Polinomios de Hahn continuos

En matemáticas, los polinomios continuos de Hahn son una familia de polinomios ortogonales en el esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos. Se definen en términos de funciones hipergeométricas generalizadas mediante

${\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky y René F. Swarttouw ( 2010 , 14) dan una lista detallada de sus propiedades. 

Entre los polinomios estrechamente relacionados se incluyen los polinomios duales de Hahn R _n ( x ;γ,δ, N ), los polinomios de Hahn Q _n ( x ; a , b , c ) y los polinomios duales continuos de Hahn S _n ( x ; a , b , c ). Todos estos polinomios tienen análogos q con un parámetro adicional q , como los polinomios q-Hahn Q _n ( x ;α,β, N ; q ), y así sucesivamente.

Los polinomios continuos de Hahn p _n ( x ; a , b , c , d ) son ortogonales con respecto a la función de peso.

${\displaystyle w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix).}$

En particular, satisfacen la relación de ortogonalidad ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}}$

para${\displaystyle \Re (a)>0}$,${\displaystyle \Re (b)>0}$,${\displaystyle \Re (c)>0}$,${\displaystyle \Re (d)>0}$,${\displaystyle c={\overline {a}}}$,${\displaystyle d={\overline {b}}}$.

La secuencia de polinomios de Hahn continuos satisface la relación de recurrencia ^{[ 4 ].}

${\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{where}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{and}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}$

Los polinomios de Hahn continuos vienen dados por la fórmula tipo Rodrigues ^{[ 5 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}}$

Los polinomios de Hahn continuos tienen la siguiente función generadora: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Una segunda función generadora distinta viene dada por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}$

• Los polinomios de Wilson son una generalización de los polinomios continuos de Hahn.
• Los polinomios de Bateman F _n (x) están relacionados con el caso especial a = b = c = d = 1/2 de los polinomios continuos de Hahn mediante

${\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}$

• Los polinomios de Jacobi P _n ^(α,β) (x) se pueden obtener como un caso límite de los polinomios continuos de Hahn: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}$

• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten , 2 : 4– 34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN 0025-584X , MR 0030647  
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096 
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase Hahn: Definiciones" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
• Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones 71, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-62321-6