Modelo de vértice

Un modelo de vértice es un tipo de modelo de mecánica estadística en el que los pesos de Boltzmann están asociados a un vértice del modelo (que representa un átomo o partícula). ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esto contrasta con un modelo de vecinos más cercanos, como el modelo de Ising , en el que la energía, y por lo tanto el peso de Boltzmann de un microestado estadístico, se atribuye a los enlaces que conectan dos partículas vecinas. La energía asociada a un vértice en la red de partículas depende, por lo tanto, del estado de los enlaces que lo conectan a los vértices adyacentes. Resulta que toda solución de la ecuación de Yang-Baxter con parámetros espectrales en un producto tensorial de espacios vectoriales${\displaystyle V\otimes V}$produce un modelo de vértice exactamente soluble.

Aunque el modelo se puede aplicar a diversas geometrías en cualquier número de dimensiones, con cualquier número de estados posibles para un enlace dado, los ejemplos más fundamentales se dan en redes bidimensionales, siendo la más simple una red cuadrada donde cada enlace tiene dos estados posibles. En este modelo, cada partícula está conectada a otras cuatro partículas, y cada uno de los cuatro enlaces adyacentes a la partícula tiene dos estados posibles, indicados por la dirección de una flecha en el enlace. En este modelo, cada vértice puede adoptar${\displaystyle 2^{4}}$posibles configuraciones. La energía para un vértice dado puede ser dada por${\displaystyle \varepsilon _{ij}^{k\ell }}$,

donde el estado de la red es una asignación de un estado a cada enlace, y la energía total del estado es la suma de las energías de los vértices. Dado que la energía suele divergir para una red infinita, el modelo se estudia para una red finita a medida que la red tiende a un tamaño infinito. Se pueden imponer condiciones de contorno periódicas o de pared de dominio ^{[ 3 ]} al modelo.

Para un estado dado de la red, el peso de Boltzmann se puede escribir como el producto sobre los vértices de los pesos de Boltzmann de los estados de vértice correspondientes.

${\displaystyle \exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{estado}}))=\prod _{\mbox{vértices}}\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$

donde se escriben los pesos de Boltzmann para los vértices

${\displaystyle R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })}$,

y los valores i , j , k , l abarcan los posibles estados de cada una de las cuatro aristas unidas al vértice. Los estados de los vértices adyacentes deben satisfacer condiciones de compatibilidad a lo largo de las aristas de conexión (enlaces) para que el estado sea admisible.

La probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado en un momento concreto, y por lo tanto las propiedades del sistema, están determinadas por la función de partición , para la cual se desea una forma analítica.

${\displaystyle \mathbb {Z} =\sum _{\mbox{estados}}\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{estado}}))}$

donde β = 1/ kT , T es la temperatura y k es la constante de Boltzmann . La probabilidad de que el sistema se encuentre en un estado determinado ( microestado ) viene dada por

${\displaystyle {\frac {\exp(-\beta \varepsilon ({\mbox{estado}}))}{\mathbb {Z} }}}$

de modo que el valor promedio de la energía del sistema viene dado por

${\displaystyle \langle \varepsilon \rangle ={\frac {\sum _{\mbox{estados}}\varepsilon \exp(-\beta \varepsilon )}{\sum _{\mbox{estados}}\exp(-\beta \varepsilon )}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z} }$

Para evaluar la función de partición, primero hay que examinar los estados de una fila de vértices.

Los bordes externos son variables libres, con suma sobre los enlaces internos. Por lo tanto, forman la función de partición de filas.

${\displaystyle T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots l_{N}}=\sum _{r_{1},\dots ,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{1}}^{r_{1}\ell _{1}}R_{r_{1}k_{2}}^{r_{2}\ell _{2}}\cdots R_{r_{N-1}k_{N}}^{i'_{1}\ell _{N}}}$

Esto puede reformularse en términos de un espacio vectorial auxiliar n -dimensional V , con una base${\displaystyle \{v_{1},\ldots,v_{n}\}}$, y${\displaystyle R\in End(V\otimes V)}$como

${\displaystyle R(v_{i}\otimes v_{j})=\sum _{k,\ell }R_{ij}^{k\ell }v_{k}\otimes v_{\ell }}$

y${\displaystyle T\in End(V\otimes V^{\otimes N})}$como

${\displaystyle T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{1}}\otimes \cdots \otimes v_{k_{N}})=\sum _{i'_{1},\ell _{1},\dots \ell _{N}}T_{i_{1}k_{1}\dots k_{N}}^{i'_{1}\ell _{1}\dots \ell _{N}}v_{i'_{1}}\otimes v_{\ell _{1}}\otimes \cdots \otimes v_{\ell _{N}}}$

lo que implica que T puede escribirse como

${\displaystyle T=R_{0N}\cdots R_{02}R_{01},}$

donde los índices indican los factores del producto tensorial${\displaystyle V\otimes V^{\otimes N}}$sobre el cual opera R. Sumando sobre los estados de los enlaces en la primera fila con las condiciones de contorno periódicas.${\displaystyle i_{1}=i'_{1}}$, da

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}},}$

dónde${\displaystyle \tau =\operatorname {trace} _{V}(T)}$es la matriz de transferencia de filas.

