Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Chiral Potts model

The chiral Potts model is a spin model on a planar lattice in statistical mechanics studied by Helen Au-Yang Perk and Jacques Perk, among others. It may be viewed as a generaliz...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

The chiral Potts model is a spin model on a planar lattice in statistical mechanics studied by Helen Au-Yang Perk and Jacques Perk, among others. It may be viewed as a generalization of the Potts model, and as with the Potts model, the model is defined by configurations which are assignments of spins to each vertex of a graph, where each spin can take one of N{\displaystyle N} values. To each edge joining vertices with assigned spins n{\displaystyle n} and n′{\displaystyle n'}, a Boltzmann weightW(n,n′){\displaystyle W(n,n')} is assigned. For this model, chiral means that W(n,n′)≠W(n′,n){\displaystyle W(n,n')\neq W(n',n)}. When the weights satisfy the Yang–Baxter equation, it is integrable, in the sense that certain quantities can be exactly evaluated.

For the integrable chiral Potts model, the weights are defined by a high genuscurve, the chiral Potts curve.[1][2] Unlike the other solvable models,[3][4] whose weights are parametrized by curves of genus less or equal to one, so that they can be expressed in terms of trigonometric functions, rational functions for the genus zero case, or by theta functions for the genus 1 case, this model involves high genus theta functions, for which the theory is less well-developed.

The related chiral clock model, which was introduced in the 1980s by David Huse and Stellan Ostlund independently, is not exactly solvable, in contrast to the chiral Potts model.

The model

This model is out of the class of all previously known models and raises a host of unsolved questions which are related to some of the most intractable problems of algebraic geometry which have been with us for 150 years. The chiral Potts models are used to understand the commensurate-incommensurate phase transitions.[5] For N = 3 and 4, the integrable case was discovered in 1986 in Stony Brook and published the following year.[1][6]

Self-dual case

El modelo se denomina autodual si la transformada de Fourier de la función de peso devuelve la misma función. Un caso especial (género 1) fue resuelto en 1982 por Fateev y Zamolodchikov . [ 7 ] Al eliminar ciertas restricciones del trabajo de Alcaraz y Santos, [ 8 ] se descubrió un caso autodual más general del modelo de Potts quiral integrable. [ 1 ] Los pesos se dan en forma de producto [ 9 ] [ 10 ] y se muestra que los parámetros en el peso están en la curva de Fermat , con género mayor que 1.

Caso general

Se halló la solución general para todos los k (la variable de temperatura). [ 2 ] Los pesos también se dieron en forma de producto y se comprobó computacionalmente (en Fortran ) que satisfacen la relación estrella-triángulo. La demostración se publicó posteriormente. [ 11 ]

Resultados

Parámetro de orden

A partir de la serie [ 5 ] [ 12 ] se conjeturó [ 13 ] que el parámetro de orden tiene la forma simple ⟨σnorte⟩=(1−k′2)β,β=norte(norte−norte)/2norte2.{\displaystyle \langle \sigma ^{n}\rangle =(1-k'^{2})^{\beta },\quad \beta =n(Nn)/2N^{2}.} Se necesitaron muchos años para probar esta conjetura, ya que la técnica habitual de la matriz de transferencia de esquina no se podía utilizar debido a la curva de género superior. Esta conjetura fue probada por Baxter en 2005 [ 14 ] [ 15 ] utilizando ecuaciones funcionales y la técnica de la "línea de rapidez rota" de Jimbo et al. [ 16 ] asumiendo dos condiciones de analiticidad suaves del tipo comúnmente utilizado en el campo de los modelos integrables de Yang-Baxter. Más recientemente, en una serie de artículos [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] se ha dado una forma algebraica ( tipo Ising ) de obtener el parámetro de orden, lo que proporciona una mayor comprensión de la estructura algebraica.

Conexión con el modelo de seis vértices

En 1990, Bazhanov y Stroganov [ 24 ] demostraron que existen operadores L ( operador de Lax ) que satisfacen la ecuación de Yang-Baxter.

