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Forma diferencial con valores vectoriales

En matemáticas , una forma diferencial con valores vectoriales en una variedad M es una forma diferencial en M con valores en un espacio vectorial V. De forma más general, es un...

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En matemáticas , una forma diferencial con valores vectoriales en una variedad M es una forma diferencial en M con valores en un espacio vectorial V. De forma más general, es una forma diferencial con valores en algún fibrado vectorial E sobre M. Las formas diferenciales ordinarias pueden considerarse como formas diferenciales con valores en R.

Un caso importante de formas diferenciales con valores vectoriales son las formas con valores en álgebras de Lie (una forma de conexión es un ejemplo de dicha forma).

Definición

Sea M una variedad diferenciable y E → M un fibrado vectorial diferenciable sobre M. Denotamos el espacio de secciones diferenciables de un fibrado E por Γ( E ). Una forma diferencial con valores en E de grado p es una sección diferenciable del fibrado producto tensorial de E con Λ p ( T ∗ M ), la p -ésima potencia exterior del fibrado cotangente de M . El espacio de tales formas se denota por

Ωpag(METRO,mi)=Γ(mi⊗ΛpagT∗METRO).{\displaystyle \Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).}

Debido a que Γ es un functor monoidal fuerte , [ 1 ] esto también puede interpretarse como

Γ(mi⊗ΛpagT∗METRO)=Γ(mi)⊗Ω0(METRO)Γ(ΛpagT∗METRO)=Γ(mi)⊗Ω0(METRO)Ωpag(METRO),{\displaystyle \Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}

donde los dos últimos productos tensoriales son el producto tensorial de módulos sobre el anillo Ω 0 ( M ) de funciones suaves con valores en R sobre M (véase el séptimo ejemplo aquí ). Por convención, una 0-forma con valores en E es simplemente una sección del fibrado E. Es decir,

Ω0(METRO,mi)=Γ(mi).{\displaystyle \Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,}

De forma equivalente, una forma diferencial con valores en E puede definirse como un morfismo de fibrado.

TMETRO⊗⋯⊗TMETRO→mi{\displaystyle TM\otimes \cdots \otimes TM\to E}

lo cual es totalmente antisimétrico .

Sea V un espacio vectorial fijo . Una forma diferencial con valores en V de grado p es una forma diferencial de grado p con valores en el fibrado trivial M × V. El espacio de tales formas se denota Ω p ( M , V ). Cuando V = R se recupera la definición de una forma diferencial ordinaria. Si V es de dimensión finita, entonces se puede demostrar que el homomorfismo natural

Ωpag(METRO)⊗RV→Ωpag(METRO,V),{\displaystyle \Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),}

donde el primer producto tensorial es de espacios vectoriales sobre R , es un isomorfismo. [ 2 ]

Operaciones sobre formas vectoriales

Obstáculo

Se puede definir la imagen inversa de formas con valores vectoriales mediante aplicaciones suaves , al igual que para las formas ordinarias. La imagen inversa de una forma con valores en E sobre N mediante una aplicación suave φ  : M → N es una forma con valores en (φ* E ) sobre M , donde φ* E es el fibrado de imagen inversa de E mediante φ.

La fórmula se da igual que en el caso ordinario. Para cualquier p -forma ω con valores en E sobre N, el retroceso φ*ω viene dado por

(φ∗ω)incógnita(v1,⋯,vpag)=ωφ(incógnita)(dφincógnita(v1),⋯,dφincógnita(vpag)).{\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}

Producto en forma de cuña

Al igual que con las formas diferenciales ordinarias, se puede definir un producto exterior de formas con valores vectoriales. El producto exterior de una p -forma con valores en E 1 y una q -forma con valores en E 2 es, naturalmente, una ( p + q )-forma con valores en ( E 1 ⊗ E 2 ) :

∧:Ωpag(METRO,mi1)×Ωq(METRO,mi2)→Ωpag+q(METRO,mi1⊗mi2).{\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).}

La definición es la misma que para las formas ordinarias, con la excepción de que la multiplicación real se reemplaza por el producto tensorial :

(ω∧η)(v1,⋯,vpag+q)=1pag¡q¡∑σ∈Spag+qsgn⁡(σ)ω(vσ(1),⋯,vσ(pag))⊗η(vσ(pag+1),⋯,vσ(pag+q)).{\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}

