Matriz de bloques

En matemáticas , una matriz de bloques o una matriz particionada es una matriz que se interpreta como dividida en secciones llamadas bloques o submatrices . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Intuitivamente, una matriz interpretada como una matriz de bloques puede visualizarse como la matriz original con una colección de líneas horizontales y verticales que la dividen o la particionan en una colección de matrices más pequeñas. ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]} Por ejemplo, la matriz de 3×4 que se presenta a continuación está dividida por líneas horizontales y verticales en cuatro bloques: el bloque superior izquierdo de 2×3, el bloque superior derecho de 2×1, el bloque inferior izquierdo de 1×3 y el bloque inferior derecho de 1×1.

$\left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]$

Cualquier matriz puede interpretarse como una matriz de bloques de una o más maneras, y cada interpretación se define por cómo se dividen sus filas y columnas.

Esta noción se puede precisar más para un $n$ por $m$ matriz $M$ mediante partición $n$ en una colección ${\text{grupos de filas}}$ y luego particionando $m$ en una colección ${\text{colgroups}}$ . La matriz original se considera entonces como el "total" de estos grupos, en el sentido de que la $(i,j)$ una entrada de la matriz original se corresponde de forma uno a uno con alguna $(s,t)$ entrada compensada de algunos $(x,y)$ , dónde $x\in {\text{rowgroups}}$ y $y\in {\text{colgroups}}$ . ^{[ 4 ]}

El álgebra de matrices por bloques surge en general de biproductos en categorías de matrices. ^{[ 5 ]}

Una matriz de bloques de 168×168 elementos con submatrices de 12×12, 12×24, 24×12 y 24×24. Los elementos distintos de cero están en azul, los elementos cero están en gris.

Ejemplo

La matriz

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}$

puede visualizarse como dividido en cuatro bloques, como

$\mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right].$

Las líneas horizontales y verticales no tienen un significado matemático especial, ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} pero son una forma común de visualizar una partición. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Mediante esta partición, $P$ se divide en cuatro bloques de 2×2, como

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{11}&={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{12}&={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\\[1ex]\mathbf {P} _{21}&={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},&\mathbf {P} _{22}&={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

La matriz particionada se puede escribir entonces como ^{[ 8 ]}

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

Definición formal

Dejar $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ . Una partición de $A$ es una representación de $A$ en la forma

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}},$

dónde $A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}$ son submatrices contiguas, ${\textstyle \sum _{i=1}^{p}m_{i}=m}$ , y ${\textstyle \sum _{j=1}^{q}n_{j}=n}$ . ^{[ 9 ]} Los elementos $A_{ij}$ de la partición se denominan bloques . ^{[ 9 ]}

Según esta definición, los bloques de cualquier columna deben tener todos el mismo número de columnas. ^{[ 9 ]} De manera similar, los bloques de cualquier fila deben tener el mismo número de filas. ^{[ 9 ]}

Métodos de particionamiento

Una matriz puede particionarse de muchas maneras. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, una matriz $A$ Se dice que está particionado por columnas si se escribe como

$A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n}),$

dónde $a_{j}$ es el $j$ columna de $A$ . ^{[ 9 ]} Una matriz también puede particionarse por filas :

$A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}},$

dónde $a_{i}^{T}$ es el $i$ -fila de $A$ . ^{[ 9 ]}

particiones comunes

A menudo, ^{[ 9 ]} nos encontramos con la partición 2×2

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}},$

particularmente en la forma donde $A_{11}$ es un escalar: ^{[ 9 ]}

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}.$

Operaciones de matriz de bloques

Transponer

Dejar

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}$

dónde $A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}$ . (Esta matriz $A$ se reutilizará en § Suma y § Multiplicación .) Entonces su transpuesta es ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

$A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}},$

y la misma ecuación se mantiene reemplazando la transpuesta por la transpuesta conjugada. ^{[ 9 ]}

