Modelo de ocho vértices

En mecánica estadística , el modelo de ocho vértices es una generalización de los modelos de tipo hielo (de seis vértices) . Fue analizado por T. Bill Sutherland ^{[ 1 ]} y C. Fan y F. Y. Wu ^{[ 2 ]} , y resuelto por Rodney Baxter en el caso de campo cero ^{[ 3 ] .}

Descripción

Al igual que los modelos de tipo hielo, el modelo de ocho vértices es un modelo de red cuadrada , donde cada estado es una configuración de flechas en un vértice. Los vértices permitidos tienen un número par de flechas que apuntan hacia ellos; estas incluyen las seis heredadas del modelo de tipo hielo (1-6), los sumideros (7) y las fuentes (8).

Los ocho vértices permitidos.

Consideramos que un $N\times N$ celosía, con $N^{2}$ vértices y $2N^{2}$ bordes. Imponer condiciones de contorno periódicas requiere que los estados 7 y 8 ocurran con la misma frecuencia, al igual que los estados 5 y 6, y por lo tanto se puede considerar que tienen la misma energía. Para el caso de campo cero, lo mismo es cierto para los otros dos pares de estados. Cada vértice $j$ tiene una energía asociada $\epsilon _{j}$ y peso de Boltzmann

w_{j}=\exp \left(-{\frac {\epsilon _{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)

dando la función de partición sobre la red como

Z=\sum \exp \left(-{\frac {\sum _{j}n_{j}\epsilon _{j}}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)

donde la suma externa se realiza sobre todas las configuraciones permitidas de vértices en la red. En esta forma general, la función de partición permanece sin resolver.

Solución en el caso de campo cero

El caso de campo cero del modelo corresponde físicamente a la ausencia de campos eléctricos externos. Por lo tanto, el modelo permanece inalterado al invertir todas las flechas. En consecuencia, los estados 1 y 2, y 3 y 4, deben aparecer como pares. A los vértices se les pueden asignar pesos arbitrarios.

{\begin{aligned}w_{1}=w_{2}&=a\\w_{3}=w_{4}&=b\\w_{5}=w_{6}&=c\\w_{7}=w_{8}&=d.\end{aligned}}

La solución se basa en la observación de que las filas de las matrices de transferencia conmutan, para una determinada parametrización de estos cuatro pesos de Boltzmann. Esto surgió como una modificación de una solución alternativa para el modelo de seis vértices que utiliza funciones theta elípticas .

Matrices de transferencia de conmutación

La prueba se basa en el hecho de que cuando $\Delta '=\Delta$ y $\Gamma '=\Gamma$ , para cantidades

{\begin{aligned}\Delta &={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}{2(ab+cd)}}\\\Gamma &={\frac {ab-cd}{ab+cd}}\end{aligned}}

las matrices de transferencia $T$ y $T'$ (asociados a los pesos) $a$ , $b$ , $c$ , $d$ y $a'$ , $b'$ , $c'$ , $d'$ ) conmutan. Utilizando la relación estrella-triángulo , Baxter reformuló esta condición como equivalente a una parametrización de los pesos dados como

a:b:c:d=\operatorname {snh} (\eta -u):\operatorname {snh} (\eta +u):\operatorname {snh} (2\eta ):k\operatorname {snh} (2\eta )\operatorname {snh} (\eta -u)\operatorname {snh} (\eta +u)

para módulo fijo $k$ y $\eta$ y variable $u$ Aquí snh es el análogo hiperbólico de sn, dado por

{\begin{aligned}\operatorname {snh} (u)&=-i\operatorname {sn} (iu)=i\operatorname {sn} (-iu)\\{\text{where }}\operatorname {sn} (u)&={\frac {H(u)}{{\sqrt {k}}\Theta (u)}}\end{aligned}}

y $H(u)$ y $\Theta (u)$ son funciones theta de módulo $k$ La matriz de transferencia asociada $T$ por lo tanto es una función de $u$ solos; para todos $u$ , $v$

T(u)T(v)=T(v)T(u).

La función matricial $Q(u)$

La otra parte crucial de la solución es la existencia de una función matricial no singular. $Q$ , de tal manera que para todo complejo $u$ las matrices $Q(u),Q(u')$ conmutan entre sí y con las matrices de transferencia, y satisfacen

dónde

{\begin{aligned}\zeta (u)&=[c^{-1}H(2\eta )\Theta (u-\eta )\Theta (u+\eta )]^{N}\\\phi (u)&=[\Theta (0)H(u)\Theta (u)]^{N}.\end{aligned}}

Las relaciones de existencia y conmutación de dicha función se demuestran considerando la propagación de pares a través de un vértice y las relaciones de periodicidad de las funciones theta, de manera similar al modelo de seis vértices.

Solución explícita

La conmutación de matrices en ( 1 ) permite diagonalizarlas y , por lo tanto, se pueden encontrar los valores propios . La función de partición se calcula a partir del valor propio máximo, lo que resulta en una energía libre por sitio de

{\begin{aligned}f=\epsilon _{5}-2kT\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh ^{2}((\tau -\lambda )n)(\cosh(n\lambda )-\cosh(n\alpha ))}{n\sinh(2n\tau )\cosh(n\lambda )}}\end{aligned}}

para

{\begin{aligned}\tau &={\frac {\pi K'}{2K}}\\\lambda &={\frac {\pi \eta }{iK}}\\\alpha &={\frac {\pi u}{iK}}\end{aligned}}

dónde $K$ y $K'$ son las integrales elípticas completas de módulos $k$ y $k'$ . El modelo de ocho vértices también se resolvió en cuasicristales .

