Plano (matemáticas)

En matemáticas , un plano es un espacio bidimensional o una superficie plana que se extiende indefinidamente. Un plano es el análogo bidimensional de un punto (cero dimensiones), una línea (una dimensión) y el espacio tridimensional . Cuando se trabaja exclusivamente en el espacio euclidiano bidimensional , se utiliza el artículo definido, por lo que el plano euclidiano se refiere a todo el espacio.

Se pueden definir varias nociones de plano. El plano euclidiano sigue la geometría euclidiana , y en particular el postulado de las paralelas . Un plano proyectivo se puede construir añadiendo "puntos en el infinito" donde se intersecan dos líneas que de otro modo serían paralelas, de modo que cada par de líneas se intersecan en un único punto. El plano elíptico se puede definir además añadiendo una métrica al plano proyectivo real. También se puede concebir un plano hiperbólico , que obedece a la geometría hiperbólica y tiene una curvatura negativa .

En abstracto, se puede olvidar toda estructura excepto la topología, lo que produce el plano topológico, que es homeomorfo a un disco abierto . Al considerar el plano como un espacio afín , se obtiene el plano afín , que carece de la noción de distancia pero conserva la de colinealidad . Por el contrario, al añadir más estructura, se puede considerar el plano como una variedad compleja unidimensional , denominada línea compleja .

Muchas tareas fundamentales en matemáticas, geometría , trigonometría , teoría de grafos y representación gráfica se realizan en un espacio bidimensional o plano . ^{[ 1 ]}

plano euclidiano

Sistema de coordenadas cartesianas bidimensional

En matemáticas , un plano euclidiano es un espacio euclidiano de dimensión dos , denotado ${\textbf {E}}^{2}$ o $\mathbb {E} ^{2}$ Es un espacio geométrico en el que se requieren dos números reales para determinar la posición de cada punto . Es un espacio afín , que incluye, en particular, el concepto de líneas paralelas . También posee propiedades métricas inducidas por la distancia , lo que permite definir círculos y medir ángulos .

Un plano euclidiano con un sistema de coordenadas cartesianas elegido se llama plano cartesiano . El conjunto $\mathbb {R} ^{2}$ El plano de coordenadas reales , dotado del producto escalar , se denomina a menudo plano euclidiano o plano euclidiano estándar , puesto que todo plano euclidiano es isomorfo a él.

Incrustaciones en el espacio tridimensional

En geometría euclidiana , un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende indefinidamente. Los planos euclidianos suelen surgir como subespacios de un espacio tridimensional . $\mathbb {R} ^{3}$ Un ejemplo prototípico es una de las paredes de una habitación, infinitamente extendida y considerada infinitesimalmente delgada. Mientras que un par de números reales $\mathbb {R} ^{2}$ Basta con describir puntos en un plano, la relación con puntos fuera del plano requiere una consideración especial para su incrustación en el espacio ambiente. $\mathbb {R} ^{3}$ .

Plano elíptico

El plano elíptico es el plano proyectivo real provisto de una métrica . Kepler y Desargues utilizaron la proyección gnomónica para relacionar un plano σ con puntos en un hemisferio tangente a él. Con O como centro del hemisferio, un punto P en σ determina una línea OP que interseca el hemisferio, y cualquier línea L ⊂ σ determina un plano OL que interseca el hemisferio en la mitad de un círculo máximo . El hemisferio está delimitado por un plano que pasa por O y es paralelo a σ . Ninguna línea ordinaria de σ corresponde a este plano; en su lugar, se añade a σ una línea en el infinito . Como cualquier línea en esta extensión de σ corresponde a un plano que pasa por O , y puesto que cualquier par de tales planos se intersecan en una línea que pasa por O , se puede concluir que cualquier par de líneas en la extensión se intersecan: el punto de intersección se encuentra donde la intersección del plano se encuentra con σ o con la línea en el infinito. De este modo, se confirma el axioma de la geometría proyectiva, que exige que todos los pares de líneas en un plano se intersequen. ^[²^]

Dados P y Q en σ , la distancia elíptica entre ellos es la medida del ángulo POQ , generalmente tomada en radianes. Arthur Cayley inició el estudio de la geometría elíptica cuando escribió "Sobre la definición de distancia". ^{[ 3 ]}^{: 82} Esta incursión en la abstracción en geometría fue seguida por Felix Klein y Bernhard Riemann, lo que condujo a la geometría no euclidiana y la geometría riemanniana .

Plano proyectivo

En matemáticas , un plano proyectivo es una estructura geométrica que extiende el concepto de plano. En el plano euclidiano ordinario , dos líneas suelen intersecarse en un único punto, pero existen pares de líneas (es decir, líneas paralelas) que no se intersecan. Un plano proyectivo puede considerarse como un plano ordinario con puntos adicionales en el infinito donde se intersecan las líneas paralelas. Por lo tanto, cualesquiera dos líneas distintas en un plano proyectivo se intersecan en un único punto.

Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas del dibujo en perspectiva , sentaron las bases de este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como plano euclidiano extendido. ^{[ 4 ]} Este ejemplo, con ligeras variaciones, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva, donde puede denotarse de diversas maneras como PG(2, R) , RP ² o P ₂ (R), entre otras notaciones. Hay muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo , como finitos, como el plano de Fano .

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional . No todos los planos proyectivos pueden incrustarse en espacios proyectivos tridimensionales; esta incrustabilidad es consecuencia de una propiedad conocida como el teorema de Desargues , que no comparten todos los planos proyectivos.

Generalizaciones adicionales

Además de su estructura geométrica familiar, con isomorfismos que son isometrías con respecto al producto interno usual, el plano puede verse en varios otros niveles de abstracción . Cada nivel de abstracción corresponde a una categoría específica .