Li1αj1β(incógnita)Li2βj2γ(y)Rj1j2k1k2(y/incógnita)=Ri1i2j1j2(y/incógnita)Lj2αk2β(y)Lj1βk1γ(incógnita),0<i,j,k≤1,0≤α,β,γ≤norte−1.{\displaystyle L_{i_{1}\alpha }^{j_{1}\beta }(x)L_{i_{2}\beta }^{j_{2}\gamma }(y)R_{j_{1}j_{2}}^{k_{1}k_{2}}(y/x)=R_{i_{1}i_{2}}^{j_{1}j_{2}}(y/x)L_{j_{2}\alpha }^{k_{2}\beta }(y)L_{j_{1}\beta }^{k_{1}\gamma }(x),\quad 0<i,j,k\leq 1,\quad 0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq N-1.}

donde el operador R de 2 × 2 ( matriz R ) es la matriz R del modelo de seis vértices (véase Modelo de vértices ). Se demostró que el producto de cuatro pesos de Potts quirales S entrelaza dos operadores L como

Li1α1i2α2L^i2β1i3β2Sα2β2α3β3=Sα1β1α2β2L^i1β2i2β3Li2α2i3α3,0<ii≤1,0≤αi,βi≤norte−1.{\displaystyle L_{i_{1}\alpha _{1}}^{i_{2}\alpha _{2}}{\hat {L}}_{i_{2}\beta _{1}}^{i_{3}\beta _{2}}S_{\alpha _{2}\beta _{2}}^{\alpha _{3}\beta _{3}}=S_{\alpha _{1}\beta _{1}}^{\alpha _{2}\beta _{2}}{\hat {L}}_{i_{1}\beta _{2}}^{i_{2}\beta _{3}}L_{i_{2}\alpha _{2}}^{i_{3}\alpha _{3}},\quad 0<i_{i}\leq 1,\quad 0\leq \alpha _{i},\beta _{i}\leq N-1.}

Esto inspiró un gran avance, a saber, se descubrieron las relaciones funcionales para las matrices de transferencia de los modelos de Potts quirales. [ 25 ]

Energía libre y tensión interfacial

Utilizando estas relaciones funcionales, Baxter pudo calcular los autovalores de la matriz de transferencia del modelo quiral de Potts, [ 26 ] y obtuvo el exponente crítico para el calor específico α=1-2/N, que también fue conjeturado en la referencia 12. También calculó la tensión interfacial con el exponente μ=1/2+1/N. [ 27 ] [ 28 ]

Relación con la teoría de nudos

Los pesos de Potts quirales integrables se dan en forma de producto [ 2 ] como

Wpagq(norte)=(μpagμq)norte∏j=1norteyq−incógnitapagωjypag−incógnitaqωj,W¯pagq(norte)=(μpagμq)norte∏j=1norteωincógnitapag−incógnitaqωjyq−ypagωj,{\displaystyle W_{pq}(n)\!=\!{\Big (}{\mu _{p} \over \mu _{q}}{\Big )}^{\!\!n}\prod _{j=1}^{n}{y_{q}-x_{p}\omega ^{j} \over y_{p}-x_{q}\omega ^{j}},\quad {\overline {W}}_{pq}(n)\!=\!{\big (}{\mu _{p}\mu _{q}}{\big )}^{\!n}\!\prod _{j=1}^{n}{\omega x_{p}\!-\!x_{q}\omega ^{j} \over y_{q}\!-\!y_{p}\omega ^{j}},}

dóndeωnorte=1{\displaystyle \omega ^{N}=1}es una raíz primitiva de la unidad y asociamos a cada variable de rapidez p tres variables(incógnitapag,ypag,μpag){\displaystyle (x_{p},y_{p},\mu _{p})}satisfactorio

incógnitapagnorte+ypagnorte=k(1+incógnitapagnorteypagnorte),k′2+k2=1,k′μpagnorte=1−kypagnorte,k′μpag−norte=1−kincógnitapagnorte.{\displaystyle x_{p}^{N}+y_{p}^{N}=k(1+x_{p}^{N}y_{p}^{N}),\quad k'^{2}+k^{2}=1,\quad k'\mu _{p}^{N}=1-ky_{p}^{N},\quad k'\mu _{p}^{-N}=1-kx_{p}^{N}.}

Es fácil ver que

Wpagpag(a−b)=1,W¯pagpag(a−b)=δa,b{\displaystyle W_{pp}(a-b)=1,\quad {\overline {W}}_{pp}(a-b)=\delta _{a,b}}

lo cual es similar al movimiento de Reidemeister I. También se sabía que los pesos satisfacen la relación de inversión,

