Media cuasi-aritmética

En matemáticas y estadística , la media cuasi-aritmética o media f generalizada o media de Kolmogorov-Nagumo-de Finetti ^{[ 1 ]} es una generalización de las medias más conocidas , como la media aritmética y la media geométrica , utilizando una función${\displaystyle f}$También se la conoce como media de Kolmogorov, en honor al matemático soviético Andrey Kolmogorov . Es una generalización más amplia que la media generalizada convencional .

Si${\displaystyle \ f\ }$es una función que mapea algún intervalo continuo${\displaystyle \ I\ }$de la recta real a algún otro subconjunto continuo${\displaystyle \ J\equiv f(I)\ }$de los números reales y${\displaystyle \ f\ }$es continua e inyectiva (uno a uno).

(Necesitamos${\displaystyle \ f\ }$ser inyectable en${\displaystyle \ I\ }$para que exista una función inversa${\displaystyle \ f^{-1}\ }$para existir. Necesitamos${\displaystyle \ I\ }$y ${\displaystyle \ J\ }$ambos deben ser intervalos continuos para asegurar que el promedio de cualquier subconjunto finito (o infinito) de valores dentro${\displaystyle \ J\ }$siempre corresponderá a un valor en${\displaystyle \ I\ }$.)

Sujeto a esos requisitos, la f media de${\displaystyle \ n\ }$números${\displaystyle \ x_{1},\ldots ,x_{n}\in I\ }$se define como

${\displaystyle \ M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})\;\equiv \;f^{-1}\!\left(\ {\frac {1}{n}}{\Bigl (}\ f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\ {\Bigr )}\ \right)\ ,}$

o equivalentemente

${\displaystyle \ M_{f}({\vec {x}})\;=\;f^{-1}\!\!\left(\ {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\ \right)~.}$

Una consecuencia de${\displaystyle \ f\ }$estar definido sobre algún intervalo seleccionado,${\displaystyle \ I\ ,}$mapeo a otro intervalo más,${\displaystyle \ J\ ,}$es que${\displaystyle \ {\frac {1}{n}}\left(\ f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})\ \right)\ }$También debe estar dentro${\displaystyle \ J\ ~.}$Y porque${\displaystyle \ J\ }$es el dominio de${\displaystyle \ f^{-1}\ ,}$así que a su vez${\displaystyle \ f^{-1}\ }$debe producir un valor dentro del mismo dominio del que procedían originalmente los valores,${\displaystyle \ I~.}$

Porque${\displaystyle \ f\ }$es inyectivo y continuo, necesariamente se deduce que${\displaystyle \ f\ }$es una función estrictamente monótona y, por lo tanto, que la media de f no es mayor que el número más grande de la tupla.${\displaystyle \ x_{1},\ldots \ ,x_{n}\equiv X\ }$ni menor que el número más pequeño contenido en${\displaystyle \ X\ ,}$Por lo tanto, se encuentra contenido en algún lugar entre los valores de la muestra original.

• Si${\displaystyle I=\mathbb {R} \ ,}$la línea real y${\displaystyle \ f(x)=x\ ,}$(o de hecho cualquier función lineal)${\displaystyle \ x\mapsto a\cdot x+b\ ,}$para${\displaystyle \ a\neq 0\ ,}$de lo contrario cualquier${\displaystyle \ a\ }$y cualquier${\displaystyle \ b\ }$) entonces la media f corresponde a la media aritmética .

• Si${\displaystyle \ I=\mathbb {R} ^{+}\ ,}$los números reales estrictamente positivos y${\displaystyle \ f(x)\ =\ \log(x)\ ,}$Entonces, la media f corresponde a la media geométrica . (El resultado es el mismo para cualquier logaritmo ; no depende de la base del logaritmo, siempre que dicha base sea estrictamente positiva pero distinta de 1 ).

• Si${\displaystyle \ I=\mathbb {R} ^{+}\ }$y${\displaystyle \ f(x)\ =\ {\frac {\ 1\ }{x}}\ ,}$entonces la media f corresponde a la media armónica .

• Si${\displaystyle \ I=\mathbb {R} ^{+}\ }$y${\displaystyle \ f(x)\ =\ x^{\ \!p}\ ,}$entonces la media f corresponde a la media de potencia con exponente${\displaystyle \ p\ }$( por ejemplo, para${\displaystyle \ p=2\ }$se obtiene la raíz cuadrática media (RMS) .