Equivalencia con un modelo de Ising

Existe una correspondencia natural entre el modelo de ocho vértices y el modelo de Ising con interacciones de vecinos más cercanos de 2 espines y 4 espines. Los estados de este modelo son espines. $\sigma =\pm 1$ en las caras de una red cuadrada. El análogo de las "aristas" en el modelo de ocho vértices son productos de espines en caras adyacentes:

{\begin{aligned}\alpha _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i,j+1}\\\mu _{ij}&=\sigma _{ij}\sigma _{i+1,j}.\end{aligned}}

Isingduallattice

La forma más general de la energía para este modelo es

{\begin{aligned}\epsilon &=-\sum _{ij}(J_{h}\mu _{ij}+J_{v}\alpha _{ij}+J\alpha _{ij}\mu _{ij}+J'\alpha _{i+1,j}\mu _{ij}+J''\alpha _{ij}\alpha _{i+1,j})\end{aligned}}

dónde $J_{h}$ , $J_{v}$ , $J$ , $J'$ describir las interacciones de 2 espines horizontales, verticales y dos diagonales, y $J''$ describe la interacción de 4 espines entre cuatro caras en un vértice; la suma se realiza sobre toda la red.

interacciones de Ising

En el modelo de ocho vértices, denotamos giros horizontales y verticales (flechas en los bordes). $\mu$ , $\alpha$ respectivamente, y definimos arriba y derecha como direcciones positivas. La restricción en los estados de vértice es que el producto de cuatro aristas en un vértice es 1; esto se cumple automáticamente para las "aristas" de Ising. Cada $\sigma$ La configuración corresponde entonces a un único $\mu$ , $\alpha$ configuración, mientras que cada $\mu$ , $\alpha$ La configuración ofrece dos opciones de $\sigma$ configuraciones.

Igualar las formas generales de los pesos de Boltzmann para cada vértice. $j$ , las siguientes relaciones entre los $\epsilon _{j}$ y $J_{h}$ , $J_{v}$ , $J$ , $J'$ , $J''$ definir la correspondencia entre los modelos reticulares:

{\begin{aligned}\epsilon _{1}&=-J_{h}-J_{v}-J-J'-J'',\quad \epsilon _{2}=J_{h}+J_{v}-J-J'-J''\\\epsilon _{3}&=-J_{h}+J_{v}+J+J'-J'',\quad \epsilon _{4}=J_{h}-J_{v}+J+J'-J''\\\epsilon _{5}&=\epsilon _{6}=J-J'+J''\\\epsilon _{7}&=\epsilon _{8}=-J+J'+J''.\end{aligned}}

De ello se deduce que, en el caso de campo cero del modelo de ocho vértices, las interacciones horizontales y verticales en el modelo de Ising correspondiente desaparecen.

Estas relaciones dan la equivalencia $Z_{I}=2Z_{8V}$ entre las funciones de partición del modelo de ocho vértices y el modelo de Ising de espín (2,4). En consecuencia, una solución en cualquiera de los dos modelos conduciría inmediatamente a una solución en el otro.

Véase también

Notas

↑ Sutherland, Bill (1970). "Cristales bidimensionales con enlaces de hidrógeno sin la regla del hielo". Journal of Mathematical Physics . 11 (11). AIP Publishing: 3183– 3186. Bibcode : 1970JMP....11.3183S . doi : 10.1063/1.1665111 . ISSN 0022-2488 .
↑ Fan, Chungpeng; Wu, FY (1970-08-01). "Modelo general de red de transiciones de fase". Physical Review B . 2 (3). American Physical Society (APS): 723– 733. Bibcode : 1970PhRvB...2..723F . doi : 10.1103/physrevb.2.723 . ISSN 0556-2805 .
↑ Baxter, RJ (1971-04-05). "Modelo de ocho vértices en estadística reticular". Physical Review Letters . 26 (14). American Physical Society (APS): 832– 833. Bibcode : 1971PhRvL..26..832B . doi : 10.1103/physrevlett.26.832 . ISSN 0031-9007 .

Referencias

Baxter, Rodney J. (1982), Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística (PDF) , Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-083180-7, MR 0690578 , archivado del original (PDF) el 14-04-2021 , recuperado el 12-08-2012

[1] Sutherland, Bill (1970). "Cristales bidimensionales con enlaces de hidrógeno sin la regla del hielo". Journal of Mathematical Physics . 11 (11). AIP Publishing: 3183– 3186. Bibcode : 1970JMP....11.3183S . doi : 10.1063/1.1665111 . ISSN 0022-2488 .

[2] Fan, Chungpeng; Wu, FY (1970-08-01). "Modelo general de red de transiciones de fase". Physical Review B . 2 (3). American Physical Society (APS): 723– 733. Bibcode : 1970PhRvB...2..723F . doi : 10.1103/physrevb.2.723 . ISSN 0556-2805 .

[3] Baxter, RJ (1971-04-05). "Modelo de ocho vértices en estadística reticular". Physical Review Letters . 26 (14). American Physical Society (APS): 832– 833. Bibcode : 1971PhRvL..26..832B . doi : 10.1103/physrevlett.26.832 . ISSN 0031-9007 .

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