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Articulo de referencia

Polinomios de Bateman

En matemáticas, los polinomios de Bateman son una familia F n de polinomios ortogonales introducida por Harry Bateman ( 1933 ) . Los polinomios de Bateman-Pasternack son una gen...

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En matemáticas, los polinomios de Bateman son una familia F n de polinomios ortogonales introducida por Harry Bateman ( 1933 ) . Los polinomios de Bateman-Pasternack son una generalización introducida por Simon Pasternack ( 1939 ) .  

Los polinomios de Bateman se pueden definir mediante la relación

Fnorte(ddincógnita)sech⁡(incógnita)=sech⁡(incógnita)PAGnorte(tanh⁡(incógnita)).{\displaystyle F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} (x)=\operatorname {sech} (x)P_{n}(\tanh(x)).}

donde P n es un polinomio de Legendre . En términos de funciones hipergeométricas generalizadas , están dadas por

Fnorte(incógnita)=3F2(−norte, norte+1, 12(incógnita+1)1, 1;1).{\displaystyle F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).}

Pasternack (1939) generalizó los polinomios de Bateman a polinomios F m n con

Fnortemetro(ddincógnita)sechmetro+1⁡(incógnita)=sechmetro+1⁡(incógnita)PAGnorte(tanh⁡(incógnita)){\displaystyle F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\operatorname {sech} ^{m+1}(x)=\operatorname {sech} ^{m+1}(x)P_{n}(\tanh(x))}

Estos polinomios generalizados también tienen una representación en términos de funciones hipergeométricas generalizadas, a saber:

Fnortemetro(incógnita)=3F2(−norte, norte+1, 12(incógnita+metro+1)1, metro+1;1).{\displaystyle F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).}

Carlitz (1957) demostró que los polinomios Q n estudiados por Touchard (1956) , véase Polinomios de Touchard , son los mismos que los polinomios de Bateman salvo un cambio de variable: más precisamente

Qnorte(incógnita)=(−1)norte2nortenorte¡(2nortenorte)−1Fnorte(2incógnita+1){\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1)}

Los polinomios de Bateman y Pasternack son casos especiales de los polinomios continuos simétricos de Hahn .

Ejemplos

Los polinomios de n pequeño se leen

F0(incógnita)=1{\displaystyle F_{0}(x)=1};
F1(incógnita)=−incógnita{\displaystyle F_{1}(x)=-x};
F2(incógnita)=14+34incógnita2{\displaystyle F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}};
F3(incógnita)=−712incógnita−512incógnita3{\displaystyle F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}};
F4(incógnita)=964+6596incógnita2+35192incógnita4{\displaystyle F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}};
F5(incógnita)=−407960incógnita−4996incógnita3−21320incógnita5{\displaystyle F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}};

Propiedades

Ortogonalidad

Los polinomios de Bateman satisfacen la relación de ortogonalidad [ 1 ] [ 2 ]

∫−∞∞Fmetro(iincógnita)Fnorte(iincógnita)sech2⁡(πincógnita2)dincógnita=4(−1)norteπ(2norte+1)δmetronorte.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}

El factor(−1)norte{\displaystyle (-1)^{n}}aparece en el lado derecho de esta ecuación porque los polinomios de Bateman, tal como se definen aquí, deben escalarse por un factor.inorte{\displaystyle i^{n}}para que sigan siendo de valor real para argumentos imaginarios. La relación de ortogonalidad es más simple cuando se expresa en términos de un conjunto modificado de polinomios definidos porBnorte(incógnita)=inorteFnorte(iincógnita){\displaystyle B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)}, por lo cual se convierte en

∫−∞∞Bmetro(incógnita)Bnorte(incógnita)sech2⁡(πincógnita2)dincógnita=4π(2norte+1)δmetronorte.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}

Relación de recurrencia

La secuencia de polinomios de Bateman satisface la relación de recurrencia [ 3 ].

(norte+1)2Fnorte+1(z)=−(2norte+1)zFnorte(z)+norte2Fnorte−1(z).{\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).}

Función generadora

Los polinomios de Bateman también tienen la función generatriz

∑norte=0∞tnorteFnorte(z)=(1−t)z2F1(1+z2,1+z2;1;t2),{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),}

que a veces se utiliza para definirlos. [ 4 ]

Referencias

  1. ↑ Koelink (1996)
  2. ↑ Bateman, H. (1934), "El polinomioFnorte(incógnita){\displaystyle F_{n}(x)}" , Ann. Matemáticas. 35 (4): 767-775.
  3. ↑ Bateman (1933), pág. 28.
  4. ↑ Bateman (1933), pág. 23.
  • Al-Salam, Nadhla A. (1967). "Una clase de polinomios hipergeométricos" . Ann. Mat. Pura Appl . 75 (1): 95–120 . doi : 10.1007/BF02416800 .
  • Bateman, H. (1933), "Algunas propiedades de un cierto conjunto de polinomios." , Tôhoku Mathematical Journal , 37 : 23–38 , JFM 59.0364.02 
  • Carlitz, Leonard (1957), "Algunos polinomios de Touchard relacionados con los números de Bernoulli", Canadian Journal of Mathematics , 9 : 188–190 , doi : 10.4153/CJM-1957-021-9 , ISSN 0008-414X , MR 0085361  
  • Koelink, HT (1996), "Sobre los polinomios de Jacobi y Hahn continuos", Actas de la Sociedad Matemática Americana , 124 (3): 887– 898, arXiv : math/9409230 , doi : 10.1090/S0002-9939-96-03190-5 , ISSN 0002-9939 , MR 1307541  
  • Pasternack, Simon (1939), "Una generalización del polinomio F n (x)", London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science , 28 (187): 209– 226, doi : 10.1080/14786443908521175 , MR 0000698 
  • Touchard, Jacques (1956), "Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli", Canadian Journal of Mathematics , 8 : 305– 320, doi : 10.4153/cjm-1956-034-1 , ISSN 0008-414X , MR 0079021