n-esfera

En matemáticas , una n -esfera o hiperesfera es una generalización ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional del círculo ⁠ ⁠ -dimensional y la esfera ⁠ ⁠ -dimensional a cualquier entero no negativo ⁠ ⁠ . El círculo se considera unidimensional y la esfera bidimensional, porque las superficies en sí son unidimensionales y bidimensionales respectivamente, no porque existan como formas en el espacio unidimensional y bidimensional. Como tal, la ⁠ ⁠ -esfera es el escenario de la geometría esférica ⁠ ⁠ -dimensional . ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Considerada extrínsecamente, como una hipersuperficie incrustada en un espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -dimensional , una ⁠ ⁠ -esfera es el lugar geométrico de los puntos a igual distancia (el radio ) de un punto central dado . Su interior , que consiste en todos los puntos más cercanos al centro que el radio, es una ⁠ ⁠ -esfera dimensional . En particular: ${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)}$

• La ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -esfera es el par de puntos en los extremos de un segmento de línea ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -bola).
• La ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -esfera es un círculo , la circunferencia de un disco ( ⁠ ⁠ -bola) en el ${\displaystyle 2}$plano bidimensional .
• La ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -esfera, a menudo llamada simplemente esfera, es el límite de una ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ -bola en el espacio tridimensional .
• La 3 -esfera es el límite de una ⁠ ⁠-${\displaystyle 4}$ bola en el espacio de cuatro dimensiones .
• La ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -esfera es el límite de una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola.

Dado un sistema de coordenadas cartesianas , la esfera unitaria de${\displaystyle n}$ radio se puede definir como :${\displaystyle 1}$

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}$

Considerada intrínsecamente, cuando ⁠ ⁠${\displaystyle n\geq 1}$ , la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera es una variedad riemanniana de curvatura constante positiva , y es orientable . Las geodésicas de la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera se denominan círculos máximos .

La proyección estereográfica proyecta la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera sobre el ⁠ ⁠ -espacio con un único ${\displaystyle n}$punto adyacente en el infinito ; bajo la métrica así definida, hay un modelo para la ⁠ ⁠ -esfera. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$${\displaystyle n}$

En el contexto más general de la topología , cualquier espacio topológico que sea homeomorfo a la unidad -esfera ${\displaystyle n}$se llama -esfera${\displaystyle n}$ . Bajo la proyección estereográfica inversa, la -esfera es la compactificación de un punto del -espacio . Las -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, pueden construirse pegando dos espacios -dimensionales , identificando el límite de un -cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de una -esfera . Cuando está simplemente conexa ; la -esfera (círculo) no está simplemente conexa; la -esfera ni siquiera está conexa, y consiste en dos puntos discretos .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$

Para cualquier número natural ,${\displaystyle n}$ una -esfera${\displaystyle n}$ de radio se define como el conjunto de puntos en el ${\displaystyle r}$espacio euclidiano de dimensión ⁠${\displaystyle (n+1)}$ ⁠ que están a distancia de algún punto fijo ⁠ ⁠ , donde ⁠ ⁠ puede ser cualquier número real positivo y donde ⁠ ⁠ puede ser cualquier punto en el espacio de dimensión ⁠ ⁠ . En particular: ${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle (n+1)}$

• una 0-esfera es un par de puntos ⁠ ⁠${\displaystyle \{c-r,c+r\}}$ , y es el límite de un segmento de línea ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -bola).
• Una 1 -esfera es un círculo de radio ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ centrado en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} }$ , y es el límite de un disco ( ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -bola).
• Una 2 -esfera es una esfera ordinaria de dimensión ⁠ ⁠ en${\displaystyle 2}$ un espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠, y es el límite de una bola ordinaria ( ⁠ ⁠ -bola).${\displaystyle 3}$${\displaystyle 3}$
• Una esfera tridimensional es una esfera tridimensional en un ${\displaystyle 3}$espacio euclidiano tridimensional${\displaystyle 4}$ .

El conjunto de puntos en el ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ -espacio, ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ , que definen una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera, ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n}(r)}$ , está representado por la ecuación:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

donde ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$ es un punto central, y ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ es el radio.

La ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$-esfera anterior existe en el espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠${\displaystyle (n+1)}$ y es un ejemplo de una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -variedad . La forma de volumen ⁠ ⁠ de una ⁠ ⁠ -esfera de radio ⁠ ⁠ está dada por ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

donde es el operador de estrella de Hodge ; véase Flanders (1989, §6.1) para una discusión y prueba de esta fórmula en el caso ⁠ ⁠ . Como resultado, ${\displaystyle {\star }}$${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

El espacio encerrado por una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera se llama ⁠ ⁠ -bola${\displaystyle (n+1)}$ . Una ⁠ ⁠ -esfera está cerrada si incluye la ⁠ ⁠ -esfera, y está abierta si no incluye la ⁠ ⁠ -esfera. ${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Específicamente:

• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ - bola , un segmento de línea , es el interior de una 0-esfera.
• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ - bola , un disco , es el interior de un círculo ( ⁠ ⁠-${\displaystyle 1}$ esfera).
• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 3}$ - bola , una bola ordinaria , es el interior de una esfera ( ⁠ ⁠-${\displaystyle 2}$ esfera).
• Una ⁠ ⁠${\displaystyle 4}$ - bola es el interior de una 3 -esfera , etc.

Topológicamente , una -esfera${\displaystyle n}$ se puede construir como una compactificación de un punto del espacio euclidiano de dimensión${\displaystyle n}$ . Brevemente, la -esfera ${\displaystyle n}$se puede describir como , que${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ es un espacio euclidiano de dimensión${\displaystyle n}$ , más un único punto que representa el infinito en todas las direcciones. En particular, si se elimina un único punto de una -esfera ,${\displaystyle n}$ se vuelve homeomorfa a . Esto forma la base de la proyección estereográfica . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sea ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$ el área de la superficie de la esfera unitaria de radio${\displaystyle (n-1)}$ incrustada en${\displaystyle 1}$ el espacio euclidiano de dimensión ⁠ ⁠ y sea ⁠ ${\displaystyle n}$⁠ el volumen${\displaystyle V_{n}}$ de su interior, la bola unitaria . El${\displaystyle n}$ área de la superficie de una esfera arbitraria es${\displaystyle (n-1)}$ proporcional a la ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ potencia del radio, y el volumen de una bola arbitraria es ${\displaystyle n}$proporcional a la ⁠ ${\displaystyle n}$⁠ potencia del radio.

La bola ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ a veces se define como un único punto. La medida de Hausdorff ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -dimensional es el número de puntos en un conjunto. Por lo tanto

${\displaystyle V_{0}=1.}$

Una ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -bola es un segmento de línea cuyos puntos tienen una sola coordenada en el intervalo ⁠ ⁠${\displaystyle [-1,1]}$ de longitud ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ , y la ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ -esfera consiste en sus dos puntos finales, con coordenada ⁠ ⁠${\displaystyle \{-1,1\}}$ .

${\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}$

Una ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -esfera unitaria es el círculo unitario en el plano euclidiano, y su interior es el disco unitario ( ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -bola).

${\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}$

El interior de una 2-esfera en el espacio tridimensional es la unidad -bola${\displaystyle 3}$ .

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

En general, ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n-1}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle V_{n}}$ se dan en forma cerrada mediante las expresiones

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}$

donde ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$ es la función gamma .

A medida que tiende a infinito${\displaystyle n}$ , el volumen de la bola unitaria ( relación${\displaystyle n}$ entre el volumen de una bola de${\displaystyle n}$ radio y${\displaystyle 1}$ un cubo de lado ) tiende a cero. [ ^2] ${\displaystyle n}$${\displaystyle 1}$

El área de la superficie , o propiamente el volumen dimensional , de la esfera ${\displaystyle n}$en el${\displaystyle n}$ límite de la bola de${\displaystyle (n+1)}$ radio está${\displaystyle R}$ relacionado con el volumen de la bola mediante la ecuación diferencial

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

De manera equivalente, representando la unidad ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera como una unión de capas de ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -esferas concéntricas ,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

También podemos representar la unidad ⁠ ⁠${\displaystyle (n+2)}$ -esfera como una unión de productos de un círculo ( ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ -esfera) con una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera. Entonces ⁠ ⁠${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$ . Como ⁠ ⁠${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$ , la ecuación

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

se cumple para todos ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . Junto con los casos base ⁠ ⁠${\displaystyle S_{0}=2}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle V_{1}=2}$ de arriba, estas recurrencias se pueden usar para calcular el área de superficie de cualquier esfera o el volumen de cualquier bola.

