Functor monoidal

En teoría de categorías , los funtores monoidales son funtores entre categorías monoidales que preservan la estructura monoidal. Más específicamente, un funtor monoidal entre dos categorías monoidales consiste en un funtor entre las categorías, junto con dos mapas de coherencia (una transformación natural y un morfismo que preservan la multiplicación y la unidad monoidales, respectivamente). Los matemáticos requieren que estos mapas de coherencia satisfagan propiedades adicionales dependiendo de cuán estrictamente quieran preservar la estructura monoidal; cada una de estas propiedades da lugar a una definición ligeramente diferente de funtores monoidales.

• Los mapas de coherencia de los funtores monoidales laxos no satisfacen propiedades adicionales; no son necesariamente invertibles.
• Los mapas de coherencia de los funtores monoidales fuertes son invertibles.
• Los mapas de coherencia de funtores monoidales estrictos son mapas identidad.

Aunque aquí distinguimos entre estas diferentes definiciones, los autores pueden llamar a cualquiera de ellas simplemente funtores monoidales .

Sean y categorías monoidales. Un funtor monoidal laxo de a (que también puede llamarse simplemente funtor monoidal) consta de un funtor junto con una transformación natural${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}$

entre funtores y un morfismo ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}$,

llamados mapas de coherencia o morfismos de estructura , que son tales que por cada tres objetos , y de los diagramas ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$${\estilo de visualización C}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

,

   y   

conmutan en la categoría . Arriba, las diversas transformaciones naturales denotadas mediante son partes de la estructura monoidal en y . ^[1]${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \alpha,\rho,\lambda}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• El dual de un funtor monoidal es un funtor comonoidal ; es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia están invertidos. Los funtores comonoidales también pueden llamarse funtores opmonoidales, colax monoidales u oplax monoidales.
• Un funtor monoidal fuerte es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia son invertibles.${\displaystyle \phi _{A,B},\phi }$
• Un funtor monoidal estricto es un funtor monoidal cuyos mapas de coherencia son identidades.
• Un funtor monoidal trenzado es un funtor monoidal entre categorías monoidales trenzadas (con trenzados denotados ) tales que el siguiente diagrama conmuta para cada par de objetos A , B en  :${\estilo de visualización \gamma}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• Un funtor monoidal simétrico es un funtor monoidal trenzado cuyo dominio y codominio son categorías monoidales simétricas .

• El funtor subyacente de la categoría de grupos abelianos a la categoría de conjuntos. En este caso, la función envía (a, b) a ; la función envía a 1.${\displaystyle U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Conjunto} ,\times ,\{\ast \})}$${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$${\displaystyle a\o veces b}$${\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }$${\estilo de visualización \ast}$
• Si es un anillo (conmutativo), entonces el funtor libre se extiende a un funtor fuertemente monoidal (y también si es conmutativo).${\estilo de visualización R}$${\displaystyle {\mathsf {Conjunto}},\to R{\mathsf {-mod}}}$${\displaystyle ({\mathsf {Conjunto}},\sqcup ,\conjunto vacío )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$${\displaystyle ({\mathsf {Conjunto}},\times ,\{\ast \})\a (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$${\estilo de visualización R}$
• Si es un homomorfismo de anillos conmutativos, entonces el funtor de restricción es monoidal y el funtor de inducción es fuertemente monoidal.${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$
• Un ejemplo importante de un funtor monoidal simétrico es el modelo matemático de la teoría cuántica de campos topológica . Sea la categoría de cobordismos de variedades n-1,n -dimensionales con producto tensorial dado por unión disjunta, y unidad la variedad vacía. Una teoría cuántica de campos topológica en dimensión n es un funtor monoidal simétrico${\displaystyle \mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }}$${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).}$
• El funtor de homología es monoidal como a través del mapa .${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$

Si y son categorías monoidales cerradas con hom-functores internos (eliminamos los subíndices para facilitar la lectura), existe una formulación alternativa. ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}$

ψ _AB  : F ( A ⇒ B ) → FA ⇒ FB

de φ _AB se utiliza comúnmente en programación funcional . La relación entre ψ _AB y φ _AB se ilustra en los siguientes diagramas conmutativos:

• Si es un objeto monoide en , entonces es un objeto monoide en . ^[2]${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$${\displaystyle D}$

Supongamos que un funtor es adjunto por la izquierda a un monoidal . Entonces tiene una estructura comonoidal inducida por , definida por ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,m)}$${\displaystyle (G,n)}$

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

y

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$.

Si la estructura inducida en es fuerte, entonces la unidad y el counit de la adjunción son transformaciones naturales monoidales , y se dice que la adjunción es una adjunción monoidal ; a la inversa, el adjunto izquierdo de una adjunción monoidal es siempre un funtor monoidal fuerte. ${\displaystyle F}$

De manera similar, un adjunto derecho a un funtor comonoidal es monoidal, y el adjunto derecho de una adjunción comonoidal es un funtor monoidal fuerte.

• Transformación natural monoidal

• Kelly, G. Max (1974). "Adjunto doctrinal". Categoría Seminario . Apuntes de clase en matemáticas. Vol. 420. Springer. pp. 257–280. doi :10.1007/BFb0063105. ISBN 978-3-540-37270-7.
• Perrone, Paolo (2024). Teoría de categorías iniciales. World Scientific. doi :10.1142/9789811286018_0005. ISBN 978-981-12-8600-1.