Wpagq(a−b)Wqpag(a−b)=1,∑d=0norte−1W¯pagq(a−d)W¯qpag(d−a′)=rpagqδa,a′.{\displaystyle W_{pq}(a-b)W_{qp}(a-b)=1,\quad \sum _{d=0}^{N-1}{\overline {W}}_{pq}(a-d){\overline {W}}_{qp}(d-a')=r_{pq}\delta _{a,a'}.}

Esto es equivalente al movimiento II de Reidemeister. La relación estrella-triángulo

∑d=1norteW¯pagr(a−d)Wpagq(d−do)W¯rq(d−b)=RpagqrW¯pagq(a−b)Wpagr(b−do)Wrq(a−do){\displaystyle \sum _{d=1}^{N}\,{\overline {W}}_{pr}(a-d)\,W_{pq}(d-c)\,{\overline {W}}_{rq}(d-b)=R_{pqr}\,{\overline {W}}_{pq}(a-b)\,{W}_{pr}(b-c)\,W_{rq}(a-c)}

es equivalente al movimiento III de Reidemeister. Estos se muestran en las figuras a continuación. [ 29 ]

Propiedad de los pesos: Movimiento de Reidemeister I
Propiedad de los pesos: Movimiento de Reidemeister I
Relación de inversión de los pesos: Movimiento de Reidemeister II
Relación de inversión de los pesos: Movimiento de Reidemeister II
Relación estrella-triángulo: Movimiento de Reidemeister III
Relación estrella-triángulo: Movimiento de Reidemeister III
Pesos de los modelos de Potts quirales integrables

