Modelo de Ising de campo transversal

El modelo de Ising de campo transversal es una versión cuántica del modelo de Ising clásico . Presenta una red con interacciones entre vecinos próximos determinadas por la alineación o antialineación de las proyecciones de espín a lo largo de la${\displaystyle z}$eje, así como un campo magnético externo perpendicular al${\displaystyle z}$eje ( sin pérdida de generalidad , a lo largo del${\displaystyle x}$eje) lo que crea un sesgo energético para una dirección de giro del eje x sobre la otra.

Una característica importante de esta configuración es que, en un sentido cuántico, la proyección de espín a lo largo de la${\displaystyle x}$eje y la proyección de giro a lo largo del${\displaystyle z}$Los ejes no son magnitudes observables conmutativas. Es decir, no pueden observarse simultáneamente. Esto significa que la mecánica estadística clásica no puede describir este modelo, y se requiere un tratamiento cuántico.

Específicamente, el modelo tiene el siguiente hamiltoniano cuántico :

${\displaystyle H=-J\left(\sum _{\langle i,j\rangle }Z_{i}Z_{j}+g\sum _{j}X_{j}\right)}$

Aquí, los subíndices se refieren a sitios de la red y la suma${\displaystyle \sum _{\langle i,j\rangle }}$se realiza sobre pares de sitios vecinos más cercanos${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$.${\displaystyle X_{j}}$y${\displaystyle Z_{j}}$Son representaciones de elementos del álgebra de espín ( matrices de Pauli , en el caso de espín 1/2) que actúan sobre las variables de espín de los sitios correspondientes. Anticonmutan entre sí si están en el mismo sitio y conmutan entre sí si están en sitios diferentes.${\displaystyle J}$es un prefactor con dimensiones de energía, y${\displaystyle g}$es otro coeficiente de acoplamiento que determina la fuerza relativa del campo externo en comparación con la interacción del vecino más cercano.

A continuación, la discusión se restringe al caso unidimensional donde cada sitio de la red es un espacio de Hilbert complejo bidimensional (es decir, representa una partícula de espín 1/2). Para simplificar, aquí${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$se normalizan para que cada uno tenga determinante -1. El hamiltoniano posee un${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$grupo de simetría, ya que es invariante bajo la operación unitaria de voltear todos los espines en el${\displaystyle z}$dirección. Más precisamente, la transformación de simetría viene dada por la unitaria${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$.

El modelo 1D admite dos fases, dependiendo de si el estado fundamental (específicamente, en el caso de degeneración, un estado fundamental que no es un estado macroscópicamente entrelazado) rompe o preserva lo antes mencionado.${\displaystyle \prod _{j}X_{j}}$Simetría de inversión de espín. El signo de${\displaystyle J}$no afecta la dinámica, ya que el sistema con positivo${\displaystyle J}$se puede mapear en el sistema con negativo${\displaystyle J}$realizando una${\displaystyle \pi }$rotación alrededor${\displaystyle X_{j}}$por cada segundo sitio${\displaystyle j}$.

El modelo puede resolverse exactamente para todas las constantes de acoplamiento. Sin embargo, en términos de espines locales, la solución suele ser muy difícil de expresar explícitamente en función de las variables de espín. Es más conveniente expresar la solución explícitamente en términos de variables fermiónicas definidas por la transformación de Jordan-Wigner , en cuyo caso los estados excitados tienen una descripción simple de cuasipartícula o cuasihueco.

Es posible reescribir las variables de espín como variables fermiónicas, utilizando una transformación altamente no local conocida como la transformación de Jordan-Wigner. ^{[ 3 ]}

Un operador de creación de fermiones en el sitio${\displaystyle j}$puede definirse como${\displaystyle c_{j}^{\dagger }={\frac {1}{2}}(Z_{j}+iY_{j})\prod _{k<j}X_{k}}$. Entonces, el hamiltoniano de Ising de campo transversal (suponiendo una cadena infinita e ignorando los efectos de frontera) puede expresarse completamente como una suma de términos cuadráticos locales que contienen operadores de creación y aniquilación .

${\displaystyle H=-J\sum _{j}(c_{j}^{\dagger }c_{j+1}+c_{j+1}^{\dagger }c_{j}+c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}+2g(c_{j}^{\dagger }c_{j}-1/2))}$

Este hamiltoniano no conserva el número total de fermiones y no tiene la relación asociada.${\displaystyle U(1)}$simetría continua global , debido a la presencia de la${\displaystyle c_{j}^{\dagger }c_{j+1}^{\dagger }+c_{j+1}c_{j}}$término. Sin embargo, conserva la paridad de los fermiones. Es decir, el hamiltoniano conmuta con el operador cuántico que indica si el número total de fermiones es par o impar, y esta paridad no cambia bajo la evolución temporal del sistema. El hamiltoniano es matemáticamente idéntico al de un superconductor en el formalismo de campo medio de Bogoliubov-de Gennes y puede entenderse completamente de la misma manera estándar. El espectro de excitación exacto y los autovalores pueden determinarse mediante la transformada de Fourier en el espacio de momentos y la diagonalización del hamiltoniano. En términos de fermiones de Majorana${\displaystyle a_{j}=c_{j}^{\dagger }+c_{j}}$y${\displaystyle b_{j}=-i(c_{j}^{\dagger }-c_{j})}$, el hamiltoniano adopta una forma aún más simple (salvo una constante aditiva):

${\displaystyle H=i\sum _{j}J(a_{j+1}b_{j}+gb_{j}a_{j})}$.

Una transformación no local de matrices de Pauli conocida como la transformación de dualidad de Kramers-Wannier se puede realizar de la siguiente manera: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {X_{j}}}&=Z_{j}Z_{j+1}\\{\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}&=X_{j+1}\end{aligned}}}$$ Entonces, en términos de las matrices de Pauli recientemente definidas con tildes, que obedecen las mismas relaciones algebraicas que las matrices de Pauli originales, el hamiltoniano es simplemente${\displaystyle H=-Jg\sum _{j}({\tilde {Z}}_{j}{\tilde {Z}}_{j+1}+g^{-1}{\tilde {X}}_{j})}$Esto indica que el modelo con parámetro de acoplamiento${\displaystyle g}$es dual al modelo con parámetro de acoplamiento${\displaystyle g^{-1}}$y establece una dualidad entre la fase ordenada y la fase desordenada. En términos de los fermiones de Majorana mencionados anteriormente, esta dualidad se manifiesta más obviamente en el reetiquetado trivial.${\displaystyle a_{j}\to b_{j},b_{j}\to a_{j+1}}$.

Tenga en cuenta que existen algunas consideraciones sutiles en los límites de la cadena de Ising; como resultado de estas, la degeneración y${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$Las propiedades de simetría de las fases ordenadas y desordenadas cambian bajo la dualidad de Kramers-Wannier.

El modelo cuántico de Potts de q estados y el${\displaystyle Z_{q}}$Los modelos de reloj cuántico son generalizaciones del modelo de Ising de campo transversal a sistemas de red con${\displaystyle q}$estados por sitio. El modelo de Ising de campo transversal representa el caso donde${\displaystyle q=2}$.

El modelo de Ising de campo transversal cuántico en${\displaystyle d}$Las dimensiones son duales a un modelo de Ising clásico anisotrópico en${\displaystyle d+1}$dimensiones. ^{[ 5 ]}