Polinomios de Hahn

En matemáticas, los polinomios de Hahn son una familia de polinomios ortogonales del esquema de Askey de polinomios ortogonales hipergeométricos, introducidos por Pafnuty Chebyshev en 1875 ( Chebyshev 1907 ) y redescubiertos por Wolfgang Hahn ( Hahn 1949 ) . La clase de Hahn es un nombre para casos especiales de polinomios de Hahn, incluidos los polinomios de Hahn, Meixner , Krawtchouk y Charlier . A veces, se considera que la clase de Hahn incluye casos límite de estos polinomios, en cuyo caso también incluye los polinomios ortogonales clásicos .

Los polinomios de Hahn se definen en términos de funciones hipergeométricas generalizadas mediante

${\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+\alpha +\beta +1;\alpha +1,-N+1;1).\ }$

Roelof Koekoek, Peter A. Lesky y René F. Swarttouw ( 2010 , 14) dan una lista detallada de sus propiedades. 

Si${\displaystyle \alpha =\beta =0}$Estos polinomios son idénticos a los polinomios discretos de Chebyshev , excepto por un factor de escala.

Entre los polinomios estrechamente relacionados se incluyen los polinomios duales de Hahn R _n ( x ;γ,δ, N ), los polinomios continuos de Hahn p _n ( x , a , b , a , b ) y los polinomios duales continuos de Hahn S _n ( x ; a , b , c ). Todos estos polinomios tienen análogos q con un parámetro adicional q , como los polinomios q-Hahn Q _n ( x ;α,β, N ; q ), y así sucesivamente.

${\displaystyle \sum _{x=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{m}(x)\rho (x)={\frac {1}{\pi _{n}}}\delta _{m,n},}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Q_{n}(x)Q_{n}(y)\pi _{n}={\frac {1}{\rho (x)}}\delta _{x,y}}$

donde δ _x,y es la función delta de Kronecker y las funciones de ponderación son

${\displaystyle \rho (x)=\rho (x;\alpha$ ;\beta ,N)={\binom {\alpha +x}{x}}{\binom {\beta +N-1-x}{N-1-x}}/{\binom {N+\alpha +\beta }{N-1}}}

y

${\displaystyle \pi _{n}=\pi _{n}(\alpha ,\beta ,N)={\binom {N-1}{n}}{\frac {2n+\alpha +\beta +1}{\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (\beta +1,n+\alpha +1,n+\alpha +\beta +1)}{\Gamma (\alpha +1,\alpha +\beta +1,n+\beta +1,n+1)}}/{\binom {N+\alpha +\beta +n}{n}}}$.

• Los polinomios de Racah son una generalización de los polinomios de Hahn.

• Chebyshev, P. (1907), "Sur l'interpolation des valeurs équidistantes", en Markoff, A.; Sonin, N. (eds.), Oeuvres de PL Tchebychef , vol.  2, págs. 219–242 , reimpreso por Chelsea 
• Hahn, Wolfgang (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten , 2 : 4– 34, doi : 10.1002/mana.19490020103 , ISSN 0025-584X , MR 0030647  
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. (2010), Polinomios ortogonales hipergeométricos y sus q-análogos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3-642-05013-8, MR 2656096 
• Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Clase Hahn: Definiciones" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .