Conjunto extremo

En matemáticas , más comúnmente en geometría convexa , un conjunto extremo o una cara de un conjunto.${\displaystyle C\subsetequ V}$en un espacio vectorial${\displaystyle V}$es un subconjunto${\displaystyle F\subsetequ C}$con la propiedad de que si para cualesquiera dos puntos${\displaystyle x,y\in C}$algún punto intermedio${\displaystyle z=\theta x+(1-\theta )y,\theta \in [0,1]}$se encuentra en${\displaystyle F}$, entonces debemos haber tenido${\displaystyle x,y\in F}$. ^{[ 1 ]}

Un punto extremo de${\displaystyle C}$es un punto${\displaystyle p\in C}$para qué${\displaystyle \{p\}}$es una cara. ^{[ 1 ]}

Un rostro expuesto de${\displaystyle C}$es el subconjunto de puntos de${\displaystyle C}$donde un funcional lineal alcanza su mínimo en${\displaystyle C}$. Por lo tanto, si${\displaystyle f}$es un funcional lineal en${\displaystyle V}$y${\displaystyle \alpha =\inf\{f(c)\ \colon c\in C\}>-\infty }$, entonces${\displaystyle \{c\in C\ \colon f(c)=\alpha \}}$es una cara expuesta de${\displaystyle C}$.

Un punto expuesto de${\displaystyle C}$es un punto ${\displaystyle p\in C}$de tal manera que${\displaystyle \{p\}}$es un rostro expuesto. Es decir,${\displaystyle f(p)>f(c)}$a pesar de${\displaystyle c\in C\setminus \{p\}}$.

Un rostro descubierto es un rostro, pero lo contrario no es cierto (ver la figura). Un rostro descubierto de${\displaystyle C}$es convexo si${\displaystyle C}$es convexa. Si${\displaystyle F}$es un rostro de${\displaystyle C\subsetequ V}$, entonces${\displaystyle E\subseteq F}$es un rostro de${\displaystyle F}$si y solo si${\displaystyle E}$es un rostro de${\displaystyle C}$.

Algunos autores no incluyen${\displaystyle C}$y/o${\displaystyle \varnothing }$entre los rostros (expuestos). Algunos autores requieren${\displaystyle F}$y/o${\displaystyle C}$ser convexo (de lo contrario, el límite de un disco es una cara del disco, así como cualquier subconjunto del límite) o cerrado. Algunos autores requieren la funcionalidad${\displaystyle f}$ser continuo en una topología vectorial dada .

• Cara (geometría)

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda  edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666OCLC 144216834​​ 

• ESPACIOS VECTORIALES TOPOLÓGICOS Y FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS , Capítulo III de ANÁLISIS FUNCIONAL, Lawrence Baggett, Universidad de Colorado Boulder.
• Análisis funcional , Peter Philip, Ludwig-Maximilians-universität München, 2024