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Au-Yang, Helen; McCoy, Barry M.; Perk, Jacques HH; Tang, Shuang; Yan, Mu-Lin (10 de agosto de 1987). "Matrices de transferencia conmutativas en los modelos de Potts quirales: Soluciones de ecuaciones estrella-triángulo con género>1" . Physics Letters A. 123 ( 5): 219–223 . doi : 10.1016/0375-9601(87)90065-X . ISSN 0375-9601 . 
  2. 1 2 3 Baxter, RJ; Perk, JHH; Au-Yang, H. (28 de marzo de 1988). "Nuevas soluciones de las relaciones estrella-triángulo para el modelo quiral de Potts" . Physics Letters A. 128 ( 3): 138– 142. doi : 10.1016/0375-9601(88)90896-1 . ISSN 0375-9601 . Recuperado el 10 de julio de 2023 . 
  3. ↑ Baxter, Rodney J. (2007). Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística . Mineola, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0486462714.
  4. ↑ McCoy, Barry M. (2010). Mecánica estadística avanzada . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0199556632.
  5. 1 2 S. Howes, LP Kadanoff y M. den Nijs (1983), Física Nuclear B 215 , 169.
  6. ↑ McCoy BM, Perk JHH, Tang S. y Sah CH (1987), "Matrices de transferencia conmutativas para el modelo de Potts quiral autodual de 4 estados con una curva de Fermat uniformizante de género 3", Physics Letters A 125 , 9–14.
  7. ↑ Fateev, VA; Zamolodchikov, AB (18 de octubre de 1982). "Soluciones autoduales de las relaciones estrella-triángulo en modelos ZN" . Physics Letters A. 92 ( 1): 37–39 . doi : 10.1016/0375-9601(82)90736-8 . ISSN 0375-9601 . Consultado el 11 de julio de 2023 . 
  8. ↑ Alcaraz, Francisco C.; Lima Santos, A. (24 de noviembre de 1986). "Leyes de conservación para modelos de espín cuántico simétricos Z(N) y sus energías exactas del estado fundamental" . Nuclear Physics B. 275 ( 3): 436– 458. doi : 10.1016/0550-3213(86)90608-5 . ISSN 0550-3213 . 
  9. ↑ H. Au-Yang, BM McCoy, JHH Perk y S. Tang (1988), "Modelos resolubles en mecánica estadística y superficies de Riemann de género mayor que uno", en Análisis algebraico , vol. 1, M. Kashiwara y T. Kawai, eds., Academic Press, págs. 29–40.
  10. ↑ JHH Perk (1987), "Ecuaciones estrella-triángulo, pares de Lax cuánticos y curvas de género superior", en Proc. 1987 Summer Research Institute on Theta Functions , Proc. Symp. Pure Math., Vol. 49, parte 1 (Am. Math. Soc., Providence, RI, 1989), pp. 341–354.
  11. ↑ Au-Yang H y Perk JHH (1989). "La ecuación estrella-triángulo de Onsager: clave maestra para la integrabilidad", Actas del Simposio Taniguchi, Kioto, octubre de 1988 , Estudios avanzados en matemáticas puras, vol. 19 (Tokio: Kinokuniya–Academic), págs. 57–94
  12. ↑ M. Henkel y J. Lacki, preimpresión Bonn-HE-85–22 y "Cadenas cuánticas quirales integrables $Z_n$ y una nueva clase de sumas trigonométricas", Phys. Lett. 138A 105 (1989)
  13. ↑ Albertini G., McCoy BM, Perk JHH y Tang S. (1989), "Espectro de excitación y parámetro de orden para elmodelo de Potts quiral de N estados integrable", Nuclear Physics B 314 , 741–763
  14. ↑ Baxter RJ (2005), "Derivación del parámetro de orden del modelo quiral de Potts", Physical Review Letters , 94 130602 (3 pp) arXiv:cond-mat/0501227 .
  15. ↑ Baxter RJ (2005), "El parámetro de orden del modelo quiral de Potts", Journal of Statistical Physics 120 , 1–36: arXiv:cond-mat/0501226 .
  16. ↑ Jimbo M., Miwa T. y Nakayashiki A. (1993), "Ecuaciones en diferencias para las funciones de correlación del modelo de ocho vértices", Journal of Physics A : Math. Gen. 26 , 2199–210: arXiv:hep-th/9211066 .
  17. ↑ Baxter RJ (2008) "Reducción algebraica del modelo de Ising", Journal of Statistical Physics 132 , 959–82, arXiv:0803.4036 ;
  18. ↑ Baxter RJ (2008), "Una conjetura para el modelo de Potts quiral superintegrable", Journal of Statistical Physics 132 , 983–1000, arXiv:0803.4037 ;
  19. ↑ Baxter RJ (2009), "Algunas observaciones sobre una generalización del modelo de Potts quiral superintegrable", Journal of Statistical Physics 137 , 798–813, arXiv:0906.3551 ;
  20. ↑ Baxter RJ (2010), "Magnetización espontánea del modelo quiral de Potts superintegrable: cálculo del determinante D PQ ", Journal of Physics A 43 , 145002 (16pp) arXiv:0912.4549 .
  21. ↑ Baxter RJ (2010), "Prueba de la forma determinante de la magnetización espontánea del modelo quiral de Potts superintegrable", Australian & New Zealand Industrial and Applied Mathematics Journal , 51 arXiv:1001.0281 .
  22. ↑ Iorgov N., Pakuliak S., Shadura V., Tykhyy Yu y von Gehlen G. (2009), "Elementos de matriz del operador de espín en la cadena cuántica quiral superintegrable de Potts", Journal of Statistical Physics 139 , 743–68 arXiv:0912.5027 .
  23. ↑ Au-Yang H y Perk JHH (2011), "Magnetización espontánea del modelo de Potts quiral integrable", Journal of Physics A 44 , 445005 (20pp), arXiv:1003.4805 .
  24. ↑ VV Bazhanov y Yu. G. Stroganov (1990), "Modelo de Potts quiral como descendiente del modelo de seis vértices", Journal of Statistical Physics 59 , pp 799–817.
  25. ↑ Baxter RJ, Bazhanov VV y Perk JHH (1990), "Relaciones funcionales para matrices de transferencia del modelo quiral de Potts", International Journal of Modern Physics B 4 , 803–70.
  26. ↑ Baxter RJ (1991), "Cálculo de los valores propios de la matriz de transferencia del modelo quiral de Potts", Actas de la Cuarta Conferencia de Física de Asia Pacífico (Singapur: World Scientific) pp 42–58.
  27. ↑ Baxter RJ (1993), "Modelo de Potts quiral con condiciones de contorno sesgadas", Journal of Statistical Physics 73 , 461–95.
  28. ↑ Baxter RJ (1994), "Tensión interfacial del modelo quiral de Potts", Journal of Physics A 27 , pp 1837–49.
  29. ^ Au-Yang Helen, Beneficio HH Jacques (2016), arXiv:1601.01014