Adjunción monoide

En matemáticas , una adjunción monoidal es una adjunción entre categorías monoidales que respeta sus estructuras monoidales. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Supongamos que${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$y${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$son dos categorías monoidales . Una adjunción monoidal entre dos functores monoidales laxos

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$y${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,J)\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I)}$

es un adjuntivo${\displaystyle (F,G,\eta,\varepsilon)}$entre los functores subyacentes, de tal manera que las transformaciones naturales

${\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\Rightarrow G\circ F}$y${\displaystyle \varepsilon :F\circ G\Rightarrow 1_{\mathcal {D}}}$

son transformaciones naturales monoidales .

Supongamos que

${\displaystyle (F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)}$

es un functor monoidal laxo tal que el functor subyacente${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$tiene un adjunto derecho${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$Esta adjunción se eleva a una adjunción monoide.${\displaystyle (F,m)}$⊣${\displaystyle (G,n)}$si y solo si el functor monoidal laxo${\displaystyle (F,m)}$es fuerte.

• Cada adjunción monoide${\displaystyle (F,m)}$⊣${\displaystyle (G,n)}$define una mónada monoidal${\displaystyle G\circ F}$.