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Esquema clave

En matemáticas, el esquema de Askey es una forma de organizar polinomios ortogonales de tipo hipergeométrico o hipergeométrico básico en una jerarquía. Para los polinomios ortog...

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En matemáticas, el esquema de Askey es una forma de organizar polinomios ortogonales de tipo hipergeométrico o hipergeométrico básico en una jerarquía. Para los polinomios ortogonales clásicos discutidos en Andrews y Askey (1985) , [ 1 ] el esquema de Askey fue dibujado por primera vez por Labelle (1985) [ 2 ] y por Askey y Wilson ( 1985 ) , [ 3 ] y desde entonces ha sido extendido por Koekoek y Swarttouw (1998) [ 4 ] y Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010) [ 5 ] para cubrir polinomios ortogonales básicos. 

Un esquema clave para polinomios ortogonales hipergeométricos

Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010) [ 6 ] dan la siguiente versión del esquema Askey:

4F3(4){\displaystyle {}_{4}F_{3}(4)}
Wilson | Racah
3F2(3){\displaystyle {}_{3}F_{2}(3)}
Hahn doble continuo | Hahn continuo | Hahn | Hahn doble
2F1(2){\displaystyle {}_{2}F_{1}(2)}
Meixner–Pollaczek | Jacobi | Pseudo Jacobi | Meixner | Krawtchouk
2F0(1)  /  1F1(1){\displaystyle {}_{2}F_{0}(1)\ \ /\ \ {}_{1}F_{1}(1)}
Laguerre | Bessel | Charlier
2F0(0){\displaystyle {}_{2}F_{0}(0)}
Ermitaño

AquípagFq(norte){\displaystyle {}_{p}F_{q}(n)}indica una representación de serie hipergeométrica connorte{\displaystyle n}parámetros

Un esquema clave para polinomios ortogonales hipergeométricos básicos

Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010) [ 7 ] dan el siguiente esquema para polinomios ortogonales hipergeométricos básicos:

4ϕ{\displaystyle \phi }3
Askey–Wilson | q-Racah
3ϕ{\displaystyle \phi }2
q-Hahn dual continuo | q-Hahn continuo | q-Jacobi grande | q-Hahn | q-Hahn dual
2ϕ{\displaystyle \phi }1
Al-Salam-Chihara | q-Meixner–Pollaczek | Continuo q-Jacobi | Gran q-Laguerre | Pequeño q-Jacobi | q-Meixner | Q-Krawtchouk cuántico | q-Krawtchouk | Afín q-Krawtchouk | Doble q-Krawtchouk
2ϕ{\displaystyle \phi }0 / 1ϕ{\displaystyle \phi }1
q-Hermite grande continuo | q-Laguerre continuo | q- Laguerre pequeño | q-Laguerre | q-Bessel | q-Charlier | Al-Salam–Carlitz I | Al-Salam–Carlitz II
1ϕ{\displaystyle \phi }0
q-Hermite continuo | Stieltjes–Wigert | q-Hermite discreto I | q-Hermite discreto II

Lo completo

Aunque existen varios enfoques para construir familias aún más generales de polinomios ortogonales, por lo general no es posible extender el esquema de Askey reutilizando funciones hipergeométricas de la misma forma. Por ejemplo, uno podría esperar ingenuamente encontrar nuevos ejemplos dados por

pagnorte(incógnita)=q+1Fq(−norte,norte+μ,a1(incógnita),…,aq−1(incógnita)b1,…,bq;1){\displaystyle p_{n}(x)={}_{q+1}F_{q}\left({\begin{array}{c}-n,n+\mu ,a_{1}(x),\dots ,a_{q-1}(x)\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};1\right)}

arribaq=3{\displaystyle q=3}que corresponde a los polinomios de Wilson. Esto fue descartado en Cheikh, Lamiri y Ouni (2009) [ 8 ] bajo el supuesto de que elai(incógnita){\displaystyle a_{i}(x)}son polinomios de grado 1 tales que

∏i=1q−1(ai(incógnita)+r)=∏i=1q−1ai(incógnita)+π(r){\displaystyle \prod _{i=1}^{q-1}(a_{i}(x)+r)=\prod _{i=1}^{q-1}a_{i}(x)+\pi (r)}

para algún polinomioπ(r){\displaystyle \pi (r)}.

Referencias

  1. ↑ Andrews, George E.; Askey, Richard (1985), "Polinomios ortogonales clásicos", en Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alphonse P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.), Polynômes orthogonaux et applications. Actas del simposio de Laguerre celebrado en Bar-le-Duc, del 15 al 18 de octubre de 1984. , Lecture Notes in Math., vol.  1171, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 36– 62, doi : 10.1007/BFb0076530 , ISBN  978-3-540-16059-5, MR 0838970 
  2. ^ Labelle, Jacques (1985), "Tableau d'Askey", en Brezinski, C.; Draux, A.; Magnus, Alfonso P.; Maroni, Pascal; Ronveaux, A. (eds.), Polynômes Orthogonaux et Applications. Actas del Simposio de Laguerre celebrado en Bar-le-Duc , Lecture Notes in Math., vol. 1171, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xxxvi– xxxvii, doi : 10.1007/BFb0076527 , ISBN   978-3-540-16059-5, MR 0838967 
  3. ↑ Askey, Richard; Wilson, James (1985), "Algunos polinomios ortogonales hipergeométricos básicos que generalizan los polinomios de Jacobi" , Memoirs of the American Mathematical Society , vol. 54, pp. iv+55, doi : 10.1090/memo/0319 , ISBN   978-0-8218-2321-7ISSN 0065-9266 , MR 0783216​  
  4. ↑ Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (1998), El esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos y su análogo q , vol. 98–17 , Universidad Tecnológica de Delft, Facultad de Tecnologías de la Información y Sistemas, Departamento de Matemáticas Técnicas e Informática 
  5. ^ Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 413, doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN  978-3-642-05013-8, MR 2656096 
  6. ^ Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010 , p.183)
  7. ^ Koekoek, Lesky y Swarttouw (2010 , p.413)
  8. ↑ Cheikh, Y. Ben; Lamiri, I.; Ouni, A. (2009), "Sobre el esquema Askey y la d-ortogonalidad, I: Un teorema de caracterización", Journal of Computational and Applied Mathematics , 233 : 621–629

Lecturas adicionales

  • Koornwinder, Tom H. (1988), "Interpretaciones de teoría de grupos del esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos", Polinomios ortogonales y sus aplicaciones (Segovia, 1986) , Lecture Notes in Math., vol.  1329, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 46–72 , doi : 10.1007/BFb0083353 , ISBN  978-3-540-19489-7, MR 0973421