Media logarítmica

Según el teorema del valor medio , existe un valor ξ en el intervalo entre x e y donde la derivada f ′ es igual a la pendiente de la recta secante : $${\displaystyle \exists \xi \in (x,y):\ f'(\xi )={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$$

La media logarítmica se obtiene como el valor de ξ sustituyendo ln por f y de forma similar por su derivada correspondiente : $${\displaystyle {\frac {1}{\xi }}={\frac {\ln x-\ln y}{x-y}}}$$

y resolviendo para ξ : $${\displaystyle \xi ={\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}}$$

La media logarítmica también viene dada por la integral. $${\displaystyle L(x,y)=\int _{0}^{1}x^{1-t}y^{t}\,\mathrm {d} t.}$$

Esta interpretación permite derivar algunas propiedades de la media logarítmica. Dado que la función exponencial es monótona , la integral sobre un intervalo de longitud 1 está acotada por x e y .

Otras dos representaciones integrales útiles son:$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over tx+(1-t)y}}$$y$${\displaystyle {1 \over L(x,y)}=\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+x)\,(t+y)}.}$$

Se puede generalizar la media a n + 1 variables considerando el teorema del valor medio para diferencias divididas para la n -ésima derivada del logaritmo.

Obtenemos $${\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{n+1}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}}$$ dónde${\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}$denota una diferencia dividida del logaritmo. Para n = 2 esto conduce a $${\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)(y-z)(z-x)}{2{\bigl (}(y-z)\ln x+(z-x)\ln y+(x-y)\ln z{\bigr )}}}}.}$$

La interpretación integral también puede generalizarse a más variables, pero conduce a un resultado diferente. Dado el simplex${\textstyle S}$con$${\displaystyle S=\{\left(\alpha _{0},\dots ,\alpha _{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n+1}\,;\,\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1{\text{ and }}\alpha _{j}\geq 0,{\text{ for }}j=0,\dots ,n\}}$$y una medida apropiada${\textstyle \mathrm {d} \alpha }$que asigna al simplex un volumen de 1, obtenemos $${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\dots ,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\,\mathrm {d} \alpha .}$$

Esto se puede expresar como las diferencias divididas de la función exponencial por $${\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\dots ,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\dots ,\ln \left(x_{n}\right)\right].}$$ En el caso de n = 2 , es $${\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x(\ln y-\ln z)+y(\ln z-\ln x)+z(\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)(\ln y-\ln z)(\ln z-\ln x)}}.}$$