Podemos definir un sistema de coordenadas en un espacio euclidiano de dimensión ⁠${\displaystyle n}$ ⁠ que sea análogo al sistema de coordenadas esféricas definido para el espacio euclidiano de dimensión ⁠${\displaystyle 3}$ ⁠ , en el que las coordenadas consisten en una coordenada radial ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ , y coordenadas angulares ⁠ ${\displaystyle n-1}$⁠ ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}$, donde los ángulos ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}$ varían en radianes${\displaystyle [0,\pi ]}$ (o grados )${\displaystyle [0,180]}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{n-1}}$ varían en radianes${\displaystyle [0,2\pi )}$ (o grados )${\displaystyle [0,360)}$ . Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{i}}$son las coordenadas cartesianas, entonces podemos calcular ⁠ ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ a partir de ⁠ ⁠${\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}$ con: [ ^{3] [a]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

Excepto en los casos especiales que se describen a continuación, la transformación inversa es única:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}$

donde atan2 es la función arcotangente de dos argumentos.

Hay algunos casos especiales en los que la transformada inversa no es única; ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{k}}$ para cualquier ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ será ambigua siempre que todos ⁠ ⁠${\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}$ sean cero; en este caso ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi _{k}}$ puede elegirse que sea cero. (Por ejemplo, para la ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -esfera, cuando el ángulo polar es ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ o ⁠ ⁠${\displaystyle \pi }$ entonces el punto es uno de los polos, cenit o nadir, y la elección del ángulo azimutal es arbitraria).

Para expresar el elemento de volumen del espacio euclidiano ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional en términos de coordenadas esféricas, sean ⁠ ⁠${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$ para concisión, luego observe que la matriz jacobiana de la transformación es:

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz se puede calcular por inducción. Cuando ⁠ ⁠${\displaystyle n=2}$ , un cálculo sencillo muestra que el determinante es ⁠ ⁠ . Para ${\displaystyle r}$⁠ ⁠${\displaystyle n}$ mayores , observe que ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ se puede construir a partir de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ de la siguiente manera. Excepto en la columna ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , las filas ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ son iguales que la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , pero multiplicadas por un factor adicional de ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y un factor adicional de ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . En la columna ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , las filas ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ son las mismas que la columna ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ de la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , pero multiplicadas por factores adicionales de ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n-1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ en la fila ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , respectivamente. El determinante de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ se puede calcular por expansión de Laplace en la columna final. Por la descripción recursiva de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ , la submatriz formada al eliminar la entrada en ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1,n)}$ y su fila y columna es casi igual a ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , excepto que su última fila se multiplica por ⁠ ⁠${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ . De manera similar, la submatriz formada al eliminar la entrada en ⁠ ⁠${\displaystyle (n,n)}$ y su fila y columna es casi igual a ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n-1}}$ , excepto que su última fila se multiplica por ⁠ ⁠${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ . Por lo tanto, el determinante de ⁠ ⁠${\displaystyle J_{n}}$ es

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

La inducción proporciona entonces una expresión de forma cerrada para el elemento de volumen en coordenadas esféricas.

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

La fórmula para el volumen de la bola se${\displaystyle n}$ puede derivar de esto mediante integración.

De manera similar, el elemento de área de superficie de la ⁠ ⁠${\displaystyle (n-1)}$ -esfera de radio ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ , que generaliza el elemento de área de la ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ -esfera, está dado por

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

La elección natural de una base ortogonal sobre las coordenadas angulares es un producto de polinomios ultrasféricos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

para ⁠ ⁠${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$ , y el ⁠ ⁠${\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}$ para el ángulo ⁠ ⁠${\displaystyle j=n-1}$ en concordancia con los armónicos esféricos .

El sistema de coordenadas esféricas estándar surge de escribir ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ como el producto ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$ . Estos dos factores pueden relacionarse utilizando coordenadas polares. Para cada punto ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$ de , las coordenadas cartesianas estándar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

se puede transformar en un sistema de coordenadas polar-cartesiano mixto:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Esto dice que los puntos en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ pueden expresarse tomando el rayo que comienza en el origen y pasa por , rotándolo hacia , y recorriendo una distancia a lo largo del rayo. La repetición de esta descomposición conduce eventualmente al sistema de coordenadas esféricas estándar. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$