In particular, the wedge product of an ordinary (R-valued) p-form with an E-valued q-form is naturally an E-valued (p+q)-form (since the tensor product of E with the trivial bundle M×R is naturally isomorphic to E). In terms of local frames {eα} and {lβ} for E1 and E2 respectively, the wedge product of an E1-valued p-form ω = ωαeα, and an E2-valued q-form η = ηβlβ is

ω∧η=∑α,β(ωα∧ηβ)(eα⊗lβ),{\displaystyle \omega \wedge \eta =\sum _{\alpha ,\beta }(\omega ^{\alpha }\wedge \eta ^{\beta })(e_{\alpha }\otimes l_{\beta }),}

where ωα ∧ ηβ is the ordinary wedge product of R{\displaystyle \mathbb {R} }-valued forms. For ω ∈ Ωp(M) and η ∈ Ωq(M, E) one has the usual commutativity relation:

ω∧η=(−1)pqη∧ω.{\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .}

In general, the wedge product of two E-valued forms is not another E-valued form, but rather an (E⊗E)-valued form. However, if E is an algebra bundle (i.e. a bundle of algebras rather than just vector spaces) one can compose with multiplication in E to obtain an E-valued form. If E is a bundle of commutative, associative algebras then, with this modified wedge product, the set of all E-valued differential forms

Ω(M,E)=⨁p=0dim⁡MΩp(M,E){\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)}

becomes a graded-commutative associative algebra. If the fibers of E are not commutative then Ω(M,E) will not be graded-commutative.

Exterior derivative

Para cualquier espacio vectorial V existe una derivada exterior natural en el espacio de formas con valores en V. Esta es simplemente la derivada exterior ordinaria que actúa componente a componente con respecto a cualquier base de V. Explícitamente, si { e α } es una base para V, entonces el diferencial de una p -forma con valores en V ω = ω α e α viene dado por

dω=(dωα)miα.{\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,}

La derivada exterior en formas con valores en V se caracteriza completamente por las relaciones usuales:

d(ω+η)=dω+dηd(ω∧η)=dω∧η+(−1)pagω∧dη(pag=grados⁡ω)d(dω)=0.{\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}

De manera más general, las observaciones anteriores se aplican a formas con valores en E , donde E es cualquier fibrado vectorial plano sobre M (es decir, un fibrado vectorial cuyas funciones de transición son constantes) . La derivada exterior se define como se indicó anteriormente en cualquier trivialización local de E.

Si E no es plano, entonces no existe una noción natural de una derivada exterior que actúe sobre formas con valores en E. Lo que se necesita es elegir una conexión en E. Una conexión en E es un operador diferencial lineal que transforma secciones de E en formas con valores en E :

∇:Ω0(METRO,mi)→Ω1(METRO,mi).{\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).}

Si E está equipado con una conexión ∇, entonces existe una derivada exterior covariante única.

d∇:Ωpag(METRO,mi)→Ωpag+1(METRO,mi){\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)}

extendiendo ∇. La derivada exterior covariante se caracteriza por la linealidad y la ecuación

d∇(ω∧η)=d∇ω∧η+(−1)pagω∧d∇η{\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d_{\nabla }\eta }

donde ω es una p- forma con valores en E y η es una q- forma ordinaria . En general, no es necesario que d ∇ 2 = 0. De hecho, esto sucede si y solo si la conexión ∇ es plana (es decir, tiene curvatura nula ).

Formas básicas o tensoriales sobre haces principales

Sea E → M un fibrado vectorial suave de rango k sobre M y sea π  : F( E ) → M el fibrado de marcos ( asociado ) de E , que es un fibrado principal GL k ( R ) sobre M. La imagen inversa de E por π es canónicamente isomorfa a F( E ) × ρ R k a través de la inversa de [ u , v ] → u ( v ), donde ρ es la representación estándar. Por lo tanto, la imagen inversa por π de una forma con valores en E sobre M determina una forma con valores en R k sobre F( E ). No es difícil comprobar que esta forma inversa es equivariante por la derecha con respecto a la acción natural de GL k ( R ) sobre F( E ) × R k y se anula en los vectores verticales (vectores tangentes a F( E ) que se encuentran en el núcleo de d π ). Estas formas vectoriales en F( E ) son lo suficientemente importantes como para justificar una terminología especial: se denominan formas básicas o tensoriales en F( E ).