Al sumar las contribuciones de dos filas, el resultado es

${\displaystyle (\operatorname {trace} _{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}(\operatorname {trace} _{V}(T))_{j_{1}\dots j_{N}}^{k_{1}\dots k_{N}}.}$

que al sumarse sobre los enlaces verticales que conectan las dos primeras filas da como resultado:${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$ para M filas, esto da como resultado

${\displaystyle ((\operatorname {trace} _{V}(T))^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}$

y luego aplicando las condiciones de contorno periódicas a las columnas verticales, la función de partición se puede expresar en términos de la matriz de transferencia.${\displaystyle \tau }$como

${\displaystyle \mathbb {Z} =\operatorname {trace} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\sim \lambda _{max}^{M}}$

dónde${\displaystyle \lambda _{max}}$es el mayor valor propio de${\displaystyle \tau }$. La aproximación se deriva del hecho de que los valores propios de${\displaystyle \tau ^{M}}$son los valores propios de${\displaystyle \tau }$elevado a la potencia de M , y como${\displaystyle M\rightarrow \infty }$, la potencia del mayor valor propio se vuelve mucho mayor que los demás. Como la traza es la suma de los valores propios, el problema de calcular${\displaystyle \mathbb {Z} }$se reduce al problema de encontrar el valor propio máximo de${\displaystyle \tau }$. Esto en sí mismo es otro campo de estudio. Sin embargo, un enfoque estándar al problema de encontrar el mayor valor propio de${\displaystyle \tau }$es encontrar una gran familia de operadores que se desplacen con${\displaystyle \tau }$Esto implica que los autoespacios son comunes y restringe el espacio posible de soluciones. Dicha familia de operadores conmutativos se suele encontrar mediante la ecuación de Yang-Baxter , que relaciona así la mecánica estadística con el estudio de los grupos cuánticos .

Definición : Un modelo de vértice es integrable si,${\displaystyle \forall \mu ,\nu ,\exists \lambda }$de tal manera que

${\displaystyle R_{12}(\lambda )R_{13}(\mu )R_{23}(\nu )=R_{23}(\nu )R_{13}(\mu )R_{12}(\lambda )}$

Esta es una versión parametrizada de la ecuación de Yang-Baxter, que corresponde a la posible dependencia de las energías de los vértices y, por lo tanto, de los pesos de Boltzmann R con respecto a parámetros externos, como la temperatura, los campos externos, etc.

La condición de integrabilidad implica la siguiente relación.

Proposición : Para un modelo de vértice integrable, con${\displaystyle \lambda ,\mu }$y${\displaystyle \nu }$definido como arriba, entonces

${\displaystyle R(\lambda )(1\otimes T(\mu ))(T(\nu )\otimes 1)=(T(\nu )\otimes 1)(1\otimes T(\mu ))R(\lambda )}$

como endomorfismos de${\displaystyle V\otimes V\otimes V^{\otimes N}}$, dónde${\displaystyle R(\lambda )}$actúa sobre los dos primeros vectores del producto tensorial.

A continuación, multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por la derecha, se obtiene:${\displaystyle R(\lambda )^{-1}}$y utilizando la propiedad cíclica del operador traza, se cumple el siguiente corolario.

Corolario : Para un modelo de vértice integrable para el cual${\displaystyle R(\lambda )}$es invertible${\displaystyle \forall \lambda }$, la matriz de transferencia${\displaystyle \tau (\mu )}$se desplaza con${\displaystyle \tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu }$.

Esto ilustra el papel de la ecuación de Yang-Baxter en la solución de modelos reticulares resolubles. Dado que las matrices de transferencia${\displaystyle \tau }$transporte para todos${\displaystyle \lambda ,\nu }$, los autovectores de${\displaystyle \tau }$son comunes y, por lo tanto, independientes de la parametrización. Es un tema recurrente que aparece en muchos otros tipos de modelos de mecánica estadística: la búsqueda de estas matrices de transferencia conmutativas.

De la definición de R anterior, se deduce que para cada solución de la ecuación de Yang-Baxter en el producto tensorial de dos espacios vectoriales n- dimensionales, existe un modelo de vértice resoluble bidimensional correspondiente donde cada uno de los enlaces puede estar en los estados posibles.${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$, donde R es un endomorfismo en el espacio generado por${\displaystyle \{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n}$Esto motiva la clasificación de todas las representaciones irreducibles de dimensión finita de un álgebra cuántica dada con el fin de encontrar modelos resolubles que le correspondan.

• Modelo de seis vértices

  

• Modelo de ocho vértices

  

• Modelo de diecinueve vértices (modelo de Izergin-Korepin) ^{[ 4 ]}