Dilatación (teoría de operadores)

En la teoría de operadores , una dilatación de un operador es la presentación de un operador como una compresión de otro operador que funciona bajo un comportamiento de operador adecuado. ^{[ 1 ]}

T en un espacio de Hilbert H es un operador en un espacio de Hilbert mayor K , cuya restricción a H compuesta con la proyección ortogonal sobre H es T. ^{[ 2} ] Con una contracción de espacio de Hilbert, existe lo que se denomina la dilatación unitaria mínima determinada de forma única, ^{[ 3 ]} que se demuestra en la sección de Aplicaciones a continuación. Más formalmente, sea ^T un operador acotado en algún espacio de Hilbert H , y H un subespacio de un espacio de Hilbert mayor H' . Un operador acotado V en H' es una dilatación de T si

${\displaystyle P_{H}\;V|_{H}=T}$

dónde${\displaystyle P_{H}}$es una proyección ortogonal sobre H.

Se dice que V es una dilatación unitaria (respectivamente, normal, isométrica, etc.) si V es unitaria (respectivamente, normal, isométrica, etc.). Se dice que T es una compresión de V. Si un operador T tiene un conjunto espectral${\displaystyle X}$, decimos que V es una dilatación de límite normal o una dilatación normal${\displaystyle \partial X}$dilatación si V es una dilatación normal de T y${\displaystyle \sigma (V)\subseteq \partial X}$.

Algunos textos imponen una condición adicional. A saber, que una dilatación satisfaga la siguiente propiedad (de cálculo):

${\displaystyle P_{H}\;f(V)|_{H}=f(T)}$

donde f(T) es algún cálculo funcional específico (por ejemplo, el cálculo polinomial o H ^∞ ). La utilidad de una dilatación es que permite "elevar" objetos asociados a T al nivel de V , donde los objetos elevados pueden tener propiedades más favorables. Véase, por ejemplo, el teorema de elevación conmutativa .

Podemos demostrar que toda contracción en espacios de Hilbert tiene una dilatación unitaria. Una posible construcción de esta dilatación es la siguiente. Para una contracción T , el operador

${\displaystyle D_{T}=(IT^{*}T)^{\frac {1}{2}}}$

es positivo, donde se utiliza el cálculo funcional continuo para definir la raíz cuadrada . El operador D _T se llama operador de defecto de T. Sea V el operador en

${\displaystyle H\oplus H}$

definido por la matriz

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}T&D_{T^{*}}\\\ D_{T}&-T^{*}\end{bmatrix}}.}$

V es claramente una dilatación de T. Además, T ( I - T*T ) = ( I - TT* ) T y un argumento de límite ^{[ 4 ]} implican

${\displaystyle TD_{T}=D_{T^{*}}T.}$

Utilizando esto, se puede demostrar, mediante un cálculo directo, que V es unitario, por lo tanto , una dilatación unitaria de T. Este operador V a veces se denomina operador de Julia de T.

Nótese que cuando T es un escalar real, por ejemplo${\displaystyle T=\cos \theta }$, tenemos

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\ \sin \theta &-\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

que es simplemente la matriz unitaria que describe la rotación por θ. Por esta razón, el operador de Julia V(T) a veces se denomina rotación elemental de T.

Aquí observamos que en la discusión anterior no hemos requerido la propiedad del cálculo para una dilatación. De hecho, el cálculo directo muestra que el operador de Julia no es una dilatación de "grado 2" en general, es decir, no tiene por qué ser cierto que

${\displaystyle T^{2}=P_{H}\;V^{2}|_{H}}$.

Sin embargo, también se puede demostrar que cualquier contracción tiene una dilatación unitaria que sí posee la propiedad del cálculo mencionada anteriormente. Este es el teorema de dilatación de Sz.-Nagy . De manera más general, si${\displaystyle {\mathcal {R}}(X)}$es un álgebra de Dirichlet , cualquier operador T con${\displaystyle X}$como un conjunto espectral tendrá una normal${\displaystyle \partial X}$dilatación con esta propiedad. Esto generaliza el teorema de dilatación de Sz.-Nagy, ya que todas las contracciones tienen el disco unitario como conjunto espectral.