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En geometría , una figura de vértice , en términos generales, es la figura que queda expuesta cuando se corta una esquina de un politopo general de dimensión n .
Definiciones
Toma un vértice de un poliedro . Marca un punto en cada arista conectada. Dibuja líneas que unan los puntos adyacentes alrededor de cada cara. Al terminar, estas líneas forman un circuito completo, es decir, un polígono, alrededor del vértice. Este polígono es la figura del vértice.
Las definiciones formales más precisas pueden variar considerablemente según las circunstancias. Por ejemplo, Coxeter (p. ej., 1948, 1954) adapta su definición según convenga al tema en cuestión. La mayoría de las siguientes definiciones de figura de vértice se aplican igualmente bien a teselaciones infinitas o, por extensión, a teselaciones que llenan el espacio con celdas politópicas y otros politopos de dimensiones superiores .
Como una rebanada plana
Realiza un corte transversal a través de la esquina del poliedro, atravesando todas las aristas conectadas al vértice. La superficie de corte es la figura del vértice (una figura plana ). Este es quizás el método más común y el más fácil de comprender. Diferentes autores realizan el corte en distintos puntos. Wenninger (2003) corta cada arista a una distancia unitaria del vértice, al igual que Coxeter (1948). Para poliedros uniformes, la construcción de Dorman-Luke corta cada arista conectada en su punto medio. Otros autores realizan el corte a través del vértice en el otro extremo de cada arista. [ 1 ] [ 2 ]
Para un poliedro irregular, cortar todas las aristas incidentes a un vértice dado a distancias iguales de este puede producir una figura que no se encuentre en un plano. Un enfoque más general, válido para poliedros convexos arbitrarios, consiste en realizar el corte a lo largo de cualquier plano que separe el vértice dado de todos los demás vértices, pero que por lo demás sea arbitrario. Esta construcción determina la estructura combinatoria de la figura del vértice, similar a un conjunto de vértices conexos (véase más adelante), pero no su geometría precisa; puede generalizarse a politopos convexos en cualquier dimensión. Sin embargo, para poliedros no convexos, puede que no exista un plano cerca del vértice que corte todas las caras incidentes a este.
Como un polígono esférico
Cromwell (1999) forma la figura del vértice intersectando el poliedro con una esfera centrada en el vértice, lo suficientemente pequeña como para intersecar únicamente las aristas y caras incidentes al vértice. Esto puede visualizarse como un corte o hendidura esférica centrada en el vértice. La superficie de corte o figura del vértice es, por lo tanto, un polígono esférico marcado en esta esfera. Una ventaja de este método es que la forma de la figura del vértice es fija (hasta la escala de la esfera), mientras que el método de intersección con un plano puede producir formas diferentes según el ángulo de este. Además, este método funciona para poliedros no convexos.
Como el conjunto de vértices conectados
Muchos enfoques combinatorios y computacionales (por ejemplo, Skilling, 1975) tratan una figura de vértice como el conjunto ordenado (o parcialmente ordenado) de puntos de todos los vértices vecinos (conectados mediante una arista) al vértice dado.
Definición abstracta
En la teoría de politopos abstractos , la figura del vértice en un vértice V dado comprende todos los elementos que inciden en el vértice; aristas, caras, etc. Más formalmente, es la sección ( n -1) F n / V , donde F n es la cara más grande.
Este conjunto de elementos se conoce en otros contextos como estrella de vértice . La figura geométrica del vértice y la estrella de vértice pueden entenderse como realizaciones distintas de la misma sección abstracta.
Propiedades generales
Una figura de vértice de un n -politopo es un ( n -1)-politopo. Por ejemplo, una figura de vértice de un poliedro es un polígono , y la figura de vértice de un 4-politopo es un poliedro.
En general, una figura de vértice no tiene por qué ser plana.
En el caso de poliedros no convexos, la figura del vértice también puede ser no convexa. Los politopos uniformes, por ejemplo, pueden tener polígonos estrellados como caras o como figuras de vértice.
Figuras isogonales
Las figuras de vértice son especialmente importantes para los politopos uniformes y otros politopos isogonales (con vértice transitivo) porque una sola figura de vértice puede definir todo el politopo.
Para poliedros con caras regulares, una figura de vértice se puede representar en notación de configuración de vértices , enumerando las caras en secuencia alrededor del vértice. Por ejemplo, 3.4.4.4 es un vértice con un triángulo y tres cuadrados, y define el rombicuboctaedro uniforme .
Si el politopo es isogonal, la figura del vértice existirá en una superficie hiperplana del espacio n .
Construcciones
Desde los vértices adyacentes
Al considerar la conectividad de estos vértices vecinos, se puede construir una figura de vértice para cada vértice de un politopo:
- Cada vértice de la figura de vértices coincide con un vértice del politopo original.
