media geométrica

La media geométrica también puede expresarse como la exponencial de la media aritmética de logaritmos. ^{[ 4 ]} Al utilizar identidades logarítmicas para transformar la fórmula, las multiplicaciones pueden expresarse como una suma y la potencia como una multiplicación:

Cuando${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}$$${\displaystyle {\biggl (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{\frac {1}{n}}=\exp {\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}{\biggr )},}$$ desde $${\displaystyle \textstyle {\vphantom {\Big |}}\ln {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}={\frac {1}{n}}\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})={\frac {1}{n}}(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}).}$$

A veces se le llama promedio logarítmico (que no debe confundirse con el promedio logarítmico ). Es simplemente la media aritmética de los valores transformados logarítmicamente de${\displaystyle a_{i}}$(es decir, la media aritmética en la escala logarítmica), utilizando la exponenciación para volver a la escala original, es decir, es la media f generalizada con${\displaystyle f(x)=\log x}$. Se puede utilizar un logaritmo de cualquier base en lugar del logaritmo natural. Por ejemplo, la media geométrica de ⁠${\displaystyle 1}$,​​${\displaystyle 2}$,​​${\displaystyle 8}$y​​${\displaystyle 16}$Se puede calcular utilizando logaritmos en base 2:

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{1\cdot 2\cdot 8\cdot 16}}=2^{(\log _{2}\!1\,+\,\log _{2}\!2\,+\,\log _{2}\!8\,+\,\log _{2}\!16)/4}=2^{(0\,+\,1\,+\,3\,+\,4)/4}=2^{2}=4.}$$

En relación con lo anterior, se puede observar que para una muestra dada de puntos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, la media geométrica es el minimizador de

$${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log a_{i}-\log a)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\log {\frac {a_{i}}{a}}\right)^{2},}$$

mientras que la media aritmética es el minimizador de

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}.}$

De este modo, la media geométrica proporciona un resumen de las muestras cuyo exponente coincide mejor con los exponentes de las muestras (en el sentido de mínimos cuadrados).

En las implementaciones informáticas, multiplicar ingenuamente muchos números puede provocar desbordamiento o subdesbordamiento aritmético . Calcular la media geométrica mediante logaritmos es una forma de evitar este problema.

La media geométrica de un conjunto de datos es menor que su media aritmética, a menos que todos los elementos del conjunto sean iguales, en cuyo caso ambas medias coinciden. Esto permite definir la media aritmético-geométrica , que es la intersección de ambas y siempre se encuentra entre ellas.

La media geométrica es también la media aritmético-armónica en el sentido de que si dos secuencias (${\displaystyle a_{n}}$) y (${\displaystyle h_{n}}$) se definen: $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},&a_{0}&=x,\\h_{n+1}&={\frac {2{a_{n}}{h_{n}}}{a_{n}+h_{n}}},&\quad h_{0}&=y,\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle h_{n+1}}$es la media armónica de los valores anteriores de las dos secuencias, entonces${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle h_{n}}$convergerá a la media geométrica de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Las secuencias convergen a un límite común y se conserva la media geométrica: $${\displaystyle {\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}={\sqrt {{\frac {a_{i}+h_{i}}{2}}{\frac {2{a_{i}}{h_{i}}}{a_{i}+h_{i}}}}}={\sqrt {{a_{i}}{h_{i}}}}}$$

Sustituir la media aritmética y la media armónica por un par de medias generalizadas de exponentes finitos opuestos produce el mismo resultado.

La media geométrica de un conjunto de datos no vacío de números positivos es siempre, como máximo, igual a su media aritmética. La igualdad solo se alcanza cuando todos los números del conjunto son iguales; de lo contrario, la media geométrica es menor. Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 3 es 2,45, mientras que su media aritmética es 2,5. En concreto, esto significa que cuando un conjunto de números no idénticos se somete a una dispersión que conserva la media —es decir, los elementos del conjunto se "dispersan" más entre sí sin alterar la media aritmética— su media geométrica disminuye. ^{[ 5 ]}

Si${\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )}$es una función positiva continua de valor real, su media geométrica sobre este intervalo es $${\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}$$

Por ejemplo, tomando la función identidad ${\displaystyle f(x)=x}$sobre el intervalo unitario muestra que la media geométrica de los números positivos entre 0 y 1 es igual a${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$.