Transposición de bloques

También se puede definir una forma especial de transposición de matrices para matrices de bloques, donde los bloques individuales se reordenan pero no se transponen. $A=(B_{ij})$ ser un $k\times l$ matriz de bloques con $m\times n$ bloques $B_{ij}$ , la transpuesta en bloque de $A$ es el $l\times k$ matriz de bloques $A^{\mathcal {B}}$ con $m\times n$ bloques $\left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}$ . ^{[ 11 ]} Al igual que con el operador de traza convencional, la transposición de bloques es una aplicación lineal tal que $(A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}$ . ^{[ 10 ]} Sin embargo, en general la propiedad $(AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}$ no se sostiene a menos que los bloques de $A$ y $C$ desplazarse.

Suma

Dejar

$B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}},$

dónde $B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}$ y dejar $A$ sea la matriz definida en § Transpuesta . (Esta matriz $B$ se reutilizará en § Multiplicación .) Entonces si $p=r$ , $q=s$ , $k_{i}=m_{i}$ , y $\ell _{j}=n_{j}$ , entonces ^{[ 9 ]}

$A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}.$

Multiplicación

Es posible utilizar un producto matricial particionado por bloques que solo implica álgebra sobre submatrices de los factores. Sin embargo, la partición de los factores no es arbitraria y requiere " particiones conformes " ^{[ 12 ]} entre dos matrices. $A$ y $B$ de tal manera que se definan todos los productos de submatrices que se utilizarán. ^{[ 13 ]}

Dos matrices $A$ y $B$ Se dice que están particionados conformemente para el producto. $AB$ , cuando $A$ y $B$ se dividen en submatrices y si la multiplicación $AB$ se lleva a cabo tratando las submatrices como si fueran escalares, pero manteniendo el orden, y cuando se definen todos los productos y sumas de las submatrices involucradas.

— Arak M. Mathai y Hans J. Haubold, Álgebra lineal: un curso para físicos e ingenieros ^{[ 14 ]}

Dejar $A$ Sea la matriz definida en § Transpuesta , y sea $B$ Sea la matriz definida en § Adición . Entonces el producto de la matriz

$C=AB$

se puede realizar por bloques, lo que produce $C$ como un $(p\times s)$ matriz. Las matrices en la matriz resultante $C$ se calculan multiplicando: ^{[ 6 ]}

$C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.$

O bien, utilizando la notación de Einstein que implícitamente suma sobre índices repetidos:

$C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.$

Representando $C$ como matriz, tenemos ^{[ 9 ]}

$C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}.$

Inversión

Si una matriz se divide en cuatro bloques, se puede invertir bloque a bloque de la siguiente manera:

${\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\\-\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}CA^{-1}&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

donde A y D son bloques cuadrados de tamaño arbitrario, y B y C son compatibles con ellos para la partición. Además, A y el complemento de Schur de A en P : $P / A = D - CA -1 B$ deben ser invertibles. ^{[ 15 ]}

De forma equivalente, permutando los bloques: ^{[ 16 ]}

${\begin{aligned}P&={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}\\[1ex]&={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$

Aquí, D y el complemento de Schur de D en P : P / D = A − BD ⁻¹C deben ser invertibles.

Si A y D son ambos invertibles, entonces:

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&0\\0&\left(D-CA^{-1}B\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-BD^{-1}\\-CA^{-1}&I\end{bmatrix}}.$

Según la identidad de Weinstein-Aronszajn , una de las dos matrices en la matriz diagonal por bloques es invertible exactamente cuando la otra lo es. La inversión de la matriz por bloques también permite aprovechar la eficiencia de los algoritmos de multiplicación rápida de matrices , lo que permite realizar la inversión en tiempo $O({n^{\omega }})$ para $~2.37\leq \omega <3$ ^{[ 17 ]}^{, Sec. 11, págs. 413-414}.