- Cada arista de la figura del vértice existe sobre o dentro de una cara del politopo original que conecta dos vértices alternos de una cara original.
- Cada cara de la figura del vértice existe sobre o dentro de una celda del n -politopo original (para n > 3).
- ...y así sucesivamente hasta los elementos de orden superior en politopos de orden superior.
Construcción de Dorman Luke
Para un poliedro uniforme, la cara del poliedro dual se puede encontrar a partir de la figura del vértice del poliedro original utilizando la construcción " Dorman Luke ".
politopos regulares
Si un politopo es regular, se puede representar mediante un símbolo de Schläfli y tanto la celda como la figura del vértice se pueden extraer fácilmente de esta notación.
En general, un politopo regular con el símbolo de Schläfli { a , b , c ,..., y , z } tiene celdas como { a , b , c ,..., y } y figuras de vértice como { b , c ,..., y , z }.
- Para un poliedro regular { p , q }, la figura del vértice es { q }, un q -gono.
- Por ejemplo, la figura del vértice de un cubo {4,3} es el triángulo {3}.
- Para una teselación regular de 4 politopos o que llena el espacio { p , q , r }, la figura del vértice es { q , r }.
- Por ejemplo, la figura del vértice para un hipercubo {4,3,3}, la figura del vértice es un tetraedro regular {3,3}.
- Además, la figura del vértice para un panal cúbico {4,3,4}, la figura del vértice es un octaedro regular {3,4}.
Dado que el politopo dual de un politopo regular también es regular y está representado por los índices del símbolo de Schläfli invertidos, es fácil ver que el dual de la figura del vértice es la celda del politopo dual. Para los poliedros regulares, este es un caso especial de la construcción de Dorman-Luke .
Un ejemplo de figura de vértice de un panal de abejas
La figura del vértice de un panal cúbico truncado es una pirámide cuadrada no uniforme. Un octaedro y cuatro cubos truncados se unen en cada vértice formando una teselación que llena el espacio .
Figura de borde
Relacionada con la figura de vértice , una figura de arista es la figura de vértice de una figura de vértice . [ 3 ] Las figuras de arista son útiles para expresar relaciones entre los elementos dentro de politopos regulares y uniformes.
Una figura de arista será un politopo ( n -2), que representa la disposición de las facetas alrededor de una arista dada. Los politopos uniformes de diagramas de Coxeter regulares y de anillo simple tendrán un único tipo de arista. En general, un politopo uniforme puede tener tantos tipos de aristas como espejos activos en la construcción, ya que cada espejo activo produce una arista en el dominio fundamental.
Los politopos regulares (y los panales de abejas) tienen una única figura de arista que también es regular. Para un politopo regular { p , q , r , s ,..., z }, la figura de arista es { r , s ,..., z }.
En cuatro dimensiones, la figura de arista de un politopo de 4 lados o un panal de abejas de 3 lados es un polígono que representa la disposición de un conjunto de facetas alrededor de una arista. Por ejemplo, la figura de arista para un panal de abejas cúbico regular {4,3,4} es un cuadrado , y para un politopo de 4 lados regular { p , q , r } es el polígono { r }.
De forma menos trivial, el panal cúbico truncado t 0,1 {4,3,4} tiene una figura de vértice de pirámide cuadrada , con celdas de cubo truncado y octaedro . Aquí hay dos tipos de figuras de arista . Una es una figura de arista cuadrada en el vértice de la pirámide. Esta representa los cuatro cubos truncados alrededor de una arista. Las otras cuatro figuras de arista son triángulos isósceles en los vértices de la base de la pirámide. Estas representan la disposición de dos cubos truncados y un octaedro alrededor de las otras aristas.
Véase también
- Enlace simplicial : un concepto abstracto relacionado con la figura del vértice.
- Lista de politopos regulares
Referencias
Notas
Bibliografía
- HSM Coxeter , Politopos regulares , Hbk (1948), ppbk (1973).
- HSM Coxeter (et al.), Poliedros uniformes, Phil. Trans . 246 A (1954) pp. 401–450.
- P. Cromwell, Poliedros , CUP rústica (1999).
- HM Cundy y AP Rollett, Modelos matemáticos , Oxford Univ. Press (1961).
- J. Skilling, El conjunto completo de poliedros uniformes, Phil. Trans . 278 A (1975) pp. 111–135.
- M. Wenninger, Modelos duales , CUP hbk (1983) ppbk (2003).
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5, (pág. 289 Figuras de vértice).
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Figura de vértice" . MundoMatemático .
- Olshevsky, George. "Figura de vértice" . Glosario de Hiperespacio . Archivado del original el 4 de febrero de 2007.
- Figuras de vértice
- Descripciones de vértices consistentes
- Poliedros
- politopos