• Si${\displaystyle \ I=\mathbb {R} \ }$y${\displaystyle \ f(x)\ =\ \exp(x)\ ,}$entonces la media f es la media en el semianillo logarítmico , que es una versión desplazada constante de la función LogSumExp (LSE) (que es la suma logarítmica),${\displaystyle \ M_{f}(\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}\ )\ =\ \operatorname {\mathsf {LSE}} \left(\ x_{1},\ \ldots ,\ x_{n}\ \right)-\log(n)~.}$(El${\displaystyle \ -\log(n)\ }$en la expresión corresponde a dividir por n , ya que la división logarítmica es una resta lineal . La función LogSumExp es un máximo suave : es una aproximación suave a la función máximo.

Las siguientes propiedades se cumplen para${\displaystyle \ M_{f}\ }$para cualquier función individual${\displaystyle \ f\ }$:

Simetría: El valor de${\displaystyle \ M_{f}\ }$no cambia si se permutan sus argumentos.

Idempotencia: para todos${\displaystyle \ x\ ,}$el promedio repetido${\displaystyle \ M_{f}(\ x,\ \dots ,\ x\ )=x~.}$

Monotonicidad :${\displaystyle \ M_{f}\ }$es monótono en cada uno de sus argumentos (ya que${\displaystyle \ f\ }$es monótono ).

Continuidad :${\displaystyle \ M_{f}\ }$es continua en cada uno de sus argumentos (ya que${\displaystyle \ f\ }$es continuo).

Reemplazo : Se pueden promediar subconjuntos de elementos a priori, sin alterar la media, siempre que se mantenga la multiplicidad de los elementos. Con${\displaystyle \ m\ \equiv \ M_{f}\!\left(\ x_{1},\ \ldots \ ,\ x_{k}\ \right)\ }$Contiene:

${\displaystyle \ M_{f}\!\left(\ x_{1},\ \dots ,\ x_{k},\ x_{k+1},\ \ldots \ ,\ x\ _{n}\ \right)\ =\ M_{f}\!\left(\;\underbrace {m,\,\ \ldots \ ,\ m} _{\ k{\text{ veces}}\ }\ ,\;x_{k+1}\ ,\ \ldots \ ,\ x_{n}\;\right)~.}$

Particionamiento : El cálculo de la media se puede dividir en cálculos de subbloques de igual tamaño:

${\displaystyle M_{f}\!\left(\ x_{1},\ \dots ,\ x_{n\cdot k}\ \right)\;=\;M_{f}\!{\Bigl (}\;M_{f}\left(\ x_{1},\ \ldots \ ,\ x_{k}\ \right),\;M_{f}\!\left(\ x_{k+1},\ \ldots \ ,\ x_{2\cdot k}\ \right),\;\dots ,\;M_{f}\!\left(\ x_{(n-1)\cdot k+1},\ \ldots \ ,\ x_{n\cdot k}\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

Autodistributividad : Para cualquier media cuasi- aritmética (qa)${\displaystyle \ M_{\mathsf {q\ \!a}}\ }$de dos variables:

${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;x,\ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ y,\ z\ \right)\;{\Bigr )}=M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right),\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ z\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

Medialidad : Para cualquier media cuasi- aritmética${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a}}\ }$de dos variables:

${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right),\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ z,\ w\ \right)\;{\Bigr )}=M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ z\ \right),\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ y,\ w\ \right)\;{\Bigr )}~.}$

Equilibrio : Para cualquier media cuasi- aritmética${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a}}\ }$de dos variables:

${\displaystyle \ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\biggl (}\;\ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\Bigl (}\;x,\;M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right)\;{\Bigr )},\;\ M{\mathsf {q\ a\ \!}}\!{\Bigl (}\;y,\ M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!\left(\ x,\ y\ \right)\;{\Bigr )}\;\ {\biggr )}~=~M{\mathsf {q\ \!a\ \!}}\!{\bigl (}\ x,\ y\ {\bigr )}~.}$

Invariancia de escala : La media cuasi-aritmética es invariante con respecto a desplazamientos y escalamiento no trivial de la media cuasi-aritmética.${\displaystyle \ f\$ :} Para cualquier${\displaystyle \ p(t)\ \equiv \ a+b\cdot q(t)\ ,}$con${\displaystyle \ a\ }$y${\displaystyle \ b\neq 0\ }$constantes y ${\displaystyle \ q\ }$una función cuasi-aritmética,${\displaystyle \ M_{p}(\ x\ )\ }$y${\displaystyle M_{q}(\ x\ )\ }$son siempre los mismos. En notación matemática :