Cálculo de inversas de submatrices a partir de la inversa completa

Debido a la simetría entre una matriz y su inversa en la fórmula de inversión por bloques, si una matriz P y su inversa P ⁻¹ se particionan conformemente:

$P={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}},\quad P^{-1}={\begin{bmatrix}{E}&{F}\\{G}&{H}\end{bmatrix}}$

Entonces, la inversa de cualquier submatriz principal se puede calcular a partir de los bloques correspondientes de P ⁻¹ :

${A}^{-1}={E}-{FH}^{-1}{G}$ ${D}^{-1}={H}-{GE}^{-1}{F}$

Esta relación se deriva del reconocimiento de que E ⁻¹ = A − BD ⁻¹C (el complemento de Schur) y de la aplicación de la misma fórmula de inversión de bloques con los roles de P y P ⁻¹ invertidos. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

Determinante

La fórmula para el determinante de un $2\times 2$ La matriz anterior sigue siendo válida, bajo supuestos adicionales apropiados, para una matriz compuesta por cuatro submatrices. $A,B,C,D$ con $A$ y $D$ cuadrado. La fórmula más sencilla de este tipo, que puede demostrarse utilizando la fórmula de Leibniz o una factorización que involucre el complemento de Schur , es ^{[ 16 ].} $\det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.$

Utilizando esta fórmula, podemos derivar que los polinomios característicos de ${\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}$ y ${\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}$ son iguales y equivalentes al producto de los polinomios característicos de $A$ y $D$ . Además, si ${\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}$ o ${\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}$ es diagonalizable , entonces $A$ y $D$ También son diagonalizables. Lo contrario es falso; simplemente compruébelo. ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$ .

Si $A$ es invertible , uno tiene ^{[ 16 ]}

$\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),$

y si $D$ es invertible, uno tiene ^{[ 20 ]}^{[ 16 ]}

$\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).$

Si los bloques son matrices cuadradas del mismo tamaño, se cumplen otras fórmulas. Por ejemplo, si $C$ y $D$ desplazamiento (es decir, $CD=DC$ ), entonces ^{[ 21 ]} $\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).$ Afirmaciones similares son válidas cuando $AB=BA$ , $AC=CA$ , o $BD=DB$ ⁠ . Es decir, si $AC=CA$ , entonces $\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-CB).$ Observe el cambio en el orden de $C$ y $B$ (tenemos $CB$ en lugar de $BC$ ). De manera similar, si $BD=DB$ , entonces $AD$ debe ser reemplazado por $DA$ (es decir, obtenemos $\det(DA-BC)$ ) y si $AB=BA$ , entonces deberíamos tener $\det(DA-CB)$ . Nota: para los dos últimos resultados, hay que usar la conmutatividad del anillo subyacente, pero no para los dos primeros.

Esta fórmula se ha generalizado a matrices compuestas por más de $2\times 2$ bloques, nuevamente bajo condiciones de conmutatividad apropiadas entre los bloques individuales. ^{[ 22 ]}

Para $A=D$ y $B=C$ , la siguiente fórmula se cumple (incluso si $A$ y $B$ no se desplazan diariamente) ^{[ 16 ]} $\det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).$

Tipos especiales de matrices de bloques

Sumas directas y matrices diagonales por bloques

Suma directa

Para cualesquiera matrices arbitrarias A (de tamaño m × n ) y B (de tamaño p × q ), tenemos la suma directa de A y B , denotada por A ⊕ B y definida como ^[¹⁰^].

${A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Por ejemplo,

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Esta operación se generaliza de forma natural a matrices de dimensiones arbitrarias (siempre que A y B tengan el mismo número de dimensiones).

Tenga en cuenta que cualquier elemento de la suma directa de dos espacios vectoriales de matrices puede representarse como una suma directa de dos matrices.

