Cara (geometría)

En geometría de sólidos , una cara es una superficie plana (una región plana ) que forma parte del límite de un objeto sólido; ^[1] un sólido tridimensional limitado exclusivamente por caras es un poliedro . Una cara puede ser finita como un polígono o un círculo, o infinita como un semiplano o un plano. ^[2]

En tratamientos más técnicos de la geometría de poliedros y politopos de dimensiones superiores , el término también se utiliza para significar un elemento de cualquier dimensión de un politopo más general (en cualquier número de dimensiones). ^[3]

En geometría elemental, una cara es un polígono ^{[nota 1]} en el límite de un poliedro . ^{[3] [4]} Otros nombres para una cara poligonal incluyen lado de poliedro y mosaico plano euclidiano .

Por ejemplo, cualquiera de los seis cuadrados que delimitan un cubo es una cara del cubo. A veces, también se utiliza "cara" para referirse a las características bidimensionales de un politopo de cuatro dimensiones . Con este significado, el teseracto de cuatro dimensiones tiene 24 caras cuadradas, cada una de las cuales comparte dos de las ocho celdas cúbicas .

La superficie de cualquier poliedro convexo tiene característica de Euler.

${\displaystyle V-E+F=2,}$

donde V es el número de vértices , E es el número de aristas y F es el número de caras. Esta ecuación se conoce como fórmula del poliedro de Euler . Por lo tanto, el número de caras es 2 más que el exceso del número de aristas sobre el número de vértices. Por ejemplo, un cubo tiene 12 aristas y 8 vértices, y por lo tanto 6 caras.

En geometría de dimensiones superiores, las caras de un politopo son características de todas las dimensiones. ^{[3] [5] [6]} Una cara de dimensión k se llama k -cara. Por ejemplo, las caras poligonales de un poliedro ordinario son 2-caras. En teoría de conjuntos , el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío, donde el conjunto vacío es para consistencia dada una "dimensión" de −1. Para cualquier n -politopo ( politopo n -dimensional), −1 ≤ k ≤ n .

Por ejemplo, con este significado, las caras de un cubo comprenden el cubo mismo (3 caras), sus facetas (cuadradas) (2 caras), sus aristas (segmentos de línea) (1 caras), sus vértices (puntos) (0 caras) y el conjunto vacío.

En algunas áreas de las matemáticas, como la combinatoria poliédrica , un politopo es por definición convexo. Formalmente, una cara de un politopo P es la intersección de P con cualquier semiespacio cerrado cuyo límite es disjunto del interior de P. ^[7] De esta definición se deduce que el conjunto de caras de un politopo incluye el propio politopo y el conjunto vacío. [ ^{5] [6]}

En otras áreas de las matemáticas, como las teorías de politopos abstractos y politopos estrella , el requisito de convexidad se relaja. La teoría abstracta aún requiere que el conjunto de caras incluya el propio politopo y el conjunto vacío.

Un símplex n -dimensional (segmento de línea ( n = 1 ), triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), etc.), definido por n + 1 vértices, tiene una cara por cada subconjunto de los vértices, desde el conjunto vacío hasta el conjunto de todos los vértices. En particular, hay 2 ^{n + 1} caras en total. El número de ellas que son k -caras, para k ∈ {−1, 0, ..., n } , es el coeficiente binomial . ${\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}}$

Hay nombres específicos para las k -caras dependiendo del valor de k y, en algunos casos, de qué tan cerca está k de la dimensionalidad n del politopo.

Vértice es el nombre común para una cara 0.

Edge es el nombre común para una cara única.

El uso de cara en un contexto donde una k específica se refiere a una k -cara pero no se especifica explícitamente es comúnmente una 2-cara.

Una celda es un elemento poliédrico ( de 3 caras ) de un politopo de 4 dimensiones o de un teselado de 3 dimensiones o superior. Las celdas son facetas de los 4-politopos y los 3-panales.

Ejemplos:

En geometría de dimensiones superiores, las facetas (también llamadas hipercaras ) ^[8] de un n -politopo son las ( n − 1 )-caras (caras de dimensión uno menor que el propio politopo). ^[9] Un politopo está delimitado por sus facetas.

Por ejemplo:

• Las facetas de un segmento de línea son sus caras 0 o vértices .
• Las facetas de un polígono son sus 1-caras o aristas .
• Las facetas de un poliedro o mosaico plano son sus 2 caras .
• Las facetas de un politopo 4D o panal de 3 piezas son sus 3 caras o celdas.
• Las facetas de un politopo 5D o panal de 4 son sus 4 caras .

En terminología relacionada, las ( n − 2 ) -caras de un n -politopo se denominan crestas (también subfacetas ). ^[10] Una cresta se considera como el límite entre exactamente dos facetas de un politopo o panal.

Por ejemplo:

• Las crestas de un polígono 2D o mosaico 1D son sus caras 0 o vértices .
• Las crestas de un poliedro tridimensional o de un mosaico plano son sus 1-caras o aristas .
• Las crestas de un politopo 4D o panal de 3 dimensiones son sus 2 caras o simplemente caras .
• Las crestas de un politopo 5D o panal de 4 abejas son sus 3 caras o celdas .

Las ( n − 3 ) caras de un n -politopo se denominan picos . Un pico contiene un eje de rotación de facetas y crestas en un politopo regular o panal.

Por ejemplo:

• Los picos de un poliedro 3D o de un mosaico plano son sus caras 0 o vértices .
• Los picos de un politopo 4D o panal de 3 dimensiones son sus 1 caras o aristas .
• Los picos de un politopo 5D o panal de 4 son sus 2 caras o simplemente caras .

Sea , donde es un espacio vectorial . ${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle V}$

Una cara o conjunto extremo de es un conjunto tal que y e implica que . ^[11] Es decir, si un punto se encuentra estrictamente entre algunos puntos , entonces . ${\displaystyle C}$${\displaystyle F\subseteq C}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle 0<\theta <1}$${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\in F}$${\displaystyle x,y\in F}$${\displaystyle p\in F}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x,y\in F}$

Un punto extremo de es un punto tal que es una cara de . ^[11] Es decir, si se encuentra entre algunos puntos , entonces . ${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x,y\in C}$${\displaystyle x=y=p}$

Una cara expuesta de es el subconjunto de puntos de donde una función lineal alcanza su mínimo en . Por lo tanto, si es una función lineal en y , entonces es una cara expuesta de . ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha =\inf\{fc\ \colon c\in C\}>-\infty }$${\displaystyle \{c\in C\ \colon fc=\alpha \}}$${\displaystyle C}$

Un punto expuesto de es un punto tal que es una cara expuesta de . Es decir, para todo . ${\displaystyle C}$${\displaystyle p\in C}$${\displaystyle \{p\}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle fp>fc}$${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$

Algunos autores no incluyen y/o entre las caras (expuestas). Algunos autores requieren que y/o sea convexo (de lo contrario, el límite de un disco es una cara del disco, así como cualquier subconjunto del límite) o cerrado. Algunos autores requieren que el funcional sea continuo en una topología vectorial dada . ${\displaystyle C}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f}$

La unión de conjuntos extremos de un conjunto es un conjunto extremo de . ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Una cara expuesta es una cara. Una cara expuesta es convexa si es convexa. ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Si es una cara de , entonces es una cara de si y sólo si es una cara de . ${\displaystyle F}$${\displaystyle C\subseteq V}$${\displaystyle E\subseteq F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C}$

• Enrejado facial

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .

• Weisstein, Eric W. "La cara". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Faceta". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Lado". MathWorld .