La media geométrica es más apropiada que la media aritmética para describir el crecimiento proporcional, tanto el crecimiento exponencial (crecimiento proporcional constante) como el crecimiento variable. En el ámbito empresarial, la media geométrica de las tasas de crecimiento se conoce como tasa de crecimiento anual compuesta (TCAC). La media geométrica del crecimiento a lo largo de los periodos proporciona la tasa de crecimiento constante equivalente que daría como resultado la misma cantidad final.

Como ejemplo, supongamos que un naranjo produce 100 naranjas un año y luego 180, 210 y 300 los años siguientes, para tasas de crecimiento del 80%, 16,7% y 42,9% respectivamente. Usando la media aritmética se calcula un crecimiento promedio (lineal) del 46,5% (calculado por${\displaystyle (80\%+16,7\%+42,9\%)\div 3}$Sin embargo, al aplicarlo a un rendimiento inicial de 100 naranjas, un crecimiento anual del 46,5 % resulta en 314 naranjas después de tres años de crecimiento, en lugar de las 300 observadas. El promedio lineal sobreestima la tasa de crecimiento.

En cambio, utilizando la media geométrica, el crecimiento anual promedio es aproximadamente del 44,2% (calculado por${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.167\times 1.429}}}$). Partiendo de una producción de 100 naranjas con un crecimiento anual del 44,2%, se obtiene una producción esperada de 300 naranjas después de tres años.

Para determinar la tasa de crecimiento promedio, no es necesario tomar el producto de las tasas de crecimiento medidas en cada paso. Sea la cantidad dada como la secuencia${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$, dónde${\displaystyle n}$es el número de pasos desde el estado inicial hasta el estado final. La tasa de crecimiento entre mediciones sucesivas${\displaystyle a_{k}}$y${\displaystyle a_{k+1}}$es${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$La media geométrica de estas tasas de crecimiento es entonces simplemente: $${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}$$

La propiedad fundamental de la media geométrica, que no se cumple para ninguna otra media, es que para dos secuencias${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$de igual longitud,

$${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}.}$$

Esto convierte a la media geométrica en la única media correcta al promediar resultados normalizados ; es decir, resultados que se presentan como razones con respecto a valores de referencia. ^{[ 6 ]} Este es el caso cuando se presenta el rendimiento de una computadora con respecto a una computadora de referencia, o cuando se calcula un único índice promedio a partir de varias fuentes heterogéneas (por ejemplo, esperanza de vida, años de educación y mortalidad infantil). En este escenario, el uso de la media aritmética o armónica cambiaría la clasificación de los resultados dependiendo de lo que se utilice como referencia. Por ejemplo, consideremos la siguiente comparación del tiempo de ejecución de programas informáticos:

Las medias aritmética y geométrica coinciden en que el ordenador C es el más rápido. Sin embargo, al presentar valores normalizados adecuadamente y utilizar la media aritmética, podemos demostrar que cualquiera de los otros dos ordenadores es el más rápido. La normalización con respecto al resultado de A da como resultado que A sea el ordenador más rápido según la media aritmética:

mientras que al normalizar por el resultado de B se obtiene que B es el ordenador más rápido según la media aritmética, pero A es el más rápido según la media armónica:

y al normalizar por el resultado de C, se obtiene que C es el ordenador más rápido según la media aritmética, pero A es el más rápido según la media armónica:

En todos los casos, la clasificación obtenida mediante la media geométrica sigue siendo la misma que la obtenida con valores no normalizados.

Sin embargo, este razonamiento ha sido cuestionado. ^{[ 7 ]} Dar resultados consistentes no siempre equivale a dar resultados correctos. En general, es más riguroso asignar pesos a cada uno de los programas, calcular el tiempo de ejecución promedio ponderado (usando la media aritmética) y luego normalizar ese resultado a una de las computadoras. Las tres tablas anteriores simplemente dan un peso diferente a cada uno de los programas, lo que explica los resultados inconsistentes de las medias aritmética y armónica (la Tabla 4 da el mismo peso a ambos programas, la Tabla 2 da un peso de 1/1000 al segundo programa, y ​​la Tabla 3 da un peso de 1/100 al segundo programa y 1/10 al primero). El uso de la media geométrica para agregar números de rendimiento debe evitarse si es posible, porque multiplicar los tiempos de ejecución no tiene significado físico, a diferencia de sumar tiempos como en la media aritmética. Las métricas que son inversamente proporcionales al tiempo (aceleración, IPC ) deben promediarse usando la media armónica.