Los sistemas de coordenadas polisféricas surgen de una generalización de esta construcción. ^[4] El espacio ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se divide como el producto de dos espacios euclidianos de menor dimensión, pero no se requiere que ninguno de los dos espacios sea una línea. Específicamente, supongamos que ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle q}$ son números enteros positivos tales que ⁠ ⁠${\displaystyle n=p+q}$ . Entonces ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ . Usando esta descomposición, un punto ⁠ ⁠${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ puede escribirse como

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Esto se puede transformar en un sistema de coordenadas polar-cartesiano mixto escribiendo:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Aquí y son los vectores unitarios asociados a ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ . Esto expresa ⁠ ⁠ en términos de ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ y un ángulo ⁠ ⁠ . Se puede demostrar que el dominio de ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ si ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ si exactamente uno de ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ si ni ⁠ ⁠ ni ⁠ ⁠ son ⁠ ⁠ . La transformación inversa es ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle \mathbf {z} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle [0,2\pi )}$${\displaystyle p=q=1}$${\displaystyle [0,\pi ]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle [0,\pi /2]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

Estas divisiones pueden repetirse siempre que uno de los factores involucrados tenga dimensión dos o mayor. Un sistema de coordenadas poliesféricas es el resultado de repetir estas divisiones hasta que no queden coordenadas cartesianas. Las divisiones posteriores a la primera no requieren una coordenada radial porque los dominios de y son esferas, por lo que las coordenadas de un sistema de coordenadas poliesféricas son un radio no negativo y ángulos . Los posibles sistemas de coordenadas poliesféricas corresponden a árboles binarios con hojas . Cada nodo que no es hoja en el árbol corresponde a una división y determina una coordenada angular. Por ejemplo, la raíz del árbol representa , y sus hijos inmediatos representan la primera división en y . Los nodos hoja corresponden a coordenadas cartesianas para . Las fórmulas para convertir de coordenadas polisféricas a coordenadas cartesianas se pueden determinar hallando los caminos desde los nodos raíz hasta los nodos hoja. Estas fórmulas son productos con un factor para cada rama tomada por el camino. Para un nodo cuya coordenada angular correspondiente es ⁠ ⁠ , tomar la rama izquierda introduce un factor de ⁠ ⁠ y tomar la rama derecha introduce un factor de ⁠ ⁠ . La transformación inversa, de coordenadas polisféricas a coordenadas cartesianas, se determina agrupando nodos. Cada par de nodos que tienen un padre común se puede convertir de un sistema de coordenadas polares-cartesianas mixto a un sistema de coordenadas cartesianas utilizando las fórmulas anteriores para una división. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle S^{n-1}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \sin \theta _{i}}$${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

Las coordenadas polisféricas también tienen una interpretación en términos del grupo ortogonal especial . Una división determina${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ un subgrupo .

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

Este es el subgrupo que deja fijos cada uno de los dos factores . Elegir un conjunto de coconjuntos representativos para el cociente es lo mismo que elegir ángulos representativos para este paso de la descomposición de coordenadas poliesféricas. ${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

En coordenadas poliesféricas, la medida del volumen en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y la medida del área en ⁠ ⁠${\displaystyle S^{n-1}}$ son productos. Hay un factor para cada ángulo, y la medida del volumen en ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ también tiene un factor para la coordenada radial. La medida del área tiene la forma:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

donde los factores ⁠ ⁠${\displaystyle F_{i}}$ están determinados por el árbol. De manera similar, la medida del volumen es

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Supongamos que tenemos un nodo del árbol que corresponde a la descomposición ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ y que tiene coordenadas angulares ⁠ ⁠${\displaystyle \theta }$ . El factor correspondiente ⁠ ⁠${\displaystyle F}$ depende de los valores de ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$ . Cuando la medida del área se normaliza de modo que el área de la esfera sea ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ , estos factores son los siguientes. Si ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$ , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Si ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}>1}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}=1}$ , y si ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {B} }$ denota la función beta , entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Si y , entonces ​​${\displaystyle n_{1}=1}$​${\displaystyle n_{2}>1}$

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Finalmente, si tanto ⁠ ⁠${\displaystyle n_{1}}$ como ⁠ ⁠${\displaystyle n_{2}}$ son mayores que uno, entonces

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Así como una esfera bidimensional incrustada en tres dimensiones puede ser mapeada en un plano bidimensional mediante una proyección estereográfica , una ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -esfera puede ser mapeada en un hiperplano ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional mediante la versión ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -dimensional de la proyección estereográfica. Por ejemplo, el punto ⁠ ⁠${\displaystyle [x,y,z]}$ en una esfera bidimensional de radio ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ se mapea al punto ⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}}$ en el ⁠ ⁠${\displaystyle xy}$ plano. En otras palabras,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

