Matriz triangular

En matemáticas, una matriz triangular es un tipo especial de matriz cuadrada . Una matriz cuadrada se llamatriangular inferior si todas las entradaspor encimade ladiagonal principalson cero. De manera similar, una matriz cuadrada se llamaTriangular superior si todas las entradasdebajode la diagonal principal son cero.

Debido a que las ecuaciones matriciales con matrices triangulares son más fáciles de resolver, son muy importantes en el análisis numérico . Mediante el algoritmo de descomposición LU , una matriz invertible puede escribirse como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz triangular superior U si y solo si todos sus menores principales son distintos de cero.

Descripción

Una matriz de la forma

L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}

se denomina matriz triangular inferior o matriz triangular izquierda , y análogamente una matriz de la forma

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

Se denomina matriz triangular superior o matriz triangular derecha . Una matriz triangular inferior o izquierda se suele denotar con la variable L , y una matriz triangular superior o derecha se suele denotar con la variable U o R.

Una matriz que es triangular superior e inferiormente es diagonal . Las matrices que son similares a las matrices triangulares se denominan triangularizables .

Una matriz no cuadrada (o a veces cualquier matriz) con ceros encima (debajo) de la diagonal se llama matriz trapezoidal inferior (superior). Las entradas no nulas forman la figura de un trapecio .

Ejemplos

La matriz

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}

es la matriz triangular inferior para la matriz no simétrica:

{\begin{bmatrix}1&5&8\\2&96&9\\4&9&69\end{bmatrix}}

y

{\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}

es la matriz triangular superior para la matriz no simétrica:

{\begin{bmatrix}1&4&1\\99&6&9\\40&88&1\end{bmatrix}}

Sustitución hacia adelante y hacia atrás

Una ecuación matricial en la forma $L\mathbf {x} =\mathbf {b}$ o $U\mathbf {x} =\mathbf {b}$ es muy fácil de resolver mediante un proceso iterativo llamado sustitución hacia adelante para matrices triangulares inferiores y, análogamente, sustitución hacia atrás para matrices triangulares superiores. El proceso se llama así porque para matrices triangulares inferiores, primero se calcula $x_{1}$ , luego sustituye ese valor en la siguiente ecuación para resolver $x_{2}$ y se repite hasta $x_{n}$ En una matriz triangular superior, se trabaja hacia atrás, calculando primero $x_{n}$ , luego sustituyendo eso de nuevo en la ecuación anterior para resolver $x_{n-1}$ y repitiendo a través de $x_{1}$ .

Nótese que esto no requiere invertir la matriz.

Sustitución hacia adelante

La ecuación matricial L x = b puede escribirse como un sistema de ecuaciones lineales.

{\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

Observe que la primera ecuación ( $\ell _{1,1}x_{1}=b_{1}$ ) solo implica $x_{1}$ y así se puede resolver $x_{1}$ directamente. La segunda ecuación solo involucra $x_{1}$ y $x_{2}$ y por lo tanto se puede resolver una vez que se sustituye el valor ya resuelto para $x_{1}$ . Continuando de esta manera, el $k$ La ecuación -ésima solo involucra $x_{1},\dots ,x_{k}$ y se puede resolver $x_{k}$ utilizando los valores previamente resueltos para $x_{1},\dots ,x_{k-1}$ Las fórmulas resultantes son:

{\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}

Una ecuación matricial con una matriz triangular superior U se puede resolver de forma análoga, trabajando únicamente hacia atrás.

Aplicaciones

La sustitución hacia adelante se utiliza en el método de arranque financiero para construir una curva de rendimiento .

Propiedades

La transpuesta de una matriz triangular superior es una matriz triangular inferior y viceversa.

Una matriz que es simétrica y triangular es diagonal. De manera similar, una matriz que es normal (es decir, A ^*A = AA ^* , donde A ^* es la transpuesta conjugada ) y triangular también es diagonal. Esto se puede observar al analizar los elementos diagonales de A ^*A y AA ^* .

El determinante y el permanente de una matriz triangular son iguales al producto de los elementos de la diagonal, como se puede comprobar mediante cálculo directo.

De hecho, hay más: los autovalores de una matriz triangular son exactamente sus entradas diagonales. Además, cada autovalor aparece exactamente k veces en la diagonal, donde k es su multiplicidad algebraica , es decir, su multiplicidad como raíz del polinomio característico. $p_{A}(x)=\det(xI-A)$ de A. En otras palabras, el polinomio característico de una matriz triangular n × n A es exactamente

p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})

,

es decir, el polinomio único de grado n cuyas raíces son las entradas diagonales de A (con multiplicidades). Para ver esto, observe que $xI-A$ también es triangular y por lo tanto su determinante $\det(xI-A)$ es el producto de sus entradas diagonales $(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})$ . ^{[ 1 ]}

Formularios especiales

Matriz unitaria triangular

Si las entradas de la diagonal principal de una matriz triangular (inferior o superior) son todas 1, la matriz se denomina unitrangular (inferior o superior) .

Otros nombres que se utilizan para estas matrices son triangular unitaria (inferior o superior) o, muy raramente, triangular normada (inferior o superior) . Sin embargo, una matriz triangular unitaria no es lo mismo que una matriz unitaria , y una matriz triangular normada no tiene nada que ver con la noción de norma matricial .