Matrices diagonales por bloques

Una matriz diagonal por bloques es una matriz por bloques que es una matriz cuadrada tal que los bloques de la diagonal principal son matrices cuadradas y todos los bloques fuera de la diagonal son matrices nulas. ^{[ 16 ]} Es decir, una matriz diagonal por bloques A tiene la forma

${A}={\begin{bmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{bmatrix}}$

donde A _k es una matriz cuadrada para todo k = 1, ..., n . En otras palabras, la matriz A es la suma directa de A ₁ , ..., A _n . ^{[ 16 ]} También se puede indicar como A ₁ ⊕ A ₂ ⊕ ... ⊕ A _n^[¹⁰^] o diag( A ₁ , A ₂ , ..., A _n ) ^[¹⁰^] (este último es el mismo formalismo utilizado para una matriz diagonal ). Cualquier matriz cuadrada puede considerarse trivialmente una matriz diagonal por bloques con un solo bloque.

Para el determinante y la traza , se cumplen las siguientes propiedades:

{\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}

^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} y

{\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}

^{[ 16 ]}^{[ 24 ]}

Una matriz diagonal por bloques es invertible si y solo si cada uno de sus bloques diagonales principales es invertible, y en este caso su inversa es otra matriz diagonal por bloques dada por ^{[ 25 ].} ${\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.$

Los valores propios ^{[ 26 ]} y los vectores propios de ${A}$ son simplemente los de la ${A}_{k}$ s combinados. ^{[ 24 ]}

Matrices tridiagonales por bloques

Una matriz tridiagonal por bloques es otra matriz por bloques especial, que al igual que la matriz diagonal por bloques es una matriz cuadrada , con matrices cuadradas (bloques) en la diagonal inferior, la diagonal principal y la diagonal superior, siendo todos los demás bloques matrices nulas. Esencialmente es una matriz tridiagonal , pero tiene submatrices en lugar de escalares. $A$ tiene la forma

${A}={\begin{bmatrix}B_{1}&C_{1}&&&\cdots &&0\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&A_{k}&B_{k}&C_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&A_{n-1}&B_{n-1}&C_{n-1}\\0&&\cdots &&&A_{n}&B_{n}\end{bmatrix}}$

dónde ${A}_{k}$ , ${B}_{k}$ y ${C}_{k}$ son submatrices cuadradas de la diagonal inferior, principal y superior respectivamente. ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}

Las matrices tridiagonales por bloques se encuentran frecuentemente en soluciones numéricas de problemas de ingeniería (por ejemplo, dinámica de fluidos computacional ). Existen métodos numéricos optimizados para la factorización LU ^{[ 29 ]} y, por lo tanto, algoritmos de solución eficientes para sistemas de ecuaciones con una matriz tridiagonal por bloques como matriz de coeficientes. El algoritmo de Thomas , utilizado para la solución eficiente de sistemas de ecuaciones que involucran una matriz tridiagonal, también puede aplicarse mediante operaciones matriciales a matrices tridiagonales por bloques (véase también Descomposición LU por bloques ).

Matrices triangulares de bloques

Un $n\times n$ matriz $A$ es triangular superior de bloque (o triangular superior de bloque ^{[ 30 ]} ) si hay enteros positivos $n_{1},\ldots ,n_{k}$ de tal manera que $n=n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}$ y $A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},$ donde la matriz $A_{ij}$ es $n_{i}\times n_{j}$ a pesar de $i,j=1,\ldots ,k$ . ^{[ 26 ]}^{[ 30 ]} De manera similar, $A$ es el bloque inferior triangular si $A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}},$ dónde $A_{ij}$ es $n_{i}\times n_{j}$ a pesar de $i,j=1,\ldots ,k$ . ^{[ 26 ]}

Matrices de Toeplitz de bloques

Una matriz de Toeplitz por bloques es otro tipo de matriz por bloques especial, que contiene bloques que se repiten a lo largo de las diagonales de la matriz, al igual que una matriz de Toeplitz tiene elementos repetidos a lo largo de la diagonal.

Una matriz $A$ es bloquear Toeplitz si $A_{(i,j)}=A_{(k,l)}$ a pesar de $k-i=l-j$ , eso es,

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},$

dónde $A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}$ . ^{[ 26 ]}

Matrices de Hankel por bloques

Una matriz $A$ es bloquear Hankel si $A_{(i,j)}=A_{(k,l)}$ a pesar de $i+j=k+l$ , eso es,

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},$