Polinomios de Racah

En matemáticas , los polinomios de Racah son polinomios ortogonales que reciben su nombre de Giulio Racah , ya que sus relaciones de ortogonalidad son equivalentes a sus relaciones de ortogonalidad para los coeficientes de Racah .

Los polinomios de Racah fueron definidos por primera vez por Wilson (1978) ^{[ 1 ]} y están dados por

${\displaystyle p_{n}(x(x+\gamma +\delta +1))={}_{4}F_{3}\left[{\begin{matrix}-n&n+\alpha +\beta +1&-x&x+\gamma +\delta +1\\\alpha +1&\gamma +1&\beta +\delta +1\\\end{matrix}};1\right].}$

${\displaystyle \sum _{y=0}^{N}\operatorname {R} _{n}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{m}(x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\frac {\gamma +\delta +1+2y}{\gamma +\delta +1+y}}\omega _{y}=h_{n}\operatorname {\delta } _{n,m},}$^{[ 2 ]}

cuando${\displaystyle \alpha +1=-N}$,

dónde${\displaystyle \operatorname {R} }$es el polinomio de Racah,

${\displaystyle x=y(y+\gamma +\delta +1),}$

${\displaystyle \operatorname {\delta } _{n,m}}$es la función delta de Kronecker y las funciones de peso son

${\displaystyle \omega _{y}={\frac {(\alpha +1)_{y}(\beta +\delta +1)_{y}(\gamma +1)_{y}(\gamma +\delta +2)_{y}}{(-\alpha +\gamma +\delta +1)_{y}(-\beta +\gamma +1)_{y}(\delta +1)_{y}y!}},}$

y

${\displaystyle h_{n}={\frac {(-\beta )_{N}(\gamma +\delta +1)_{N}}{(-\beta +\gamma +1)_{N}(\delta +1)_{N}}}{\frac {(n+\alpha +\beta +1)_{n}n!}{(\alpha +\beta +2)_{2n}}}{\frac {(\alpha +\delta -\gamma +1)_{n}(\alpha -\delta +1)_{n}(\beta +1)_{n}}{(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}},}$

${\displaystyle (\cdot )_{n}}$es el símbolo de Pochhammer .

${\displaystyle \omega (x;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(\gamma +\delta +1)_{n}{\frac {\nabla ^{n}}{\nabla \lambda (x)^{n}}}\omega (x;\alfa +n,\beta +n,\gamma +n,\delta),}$^{[ 3 ]}

dónde${\displaystyle \nabla }$es el operador de diferencia hacia atrás ,

${\displaystyle \lambda (x)=x(x+\gamma +\delta +1).}$

Hay tres funciones generadoras para${\displaystyle x\in \{0,1,2,...,N\}}$

cuando${\displaystyle \beta +\delta +1=-N\quad }$o${\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\alpha -\gamma -\delta$ ;\alpha +1;t){}_{2}F_{1}(x+\beta +\delta +1,x+\gamma +1;\beta +1;t)}

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\beta +\delta +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\beta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},}$

cuando${\displaystyle \alpha +1=-N\quad }$o${\displaystyle \quad \gamma +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x+\beta -\gamma$ ;\beta +\delta +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1,x+\gamma +1;\alpha -\delta +1;t)}

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\gamma +1)_{n}}{(\alpha -\delta +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n},}$

cuando${\displaystyle \alpha +1=-N\quad }$o${\displaystyle \quad \beta +\delta +1=-N,}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-x,-x-\delta$ ;\gamma +1;t){}_{2}F_{1}(x+\alpha +1;x+\beta +\gamma +1;\alpha +\beta -\gamma +1;t)}

${\displaystyle \quad =\sum _{n=0}^{N}{\frac {(\alpha +1)_{n}(\beta +\delta +1)_{n}}{(\alpha +\beta -\gamma +1)_{n}n!}}\operatorname {R} _{n}(\lambda (x);\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )t^{n}.}$

Cuando${\displaystyle \alpha =a+b-1,\beta =c+d-1,\gamma =a+d-1,\delta =ad,x\rightarrow -a+ix,}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{n}(\lambda (-a+ix);a+b-1,c+d-1,a+d-1,ad)={\frac {\operatorname {W} _{n}(x^{2};a,b,c,d)}{(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}}},}$

dónde${\displaystyle \operatorname {W} }$son polinomios de Wilson.

Askey y Wilson (1979) introdujeron los polinomios q -Racah definidos en términos de funciones hipergeométricas básicas por ^{[ 4 ].}

${\displaystyle p_{n}(q^{-x}+q^{x+1}cd;a,b,c,d;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&q^{x+1}cd\\aq&bdq&cq\\\end{matrix}};q;q\right].}$

A veces se les dan con cambios de variables como

${\displaystyle W_{n}(x;a,b,c,N;q)={}_{4}\phi _{3}\left[{\begin{matrix}q^{-n}&abq^{n+1}&q^{-x}&cq^{xn}\\aq&bcq&q^{-N}\\\end{matrix}};q;q\right].}$