De la misma manera , la proyección estereográfica de una -esfera ${\displaystyle n}$de radio ${\displaystyle S^{n}}$se asignará al hiperplano de dimensión perpendicular al eje como${\displaystyle 1}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Para generar puntos aleatorios distribuidos uniformemente en la esfera unitaria ( es${\displaystyle (n-1)}$ decir, la superficie de la bola unitaria ) ,${\displaystyle n}$ Marsaglia (1972) da el siguiente algoritmo.

Generar un vector ⁠ ⁠ -dimensional de ${\displaystyle n}$desviaciones normales (basta con utilizar ⁠ ⁠${\displaystyle N(0,1)}$ , aunque de hecho la elección de la varianza es arbitraria), ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ . Ahora calcular el "radio" de este punto:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

El vector ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de la unidad ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola.

Una alternativa dada por Marsaglia es seleccionar aleatoriamente de manera uniforme un punto ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ en el cubo unitario n muestreando cada ⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}}$ independientemente de la distribución uniforme sobre ⁠ ⁠${\displaystyle (-1,1)}$ , calculando ⁠ ⁠${\displaystyle r}$ como se indicó anteriormente, y rechazando el punto y volviendo a muestrear si ⁠ ⁠${\displaystyle r\geq 1}$ (es decir, si el punto no está en la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola), y cuando se obtiene un punto en la bola, escalarlo hasta la superficie esférica por el factor ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$ ; luego, nuevamente , ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ se distribuye uniformemente sobre la superficie de la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola unitaria. Este método se vuelve muy ineficiente para dimensiones superiores, ya que una fracción extremadamente pequeña del cubo unitario está contenida en la esfera. En diez dimensiones, menos del 2% del cubo está lleno por la esfera, por lo que típicamente se necesitarán más de 50 intentos. En setenta dimensiones, se llena menos de una parte del cubo, lo que significa que normalmente se necesitarán un billón de cuatrillones de ensayos, mucho más de lo que una computadora podría llevar a cabo. ${\displaystyle 10^{-24}}$

Con un punto seleccionado uniformemente al azar de la superficie de la esfera unitaria ( por${\displaystyle (n-1)}$ ejemplo, utilizando el algoritmo de Marsaglia), solo se necesita un radio para obtener un punto uniformemente al azar de dentro de la esfera unitaria . Si${\displaystyle n}$ ⁠ ⁠ es${\displaystyle u}$ un número generado uniformemente al azar a partir del intervalo ⁠ ⁠${\displaystyle [0,1]}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {x} }$ es un punto seleccionado uniformemente al azar de la esfera unitaria , entonces${\displaystyle (n-1)}$ ⁠ ⁠ está${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$ distribuido uniformemente dentro de la esfera unitaria${\displaystyle n}$ .

Alternativamente, los puntos pueden ser muestreados uniformemente desde dentro de la esfera unitaria mediante una${\displaystyle n}$ reducción desde la esfera unitaria . En${\displaystyle (n+1)}$ particular, si ⁠ ⁠${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$ es un punto seleccionado uniformemente desde la esfera unitaria , entonces${\displaystyle (n+1)}$ ⁠ ⁠ se${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ distribuye uniformemente dentro de la esfera unitaria ( es${\displaystyle n}$ decir, simplemente descartando dos coordenadas). ^[5]

Si ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ es suficientemente grande, la mayor parte del volumen de la ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -bola estará contenido en la región muy cercana a su superficie, por lo que un punto seleccionado de ese volumen probablemente también estará cerca de la superficie. Este es uno de los fenómenos que conducen a la llamada maldición de la dimensionalidad que surge en algunas aplicaciones numéricas y de otro tipo.

Let ⁠${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$⁠ be the square of the first coordinate of a point sampled uniformly at random from the ⁠${\displaystyle (n-1)}$⁠-sphere, then its probability density function, for ${\displaystyle y\in [0,1]}$, is

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

Let ${\displaystyle z=y/N}$ be the appropriately scaled version, then at the ${\displaystyle N\to \infty }$ limit, the probability density function of ${\displaystyle z}$ converges to ${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$. This is sometimes called the Porter–Thomas distribution.^[6]

0-sphere

The pair of points ⁠${\displaystyle \{\pm R\}}$⁠ with the discrete topology for some ⁠${\displaystyle R>0}$⁠. The only sphere that is not path-connected. Parallelizable.