La media geométrica se puede derivar de la media generalizada como su límite como${\displaystyle p}$tiende a cero. De manera similar, esto es posible para la media geométrica ponderada.

La media geométrica se ha utilizado ocasionalmente para calcular índices financieros (el promedio se calcula sobre los componentes del índice). Por ejemplo, en el pasado el índice FT 30 utilizaba una media geométrica. ^{[ 8 ]} También se utiliza en el cálculo del IPC ^{[ 9 ]} y en la medida de inflación " RPIJ " introducida recientemente en el Reino Unido y en la Unión Europea.

Esto tiene el efecto de subestimar los movimientos en el índice en comparación con el uso de la media aritmética. ^{[ 8 ]}

Aunque la media geométrica ha sido relativamente poco común en el cálculo de estadísticas sociales, a partir de 2010 el Índice de Desarrollo Humano de las Naciones Unidas adoptó este método de cálculo, argumentando que reflejaba mejor la naturaleza insustituible de las estadísticas que se recopilaban y comparaban:

La media geométrica disminuye el grado de sustituibilidad entre las dimensiones [que se comparan] y, al mismo tiempo, garantiza que una disminución del 1 % en, por ejemplo, la esperanza de vida al nacer tenga el mismo impacto en el IDH que una disminución del 1 % en la educación o los ingresos. Por lo tanto, como base para comparar logros, este método también respeta mejor las diferencias intrínsecas entre las dimensiones que un promedio simple. ^{[ 10 ]}

No todos los valores utilizados para calcular el IDH (Índice de Desarrollo Humano) están normalizados; algunos de ellos tienen la forma${\displaystyle \left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)}$Esto hace que la elección de la media geométrica sea menos obvia de lo que cabría esperar de la sección "Propiedades" anterior.

El ingreso equivalente de bienestar distribuido equitativamente asociado con un Índice Atkinson con un parámetro de aversión a la desigualdad de 1,0 es simplemente la media geométrica de los ingresos. Para valores distintos de uno, el valor equivalente es una norma Lp dividida por el número de elementos, donde p es igual a uno menos el parámetro de aversión a la desigualdad.

En el caso de un triángulo rectángulo , su altura es la longitud de una línea perpendicular que une la hipotenusa con su vértice de 90°. Si imaginamos que esta línea divide la hipotenusa en dos segmentos, la media geométrica de las longitudes de estos segmentos es igual a la altura. Esta propiedad se conoce como el teorema de la media geométrica .

En una elipse , el semieje menor es la media geométrica de las distancias máxima y mínima de la elipse a un foco ; también es la media geométrica del semieje mayor y el semilado recto . El semieje mayor de una elipse es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia desde el centro a cualquiera de las directriz .

Otra forma de pensarlo es la siguiente:

Consideremos un círculo con radio${\displaystyle r}$. Ahora toma dos puntos diametralmente opuestos en el círculo y aplica presión desde ambos extremos para deformarlo en una elipse con semiejes mayor y menor de longitudes${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$.

Dado que el área del círculo y de la elipse permanece igual, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}.\end{aligned}}}$$

El radio del círculo es la media geométrica de los semiejes mayor y menor de la elipse formada al deformar el círculo.

La distancia al horizonte de una esfera (ignorando el efecto de la refracción atmosférica cuando hay atmósfera presente) es igual a la media geométrica de la distancia al punto más cercano de la esfera y la distancia al punto más lejano de la esfera.

