Operador de turno

El operador de desplazamiento T ^t (donde ⁠${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$) toma una función f en${\displaystyle \mathbb {R} }$a su traducción f _t ,

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

Una representación práctica del cálculo operacional del operador lineal T ^t en términos de la derivada simple .${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$Fue introducido por Lagrange ,

que puede interpretarse operacionalmente a través de su expansión formal de Taylor en t ; y cuya acción sobre el monomio x ⁿ es evidente por el teorema del binomio , y por lo tanto sobre todas las series en x , y así todas las funciones f ( x ) como se indicó anteriormente. ^{[ 3 ]} Esta es, entonces, una codificación formal de la expansión de Taylor en el cálculo de Heaviside.

El operador proporciona así el prototipo ^{[ 4 ]} para el célebre flujo advectivo de Lie para grupos abelianos ,

${\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

donde las coordenadas canónicas h ( funciones de Abel ) se definen de tal manera que

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

Por ejemplo, se deduce fácilmente que ${\displaystyle \beta (x)=x}$produce escalado,

${\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}$

por eso${\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}$(paridad); asimismo, ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$rinde ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}$rendimientos

${\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$rendimientos

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

etc.

La condición inicial del flujo y la propiedad del grupo determinan completamente todo el flujo de Lie, proporcionando una solución a la ecuación funcional de traslación ^{[ 6 ].}

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

El operador de desplazamiento a la izquierda actúa sobre una secuencia infinita unilateral de números mediante

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

y en secuencias infinitas de dos lados por

${\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

El operador de desplazamiento a la derecha actúa sobre una secuencia infinita unilateral de números mediante

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

y en secuencias infinitas de dos lados por

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

Los operadores de desplazamiento a la derecha y a la izquierda que actúan sobre secuencias infinitas de dos lados se denominan desplazamientos bilaterales . Un análogo de dimensión finita viene dado por las matrices de desplazamiento .

En general, como se ilustra arriba, si F es una función en un grupo abeliano G , y h es un elemento de G , el operador de desplazamiento T ^g mapea F a ^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

El operador de desplazamiento que actúa sobre secuencias de dos lados es un operador unitario sobre ⁠${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}$El operador de desplazamiento que actúa sobre funciones de una variable real es un operador unitario sobre${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$⁠

En ambos casos, el operador de desplazamiento (izquierda) satisface la siguiente relación de conmutación con la transformada de Fourier : $${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$ donde M ^t es el operador de multiplicación por exp( itx ) . Por lo tanto, el espectro de T ^t es el círculo unitario .

El desplazamiento unilateral S que actúa sobre${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}$⁠ es una isometría propia con rango igual a todos los vectores que se anulan en la primera coordenada . El operador S es una compresión de T ⁻¹ , en el sentido de que $${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$ donde y es el vector en${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}$con y i = _x i para _i ≥ 0 y y _i = 0 para i < 0. Esta observación es fundamental para la construcción de muchas dilataciones unitarias de isometrías.

El espectro de S es el disco unitario . El desplazamiento S es un ejemplo de operador de Fredholm ; tiene índice de Fredholm  −1.