Modelo Z N

El${\displaystyle Z_{N}}$El modelo (también conocido como modelo de reloj ) es un modelo de espín mecánico estadístico simplificado . Es una generalización del modelo de Ising . Aunque puede definirse en un grafo arbitrario , solo es integrable en redes unidimensionales y bidimensionales , en algunos casos especiales.

El${\displaystyle Z_{N}}$El modelo se define asignando un valor de giro en cada nodo.${\displaystyle r}$en un gráfico, con los giros tomando valores${\displaystyle s_{r}=\exp {\frac {2\pi iq}{N}}}$, dónde${\displaystyle q\in \{0,1,\ldots ,N-1\}}$. Por lo tanto, los espines toman valores en forma de raíces complejas de la unidad . En términos generales, podemos pensar en los espines asignados a cada nodo del${\displaystyle Z_{N}}$modelo como señalando en cualquiera de${\displaystyle N}$direcciones equidistantes. Los pesos de Boltzmann para un borde general${\displaystyle rr'}$son:

${\displaystyle w\left(r,r'\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x_{k}^{\left(rr'\right)}\left(s_{r}s_{r'}^{*}\right)^{k}}$

dónde${\displaystyle *}$denota conjugación compleja y la${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}}$están relacionadas con la fuerza de interacción a lo largo del borde${\displaystyle rr'}$. Tenga en cuenta que${\displaystyle x_{k}^{\left(rr'\right)}=x_{Nk}^{\left(rr'\right)}}$y${\displaystyle x_{0}}$a menudo se establecen en 1. Los pesos de Boltzmann (de valor real) son invariantes bajo las transformaciones.${\displaystyle s_{r}\rightarrow \omega ^{k}s_{r}}$y${\displaystyle s_{r}\rightarrow s_{r}^{*}}$, análogos a la rotación y reflexión universales respectivamente.

Existe una clase de soluciones para el${\displaystyle Z_{N}}$modelo definido en una red cuadrada anisotrópica en general . Si el modelo es autodual en el sentido de Kramers-Wannier y por lo tanto crítico , y la red es tal que hay dos posibles 'pesos'${\displaystyle x_{k}^{1}}$y${\displaystyle x_{k}^{2}}$Para las dos posibles orientaciones de borde, podemos introducir la siguiente parametrización en${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle x_{n}^{1}=x_{n}\left(\alpha \right)}$

${\displaystyle x_{n}^{2}=x_{n}\left(\pi -\alpha \right)}$–

Si se requiere que se cumplan la relación de dualidad y la relación estrella-triángulo , que garantiza la integrabilidad , es posible encontrar la solución:

${\displaystyle x_{n}\left(\alpha \right)=\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {\sin \left(\pi k/N+\alpha /2N\right)}{\sin \left[\pi \left(k+1\right)/N-\alpha /2N\right]}}}$

con${\displaystyle x_{0}=1}$. Este caso particular de la${\displaystyle Z_{N}}$El modelo se denomina a menudo modelo FZ, en honor a VA Fateev y AB Zamolodchikov, quienes calcularon por primera vez esta solución. El modelo FZ se aproxima al modelo XY en el límite cuando${\displaystyle N\rightarrow \infty }$También es un caso especial del modelo quiral de Potts y del modelo de Kashiwara-Miwa .

Como ocurre con la mayoría de los modelos reticulares en mecánica estadística , no se conocen soluciones exactas para el problema.${\displaystyle Z_{N}}$modelo en tres dimensiones. En dos dimensiones, sin embargo, es exactamente soluble en una red cuadrada para ciertos valores de${\displaystyle N}$y/o los 'pesos'${\displaystyle x_{k}}$. Quizás el ejemplo más conocido sea el modelo de Ising , que admite espines en dos direcciones opuestas (es decir,${\displaystyle s_{r}=\pm 1}$). Esto es precisamente el${\displaystyle Z_{N}}$modelo para${\displaystyle N=2}$y por lo tanto el${\displaystyle Z_{N}}$El modelo puede considerarse una generalización del modelo de Ising . Otros modelos exactamente solubles que corresponden a casos particulares del${\displaystyle Z_{N}}$El modelo incluye el modelo de Potts de tres estados , con${\displaystyle N=3}$y${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{c}}$, dónde${\displaystyle x_{c}}$es un cierto valor crítico (FZ), y el modelo crítico de Askin-Teller donde${\displaystyle N=4}$.

Una versión cuántica de la${\displaystyle Z_{N}}$El modelo de reloj se puede construir de manera análoga al modelo de Ising de campo transversal . El hamiltoniano de este modelo es el siguiente:

${\displaystyle H=-J\left[\sum _{\langle i,j\rangle }(Z_{i}^{\dagger }Z_{j}+Z_{i}Z_{j}^{\dagger })+g\sum _{j}(X_{j}+X_{j}^{\dagger })\right]}$

Aquí, los subíndices se refieren a sitios de la red y la suma${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$se realiza sobre pares de sitios vecinos más cercanos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$Las matrices de reloj${\displaystyle X_{j}}$y${\displaystyle Z_{j}}$son generalizaciones de las matrices de Pauli que satisfacen

${\displaystyle Z_{j}X_{k}=e^{{\frac {2\pi i}{N}}\delta _{j,k}}X_{k}Z_{j}}$

y

${\displaystyle X_{j}^{N}=Z_{j}^{N}=1}$

dónde${\displaystyle \delta _{j,k}}$es 1 si${\displaystyle j}$y${\displaystyle k}$son el mismo sitio y cero en caso contrario.${\displaystyle J}$es un prefactor con dimensiones de energía, y${\displaystyle g}$es otro coeficiente de acoplamiento que determina la fuerza relativa del campo externo en comparación con la interacción del vecino más cercano.

• VA Fateev y AB Zamolodchikov (1982); "Soluciones autoduales de las relaciones estrella-triángulo en${\displaystyle Z_{N}}$-modelos", Physics Letters A , 92, págs .  37-39
• MA Rajabpour y J. Cardy (2007); "Parafermiones discretamente holomorfos en una red${\displaystyle Z_{N}}$modelos" J. Phys. A 22 40, 14703 – 14714