Sea π  : P → M un fibrado principal G (suave) y sea V un espacio vectorial fijo junto con una representación ρ  : G → GL( V ). Una forma básica o tensorial en P de tipo ρ es una forma ω con valores en V en P que es equivariante y horizontal en el sentido de que

  1. (Rgramo)∗ω=ρ(gramo−1)ω{\displaystyle (R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,}para todo g ∈ G , y
  2. ω(v1,…,vpag)=0{\displaystyle \omega (v_{1},\ldots,v_{p})=0}siempre que al menos uno de los v i sea vertical (es decir, d π ( v i ) = 0).

Aquí R g denota la acción derecha de G sobre P para algún g ∈ G . Nótese que para las 0-formas la segunda condición es trivialmente verdadera .

Ejemplo: Si ρ es la representación adjunta de G en el álgebra de Lie, entonces la forma de conexión ω satisface la primera condición (pero no la segunda). La forma de curvatura asociada Ω satisface ambas; por lo tanto, Ω es una forma tensorial de tipo adjunto. La "diferencia" de dos formas de conexión es una forma tensorial.

Dados P y ρ como se indicó anteriormente, se puede construir el fibrado vectorial asociado E = P × ρ V. Las q -formas tensoriales en P están en una correspondencia biunívoca natural con las q- formas con valores en E en M. Como en el caso del fibrado principal F( E ) anterior, dada una q -formaϕ¯{\displaystyle {\overline {\phi }}}en M con valores en E , definimos φ en P fibra por, digamos en u ,

ϕ=tú−1π∗ϕ¯{\displaystyle \phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}}

donde u se considera un isomorfismo linealV→≃miπ(tú)=(π∗mi)tú,v↦[tú,v]{\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]}. φ es entonces una forma tensorial de tipo ρ. Recíprocamente, dada una forma tensorial φ de tipo ρ, la misma fórmula define una forma con valores en E.ϕ¯{\displaystyle {\overline {\phi }}}en M (cf. el homomorfismo de Chern-Weil ). En particular, existe un isomorfismo natural de espacios vectoriales.

Γ(METRO,mi)≃{F:PAG→V|F(túgramo)=ρ(gramo)−1F(tú)},F¯↔F{\displaystyle \Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f}.

Ejemplo: Sea E el fibrado tangente de M. Entonces, la aplicación de fibrado identidad id E : E → E es una forma única con valores en E sobre M. La forma única tautológica es una forma única sobre el fibrado marco de E que corresponde a id E. Denotada por θ, es una forma tensorial de tipo estándar.

Ahora bien, supongamos que existe una conexión en P tal que existe una diferenciación covariante exterior D sobre (varias) formas vectoriales en P. Mediante la correspondencia anterior, D también actúa sobre formas con valores en E : definimos ∇ por

∇ϕ¯=Dϕ¯.{\displaystyle \nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.}

En particular para las formas cero,

∇:Γ(METRO,mi)→Γ(METRO,T∗METRO⊗mi){\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)} .

Esta es exactamente la derivada covariante para la conexión en el fibrado vectorial E. [ 3 ]

Ejemplos

Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en variedades modulares de Siegel . [ 4 ]

Notas

  1. ↑ "Secciones globales de un producto tensorial de haces vectoriales en una variedad diferenciable" . math.stackexchange.com . Consultado el 27 de octubre de 2014 .
  2. ↑ Demostración: Esto se puede verificar para p = 0 transformando una base para V en un conjunto de funciones constantes de V , lo que permite la construcción de una inversa del homomorfismo anterior. El caso general se puede demostrar observando que
    Ωpag(METRO,V)=Ω0(METRO,V)⊗Ω0(METRO)Ωpag(METRO),{\displaystyle \Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}
    y eso porqueR{\displaystyle \mathbb {R} }es un subanillo de Ω 0 ( M ) a través de las funciones constantes,
    Ω0(METRO,V)⊗Ω0(METRO)Ωpag(METRO)=(V⊗RΩ0(METRO))⊗Ω0(METRO)Ωpag(METRO)=V⊗R(Ω0(METRO)⊗Ω0(METRO)Ωpag(METRO))=V⊗RΩpag(METRO).{\displaystyle \Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).}
  3. ↑ Prueba:D(Fϕ)=DF⊗ϕ+FDϕ{\displaystyle D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi }para cualquier forma cero tensorial con valores escalares f y cualquier forma cero tensorial φ de tipo ρ, y Df = df ya que f desciende a una función en M ; cf. este Lema 2 .
  4. ↑ Hulek, Klaus ; Sankaran, GK (2002). "La geometría de las variedades modulares de Siegel". Estudios avanzados en matemáticas puras . 35 : 89–156 .

Referencias