Matriz de desplazamiento

En matemáticas , una matriz de desplazamiento es una matriz binaria con unos solo en la superdiagonal o subdiagonal , y ceros en el resto. Una matriz de desplazamiento U con unos en la superdiagonal es una matriz de desplazamiento superior . La matriz subdiagonal alternativa L se conoce, como era de esperar, como una matriz de desplazamiento inferior . El componente ( i , j ) de U y L son:

${\displaystyle U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},}$

dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es el símbolo del delta de Kronecker .

Por ejemplo, las matrices de desplazamiento de 5 × 5 son

${\displaystyle U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Evidentemente, la transpuesta de una matriz de desplazamiento inferior es una matriz de desplazamiento superior y viceversa.

Como transformación lineal , una matriz de desplazamiento inferior desplaza los componentes de un vector columna una posición hacia abajo, apareciendo un cero en la primera posición. Una matriz de desplazamiento superior desplaza los componentes de un vector columna una posición hacia arriba, apareciendo un cero en la última posición. ^{[ 1 ]}

La premultiplicación de una matriz A por una matriz de desplazamiento inferior provoca que los elementos de A se desplacen una posición hacia abajo, apareciendo ceros en la fila superior. La postmultiplicación por una matriz de desplazamiento inferior produce un desplazamiento hacia la izquierda. Operaciones similares que involucren una matriz de desplazamiento superior producen el desplazamiento opuesto.

Claramente, todas las matrices de desplazamiento de dimensión finita son nilpotentes ; una matriz de desplazamiento S de n × n se convierte en la matriz cero cuando se eleva a la potencia de su dimensión n .

Las matrices de desplazamiento actúan sobre espacios de desplazamiento . Las matrices de desplazamiento de dimensión infinita son particularmente importantes para el estudio de sistemas ergódicos . Ejemplos importantes de desplazamientos de dimensión infinita son el desplazamiento de Bernoulli , que actúa como un desplazamiento en el espacio de Cantor , y el mapa de Gauss , que actúa como un desplazamiento en el espacio de fracciones continuas (es decir, en el espacio de Baire ).

Sean L y U las matrices de desplazamiento inferior y superior de n × n , respectivamente. Las siguientes propiedades se cumplen tanto para U como para L. Por lo tanto, enumeraremos solo las propiedades de U :

• det ( U ) = 0
• tr ( U ) = 0
• rango ( U ) = n − 1
• Los polinomios característicos de U son

  ${\displaystyle p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.}$

• U ⁿ = 0. Esto se deduce de la propiedad anterior según el teorema de Cayley-Hamilton .
• El permanente de U es 0.

Las siguientes propiedades muestran cómo se relacionan U y L :

Si N es cualquier matriz nilpotente, entonces N es similar a una matriz diagonal por bloques de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{pmatrix}}}$

donde cada uno de los bloques S ₁ , S ₂ , ..., S _r es una matriz de desplazamiento (posiblemente de diferentes tamaños). ^{[ 2 ] [ 3 ]}   

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}};\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.}$

Entonces,

${\displaystyle SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix}};\quad AS={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.}$

Claramente hay muchas permutaciones posibles . Por ejemplo,${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS}$es igual a la matriz A desplazada hacia arriba y hacia la izquierda a lo largo de la diagonal principal.

${\displaystyle S^{\mathsf {T}}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

• Matrices de reloj y de desplazamiento
• Matriz nilpotente
• Subdesplazamiento de tipo finito
• Operador de turno unilateral

• Matriz de cambios - entrada en el Manual de referencia de la matriz