Diferencia de temperatura media logarítmica

En ingeniería térmica , la diferencia de temperatura media logarítmica ( LMTD ) se utiliza para determinar la fuerza impulsora de la temperatura en la transferencia de calor en sistemas de flujo , especialmente en intercambiadores de calor . La LMTD es el promedio logarítmico de la diferencia de temperatura entre las alimentaciones caliente y fría en cada extremo del intercambiador de doble tubo. Para un intercambiador de calor dado con área y coeficiente de transferencia de calor constantes , cuanto mayor sea la LMTD, mayor será la transferencia de calor. El uso de la LMTD surge directamente del análisis de un intercambiador de calor con caudal y propiedades térmicas del fluido constantes.

Suponemos que un intercambiador de calor genérico tiene dos extremos (que llamamos "A" y "B") por donde entran o salen las corrientes caliente y fría; entonces, la LMTD se define mediante la media logarítmica de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathrm {LMTD} ={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \left({\frac {\Delta T_{A}}{\Delta T_{B}}}\right)}}={\frac {\Delta T_{A}-\Delta T_{B}}{\ln \Delta T_{A}-\ln \Delta T_{B}}}}$

donde Δ T _A es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes en el extremo A , y Δ T _B es la diferencia de temperatura entre las dos corrientes en el extremo B. Cuando las dos diferencias de temperatura son iguales, esta fórmula no se resuelve directamente, por lo que convencionalmente se toma que la LMTD sea igual a su valor límite, que en este caso es trivialmente igual a las dos diferencias.

Con esta definición, el LMTD se puede utilizar para calcular el calor intercambiado en un intercambiador de calor:

${\displaystyle Q=\alpha \times A\times \mathrm {LMTD} }$

donde (en unidades del SI ):

• Q es la potencia calorífica intercambiada ( vatios ),
• ${\displaystyle \alpha }$es el coeficiente de transferencia de calor (vatios por kelvin por metro cuadrado),
• A es la zona de intercambio.

Tenga en cuenta que estimar el coeficiente de transferencia de calor puede ser bastante complicado.

Esto se aplica tanto al flujo en paralelo, donde las corrientes entran por el mismo extremo, como al flujo en contracorriente , donde entran por extremos diferentes.

En un flujo cruzado, donde un sistema, generalmente el disipador de calor , mantiene la misma temperatura nominal en todos los puntos de la superficie de transferencia de calor, se observa una relación similar entre el calor intercambiado y la diferencia de temperatura media logarítmica (LMTD), pero con un factor de corrección. También se requiere un factor de corrección para otras geometrías más complejas, como un intercambiador de calor de carcasa y tubos con deflectores.

Supongamos que la transferencia de calor ^{[ 2 ]} se produce en un intercambiador de calor a lo largo de un eje z , desde la coordenada genérica A hasta B , entre dos fluidos, identificados como 1 y 2 , cuyas temperaturas a lo largo de z son T1 ₍ z ) y T2 ( _z ) .

El flujo de calor intercambiado localmente en z es proporcional a la diferencia de temperatura:

${\displaystyle q(z)=\alpha (T_{2}(z)-T_{1}(z))=\alpha \;\Delta T(z)}$

El calor que sale de los fluidos provoca un gradiente de temperatura según la ley de Fourier :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\,T_{1}}{dz}}&=k_{a}(T_{1}(z)-T_{2}(z))=-k_{a}\,\Delta T(z)\\[4pt]{\frac {d\,T_{2}}{dz}}&=k_{b}(T_{2}(z)-T_{1}(z))=k_{b}\,\Delta T(z)\end{aligned}}}$

donde k _a , k _b son las conductividades térmicas del material intermedio en los puntos A y B respectivamente. Sumadas, se obtiene

donde K = k _a + k _b .

La energía total intercambiada se obtiene integrando la transferencia de calor local q de A a B :

${\displaystyle Q=D\int _{A}^{B}q(z)dz=\alpha D\int _{A}^{B}\Delta T(z)dz=\alpha D\int _{A}^{B}\Delta T\,dz,}$

Nótese que B − A es claramente la longitud de la tubería, que es la distancia a lo largo del eje z , y D es la circunferencia. Al multiplicar estos valores, obtenemos Ar, el área del intercambiador de calor de la tubería, y utilizamos este hecho:

${\displaystyle Q={\frac {\alpha Ar}{BA}}\int _{A}^{B}\Delta T\,dz={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{A}^{B}\Delta T\,dz}{\displaystyle \int _{A}^{B}\,dz}}}$

En ambas integrales , realice un cambio de variables de z a ΔT :

${\displaystyle Q={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}\Delta T{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {dz}{d\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

Con la relación para Δ T (ecuación 1 ), esto se convierte en

${\displaystyle Q={\frac {\alpha Ar\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K}}\,d(\Delta T)}{\displaystyle \int _{\Delta T(A)}^{\Delta T(B)}{\frac {1}{K\Delta T}}\,d(\Delta T)}}}$

La integración en este punto es trivial y finalmente da como resultado:

${\displaystyle Q=\alpha \times Ar\times {\frac {\Delta T(B)-\Delta T(A)}{\ln \left({\frac {\Delta T(B)}{\Delta T(A)}}\right)}}}$,

De donde se deduce la definición de LMTD.

• Se ha supuesto que la tasa de cambio de la temperatura de ambos fluidos es proporcional a la diferencia de temperatura; esta suposición es válida para fluidos con un calor específico constante , lo que describe adecuadamente los cambios de temperatura en fluidos dentro de un rango relativamente pequeño. Sin embargo, si el calor específico cambia, el método LMTD dejará de ser preciso.
• Un caso particular para la LMTD son los condensadores y rehervidores , donde el calor latente asociado al cambio de fase es un caso especial de la hipótesis. Para un condensador, la temperatura de entrada del fluido caliente es entonces equivalente a la temperatura de salida del fluido caliente.
• También se ha supuesto que el coeficiente de transferencia de calor ( α ) es constante y no una función de la temperatura. Si este no es el caso, el enfoque LMTD será nuevamente menos válido.
• La LMTD es un concepto de estado estacionario y no puede utilizarse en análisis dinámicos. En particular, si se aplicara la LMTD a un transitorio en el que, durante un breve instante, la diferencia de temperatura tuviera signos distintos a ambos lados del intercambiador, el argumento de la función logaritmo sería negativo, lo cual no está permitido.
• No hay cambio de fase durante la transferencia de calor.
• Se desprecian los cambios en la energía cinética y la energía potencial.

Una magnitud relacionada, la diferencia de presión media logarítmica o LMPD , se utiliza a menudo en la transferencia de masa para disolventes estancados con solutos diluidos para simplificar el problema del flujo global.

• Kay JM y Nedderman RM (1985) Mecánica de fluidos y procesos de transferencia , Cambridge University Press