En un extremo, se pueden descartar todos los conceptos geométricos y métricos para dejar el plano topológico , que puede pensarse como una lámina de goma infinita homotópica trivial idealizada, que conserva una noción de proximidad, pero no tiene distancias. El plano topológico tiene el concepto de camino lineal, pero no el de línea recta. El plano topológico, o su equivalente el disco abierto, es el entorno topológico básico utilizado para construir superficies (o 2-variedades) clasificadas en topología de baja dimensión . Los isomorfismos del plano topológico son todas biyecciones continuas . El plano topológico es el contexto natural para la rama de la teoría de grafos que se ocupa de los grafos planares y resultados como el teorema de los cuatro colores .

El plano también puede considerarse un espacio afín , cuyos isomorfismos son combinaciones de traslaciones y transformaciones lineales no singulares. Desde esta perspectiva, no existen distancias, pero se conservan la colinealidad y las razones de distancias en cualquier línea.

La geometría diferencial considera un plano como una variedad real bidimensional , un plano topológico dotado de una estructura diferencial . En este caso, tampoco existe la noción de distancia, sino el concepto de suavidad de las aplicaciones, por ejemplo, un camino diferenciable o suave (según el tipo de estructura diferencial aplicada). Los isomorfismos en este caso son biyecciones con el grado de diferenciabilidad elegido.

En la dirección opuesta de la abstracción, podemos aplicar una estructura de campo compatible al plano geométrico, dando lugar al plano complejo y al área principal del análisis complejo . El campo complejo tiene solo dos isomorfismos que dejan fija la recta real: la identidad y la conjugación .

De la misma manera que en el caso real, el plano también puede considerarse como la variedad compleja unidimensional más simple (en términos de dimensión compleja , sobre los números complejos) , a veces llamada recta compleja . Sin embargo, esta perspectiva contrasta marcadamente con el caso del plano como una variedad real bidimensional. Los isomorfismos son todos biyecciones conformes del plano complejo, pero las únicas posibilidades son aplicaciones que corresponden a la composición de una multiplicación por un número complejo y una traslación.

Además, la geometría euclidiana (que tiene curvatura cero en todas partes) no es la única geometría que puede tener el plano. Se le puede dar una geometría esférica mediante la proyección estereográfica . Esto se puede imaginar como colocar una esfera tangente al plano (como una pelota en el suelo), quitarle el vértice superior y proyectar la esfera sobre el plano desde ese punto. Esta es una de las proyecciones que se pueden usar para crear un mapa plano de una parte de la superficie terrestre. La geometría resultante tiene curvatura positiva constante.

Alternativamente, también se le puede asignar al plano una métrica que le confiera una curvatura negativa constante, dando lugar al plano hiperbólico . Esta última posibilidad encuentra aplicación en la teoría de la relatividad especial en el caso simplificado de dos dimensiones espaciales y una temporal. (El plano hiperbólico es una hipersuperficie de tipo temporal en el espacio de Minkowski tridimensional ).

Nociones topológicas y de geometría diferencial

La compactificación de un punto del plano es homeomorfa a una esfera (véase proyección estereográfica ); el disco abierto es homeomorfo a una esfera sin el "polo norte"; al añadir ese punto se completa la esfera (compacta). El resultado de esta compactificación es una variedad denominada esfera de Riemann o línea proyectiva compleja . La proyección del plano euclidiano a una esfera sin un punto es un difeomorfismo e incluso una aplicación conforme .

El plano en sí es homeomorfo (y difeomorfo) a un disco abierto . Para el plano hiperbólico, dicho difeomorfismo es conforme, pero para el plano euclidiano no lo es.

Véase también

Referencias

↑ Janich, P.; Zook, D. (1992). El legado de Euclides. ¿Es el espacio tridimensional? . The Western Ontario Series in Philosophy of Science. Springer Netherlands. p. 50. ISBN 978-0-7923-2025-8. Consultado el 11 de marzo de 2023 .
↑ HSM Coxeter (1965) Introducción a la geometría, página 92
↑ Cayley, Arthur (1859), "Una sexta memoria sobre la mecánica cuántica" , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90 , doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108690
↑ Las expresiones «plano proyectivo», «plano afín extendido» y «plano euclidiano extendido» pueden distinguirse según si la línea en el infinito se considera especial (en el llamado plano «proyectivo» no lo es, en los planos «extendidos» sí) y según si la métrica euclidiana se considera significativa (en los planos proyectivo y afín no lo es). Lo mismo ocurre con los espacios proyectivos o extendidos de otras dimensiones.

[Janich_Zook_1992_p._50-1] Janich, P.; Zook, D. (1992). El legado de Euclides. ¿Es el espacio tridimensional? . The Western Ontario Series in Philosophy of Science. Springer Netherlands. p. 50. ISBN 978-0-7923-2025-8. Consultado el 11 de marzo de 2023 .

[2] HSM Coxeter (1965) Introducción a la geometría, página 92

[3] Cayley, Arthur (1859), "Una sexta memoria sobre la mecánica cuántica" , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 149 : 61–90 , doi : 10.1098/rstl.1859.0004 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 108690

[4] Las expresiones «plano proyectivo», «plano afín extendido» y «plano euclidiano extendido» pueden distinguirse según si la línea en el infinito se considera especial (en el llamado plano «proyectivo» no lo es, en los planos «extendidos» sí) y según si la métrica euclidiana se considera significativa (en los planos proyectivo y afín no lo es). Lo mismo ocurre con los espacios proyectivos o extendidos de otras dimensiones.

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