x\in X:x=\lambda f(x){\mbox{ para algún }}0\leq \lambda \leq 1\}}$

está delimitado. Entonces${\displaystyle f}$tiene un punto fijo. (Una aplicación compacta en este contexto es aquella para la cual la imagen de cada conjunto acotado es relativamente compacta ).

El teorema fue conjeturado y demostrado para casos especiales, como los espacios de Banach, por Juliusz Schauder en 1930. Su conjetura para el caso general se publicó en el libro escocés . En 1934, Tychonoff demostró el teorema para el caso en que K es un subconjunto convexo compacto de un espacio localmente convexo . Esta versión se conoce como el teorema del punto fijo de Schauder-Tychonoff . BV Singbal demostró el teorema para el caso más general en el que K puede no ser compacto; la demostración se puede encontrar en el apéndice del libro de Bonsall (véanse las referencias).

• Teoremas de punto fijo
• Teorema del punto fijo de Banach
• Teorema del punto fijo de Kakutani

• FF Bonsall, Lecciones sobre algunos teoremas de punto fijo del análisis funcional , Bombay, 1962
• D. Gilbarg, N. Trudinger , Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . ISBN 3-540-41160-7.
• H. Schaefer, Über die Methode der a priori-Schranken , Math. Ana. 129, 415–416 (1955), doi : 10.1007/BF01362380
• J. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen , Studia Math. 2 (1930), 171–180
• A. Tychonoff, Ein Fixpunktsatz , Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
• E. Zeidler, Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones, I - Teoremas de punto fijo

• "Teorema de Schauder" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Teorema del punto fijo de Schauder" . PlanetMath .
• "Demostración del teorema del punto fijo de Schauder" . PlanetMath ..