Dado${\displaystyle \ q\ }$cuasi aritmética y${\displaystyle \ p\$ :\ {\bigl (}\ p(t)=a+b\cdot q(t)\;\ \forall \ t\ {\bigr )}\;\forall \ a\;\forall \ b\neq 0\quad \Rightarrow \quad M_{p}(\ x\ )=M_{q}(\ x\ )\;\forall \ x~.}

Teorema del límite central  : Bajo ciertas condiciones de regularidad y para una muestra suficientemente grande,

${\displaystyle \ z~\equiv ~{\sqrt {n\ }}\ {\biggl [}\;M_{f}(\ X_{1},\ \ldots \ ,\ X_{n}\ )\;-\;\operatorname {\mathbb {E} } _{X}\!{\Bigl (}\ M_{f}(\ X_{1},\ \ldots \ ,\ X_{n}\ )\ {\Bigr )}\;{\biggr ]}\ }$

tiene una distribución aproximadamente normal . ^{[ 2 ]} Un resultado similar está disponible para las medias de Bajraktarević y las medias de desviación, que son generalizaciones de las medias cuasi-aritméticas. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Hay varios conjuntos diferentes de propiedades que caracterizan la media cuasi-aritmética (es decir, cada función que satisface estas propiedades es una f -media para alguna función f ).

• La medialidad es esencialmente suficiente para caracterizar las medias cuasi-aritméticas. ^{[ 5 ] : capítulo 17}
• La autodistributividad es esencialmente suficiente para caracterizar las medias cuasi-aritméticas. ^{[ 5 ] : capítulo 17}
• Sustitución : Kolmogorov demostró que las cinco propiedades de simetría, punto fijo, monotonicidad, continuidad y sustitución caracterizan completamente las medias cuasi-aritméticas. ^{[ 6 ]}
• La continuidad es superflua en la caracterización de las medias cuasi-aritméticas de dos variables. Véase [10] para más detalles.
• Equilibrio : Un problema interesante es si esta condición (junto con las propiedades de simetría, punto fijo, monotonicidad y continuidad) implica que la media es cuasi-aritmética. Georg Aumann demostró en la década de 1930 que la respuesta es no en general, ^{[ 7 ]} pero que si además se asume${\displaystyle M}$Si es una función analítica , entonces la respuesta es afirmativa. ^{[ 8 ]}

Las medias suelen ser homogéneas , pero para la mayoría de las funciones${\displaystyle f}$, la media f no lo es. De hecho, las únicas medias cuasi-aritméticas homogéneas son las medias potenciales (incluida la media geométrica ); véase Hardy – Littlewood – Pólya, página 68.

La propiedad de homogeneidad se puede lograr normalizando los valores de entrada mediante alguna media (homogénea).${\displaystyle C}$.

${\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}$

Sin embargo, esta modificación puede violar la monotonicidad y la propiedad de partición de la media.

Consideremos una función estrictamente convexa de tipo Legendre.${\displaystyle F}$. Luego el mapa de gradiente${\displaystyle \nabla F}$es globalmente invertible y la media cuasi-aritmética multivariada ponderada ^{[ 9 ]} se define por ${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n};w)={\nabla F}^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\nabla F(\theta _{i})\right)}$, dónde${\displaystyle w}$es un vector de pesos normalizado (${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}$(por defecto para un promedio equilibrado). De la dualidad convexa, obtenemos una media cuasi-aritmética dual.${\displaystyle M_{\nabla F^{*}}}$asociado a la media cuasi-aritmética${\displaystyle M_{\nabla F}}$Por ejemplo, tomemos${\displaystyle F(X)=-\log \det(X)}$para${\displaystyle X}$una matriz simétrica definida positiva . El par de medias cuasi-aritméticas de matrices produce la media armónica de la matriz: ${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\theta _{2})=2(\theta _{1}^{-1}+\theta _{2}^{-1})^{-1}.}$

• Media generalizada
• La desigualdad de Jensen

• Andrey Kolmogorov (1930) "Sobre la noción de media", en "Matemáticas y mecánica" (Kluwer 1991) — págs.  144 – 146.
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, págs.  388 – 391.
• John Bibby (1974) "Axiomatizaciones del promedio y una generalización adicional de secuencias monótonas", Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp.  63–65.
• Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1952) Desigualdades. 2.ª ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.
• B. De Finetti, "Sul concetto di media" , vol. 3, pág. 36996, 1931, instituto italiano degli attuari.