La media geométrica se utiliza tanto en la aproximación de la cuadratura del círculo por SA Ramanujan ^{[ 11 ]} como en la construcción del heptadecágono con "proporciones medias" ^{[ 12 ] .}

La media geométrica se ha utilizado para elegir una relación de aspecto de compromiso en cine y vídeo: dadas dos relaciones de aspecto, su media geométrica proporciona un punto intermedio, distorsionando o recortando ambas de forma similar. Concretamente, dos rectángulos de igual área (con el mismo centro y lados paralelos) con relaciones de aspecto diferentes se intersecan en un rectángulo cuya relación de aspecto es la media geométrica, y su envoltura (el rectángulo más pequeño que los contiene a ambos) tiene, asimismo, la relación de aspecto de su media geométrica.

En la elección de la relación de aspecto 16:9 por parte de la SMPTE , equilibrando 2,35 y 4:3, la media geométrica es${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$y por lo tanto${\displaystyle 16:9=1.77{\overline {7}}\dots }$fue elegido. Esto fue descubierto empíricamente por Kerns Powers, quien recortó rectángulos con áreas iguales y les dio forma para que coincidieran con cada una de las relaciones de aspecto populares. Cuando se superpusieron con sus puntos centrales alineados, encontró que todos esos rectángulos de relación de aspecto encajaban dentro de un rectángulo exterior con una relación de aspecto de 1.77:1 y todos ellos también cubrían un rectángulo interior común más pequeño con la misma relación de aspecto 1.77:1. ^{[ 13 ]} El valor encontrado por Powers es exactamente la media geométrica de las relaciones de aspecto extremas, 4:3  (1.33:1) y CinemaScope  (2.35:1), que casualmente está cerca de${\displaystyle 16:9}$(${\displaystyle 1.77{\overline {7}}:1}$). Las proporciones intermedias no tienen efecto en el resultado, solo las dos proporciones extremas.

Aplicando la misma técnica de media geométrica a 16:9 y 4:3 se obtiene aproximadamente 14:9 (${\displaystyle 1.55{\overline {5}}}$...) relación de aspecto, que también se utiliza como un compromiso entre estas relaciones. ^{[ 14 ]} En este caso, 14:9 es exactamente la media aritmética de${\displaystyle 16:9}$y${\displaystyle 4:3=12:9}$, ya que 14 es el promedio de 16 y 12, mientras que la media geométrica precisa es${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$pero las dos medias diferentes , la aritmética y la geométrica, son aproximadamente iguales porque ambos números están suficientemente cerca el uno del otro (una diferencia de menos del 2%).

La media geométrica también se utiliza para calcular los formatos de papel de las series B y C.${\displaystyle B_{n}}$El formato tiene un área que es la media geométrica de las áreas de${\displaystyle A_{n}}$y${\displaystyle A_{n-1}}$Por ejemplo, el área de un papel B1 es${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$, porque es la media geométrica de las áreas de un A0 (${\textstyle 1\mathrm {m} ^{2}}$) y un A1 (${\textstyle {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$) papel (${\textstyle {\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={}}$​${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$).

El mismo principio se aplica a la serie C, cuya área es la media geométrica de las series A y B. Por ejemplo, el formato C4 tiene un área que es la media geométrica de las áreas de A4 y B4.

Una ventaja que se deriva de esta relación es que una hoja de papel A4 cabe dentro de un sobre C4, y ambas caben dentro de un sobre B4.

• Planitud espectral : en el procesamiento de señales , la planitud espectral , una medida de cuán plano o irregular es un espectro, se define como la relación entre la media geométrica del espectro de potencia y su media aritmética.
• Recubrimientos antirreflectantes : En los recubrimientos ópticos, donde se necesita minimizar la reflexión entre dos medios con índices de refracción n ₀ y n ₂ , el índice de refracción óptimo n ₁ del recubrimiento antirreflectante viene dado por la media geométrica:${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$.
• Mezcla de colores sustractiva : La curva de reflectancia espectral para mezclas de pintura (de igual poder colorante , opacidad y dilución ) es aproximadamente la media geométrica de las curvas de reflectancia individuales de las pinturas calculadas en cada longitud de onda de sus espectros . ^{[ 15 ]}
• Procesamiento de imágenes : El filtro de media geométrica se utiliza como filtro de ruido en el procesamiento de imágenes .
• Remuneración laboral : Johann von Thünen sugirió en 1875 que la media geométrica del salario de subsistencia y el valor de mercado del trabajo utilizando el capital del empleador era el salario natural. ^{[ 16 ]}