1-sphere

Commonly called a circle. Has a nontrivial fundamental group. Abelian Lie group structure U(1); the circle group. Homeomorphic to the real projective line.

2-sphere

Commonly simply called a sphere. For its complex structure, see Riemann sphere. Homeomorphic to the complex projective line

3-sphere

Parallelizable, principal U(1)-bundle over the ⁠${\displaystyle 2}$⁠-sphere, Lie group structure Sp(1).

4-sphere

Homeomorphic to the quaternionic projective line, ⁠${\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}$⁠. ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}$⁠.

5-sphere

Principal U(1)-bundle over the complex projective space ⁠${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$⁠. ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}$⁠. It is undecidable whether a given ⁠${\displaystyle n}$⁠-dimensional manifold is homeomorphic to ⁠${\displaystyle S^{n}}$⁠ for ⁠${\displaystyle n\geq 5}$⁠.^[7]

6-sphere

Possesses an almost complex structure coming from the set of pure unit octonions. ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}$⁠. The question of whether it has a complex structure is known as the Hopf problem, after Heinz Hopf.^[8]

7-sphere

Topological quasigroup structure as the set of unit octonions. Principal ⁠${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$⁠-bundle over ⁠${\displaystyle S^{4}}$⁠. Parallelizable. ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}$⁠. The ⁠${\displaystyle 7}$⁠-sphere is of particular interest since it was in this dimension that the first exotic spheres were discovered.

8-sphere

Homeomorphic to the octonionic projective line ⁠${\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}$⁠.

23-sphere

A highly dense sphere-packing is possible in ⁠${\displaystyle 24}$⁠-dimensional space, which is related to the unique qualities of the Leech lattice.

The octahedral ⁠${\displaystyle n}$⁠-sphere is defined similarly to the ⁠${\displaystyle n}$⁠-sphere but using the 1-norm

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

In general, it takes the shape of a cross-polytope.

The octahedral ⁠${\displaystyle 1}$⁠-sphere is a square (without its interior). The octahedral ⁠${\displaystyle 2}$⁠-sphere is a regular octahedron; hence the name. The octahedral ⁠${\displaystyle n}$⁠-sphere is the topological join of ⁠${\displaystyle n+1}$⁠ pairs of isolated points.^[9] Intuitively, the topological join of two pairs is generated by drawing a segment between each point in one pair and each point in the other pair; this yields a square. To join this with a third pair, draw a segment between each point on the square and each point in the third pair; this gives a octahedron.

• Conformal geometry – Study of angle-preserving transformations of a geometric space
• Exotic sphere – Smooth manifold that is homeomorphic but not diffeomorphic to a sphere
• Homology sphere – Topological manifold whose homology coincides with that of a sphere
• Homotopy groups of spheres – How spheres of various dimensions can wrap around each other
• Inversive geometry – Study of angle-preserving transformations
• Möbius transformation – Rational function of the form (az + b)/(cz + d)

• Marsaglia, G. (1972). "Choosing a Point from the Surface of a Sphere". Annals of Mathematical Statistics. 43 (2): 645–646. doi:10.1214/aoms/1177692644.
• Huber, Greg (1982). "Gamma function derivation of n-sphere volumes". Amer. Math. Monthly. 89 (5): 301–302. doi:10.2307/2321716. JSTOR 2321716. MR 1539933.
• Weeks, Jeffrey R. (1985). The Shape of Space: how to visualize surfaces and three-dimensional manifolds. Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-7437-0(Chapter 14: The Hypersphere).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Kalnins, E. G.; Miller, W. (1986). "Separation of variables on n-dimensionsional Riemannian manifolds. I. the n-sphere S_n and Euclidean n-sparce R_n". J. Math. Phys. 27: 1721–1746. doi:10.1063/1.527088. hdl:10289/1219.
• Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Moura, Eduarda; Henderson, David G. (1996). Experiencing geometry: on plane and sphere. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-373770-7(Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Barnea, Nir (1999). "Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction". Phys. Rev. A. 59 (2): 1135–1146. Bibcode:1999PhRvA..59.1135B. doi:10.1103/PhysRevA.59.1135.

• Weisstein, Eric W. "Hypersphere". MathWorld.