Todas las matrices unitriangulares finitas son unipotentes .

Matriz estrictamente triangular

Si todas las entradas de la diagonal principal de una matriz triangular (inferior o superior) son también 0, la matriz se denomina estrictamente triangular (inferior o superior) .

Todas las matrices triangulares estrictamente finitas son nilpotentes de índice como máximo n como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton .

Matriz triangular atómica

Una matriz triangular atómica (inferior o superior) es una forma especial de matriz unitaria triangular, donde todos los elementos fuera de la diagonal son cero, excepto los de una sola columna. Dicha matriz también se denomina matriz de Frobenius , matriz de Gauss o matriz de transformación de Gauss .

Matriz triangular de bloques

Una matriz triangular por bloques es una matriz por bloques (matriz particionada) que es una matriz triangular.

Bloque superior triangular

Una matriz $A$ ¿El bloque superior es triangular ?

A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

,

dónde $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ a pesar de $i,j=1,\ldots ,k$ . ^{[ 2 ]}

Bloque inferior triangular

Una matriz $A$ es el bloque inferior triangular si

A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}

,

dónde $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ a pesar de $i,j=1,\ldots ,k$ . ^{[ 2 ]}

Triangularizabilidad

Una matriz similar a una matriz triangular se denomina triangularizable . En abstracto, esto equivale a estabilizar una bandera : las matrices triangulares superiores son precisamente aquellas que preservan la bandera estándar , que viene dada por la base ordenada estándar. $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ y la bandera resultante $0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.$ Todas las banderas son conjugadas (ya que el grupo lineal general actúa transitivamente sobre las bases), por lo que cualquier matriz que estabilice una bandera es similar a una que estabilice la bandera estándar.

Cualquier matriz cuadrada compleja es triangularizable. ^{[ 1 ]} De hecho, una matriz A sobre un cuerpo que contiene todos los autovalores de A (por ejemplo, cualquier matriz sobre un cuerpo algebraicamente cerrado ) es similar a una matriz triangular. Esto se puede demostrar mediante inducción sobre el hecho de que A tiene un autovector, tomando el espacio cociente por el autovector e induciendo para mostrar que A estabiliza una bandera y, por lo tanto, es triangularizable con respecto a una base para esa bandera.

El teorema de la forma normal de Jordan ofrece una formulación más precisa , al establecer que, en esta situación, A es similar a una matriz triangular superior de una forma muy particular. Sin embargo, el resultado de triangularización, más sencillo, suele ser suficiente y, en cualquier caso, se utiliza para demostrar el teorema de la forma normal de Jordan. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}

En el caso de matrices complejas, es posible decir más sobre la triangularización, a saber, que cualquier matriz cuadrada A tiene una descomposición de Schur . Esto significa que A es unitariamente equivalente (es decir, similar, usando una matriz unitaria como cambio de base) a una matriz triangular superior; esto se deduce al tomar una base hermitiana para la bandera.

triangularizabilidad simultánea

Un conjunto de matrices $A_{1},\ldots ,A_{k}$ se dice quetriangularizables simultáneamente si existe una base bajo la cual todas son triangulares superiores; equivalentemente, si son triangularizables superiores por una única matriz de similitudP.Dicho conjunto de matrices se entiende más fácilmente considerando el álgebra de matrices que genera, a saber, todos los polinomios en el $A_{i},$ denotado $K[A_{1},\ldots ,A_{k}].$ La triangularizabilidad simultánea significa que esta álgebra es conjugada con la subálgebra de Lie de matrices triangulares superiores, y es equivalente a que esta álgebra sea una subálgebra de Lie de una subálgebra de Borel .

El resultado básico es que (sobre un cuerpo algebraicamente cerrado), las matrices conmutativas $A,B$ o más generalmente $A_{1},\ldots ,A_{k}$ son triangularizables simultáneamente. Esto se puede demostrar mostrando primero que las matrices conmutativas tienen un vector propio común, y luego induciendo sobre la dimensión como antes. Esto fue demostrado por Frobenius, a partir de 1878 para un par de matrices conmutativas, como se discute en matrices conmutativas . En cuanto a una sola matriz, sobre los números complejos estas pueden triangularizarse mediante matrices unitarias.

El hecho de que las matrices conmutativas tengan un vector propio común puede interpretarse como resultado del teorema de los ceros de Hilbert : las matrices conmutativas forman un álgebra conmutativa. $K[A_{1},\ldots ,A_{k}]$ encima $K[x_{1},\ldots ,x_{k}]$ que puede interpretarse como una variedad en un espacio afín k -dimensional, y la existencia de un autovalor (común) (y, por lo tanto, un autovector común) corresponde a que esta variedad tenga un punto (no vacío), que es el contenido del Nullstellensatz (débil). En términos algebraicos, estos operadores corresponden a una representación algebraica del álgebra de polinomios en k variables.

Esto se generaliza mediante el teorema de Lie , que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie resoluble es simultáneamente triangularmente superior, siendo el caso de matrices conmutativas el caso del álgebra de Lie abeliana , siendo abeliana fortiori resoluble.

De forma más general y precisa, un conjunto de matrices $A_{1},\ldots ,A_{k}$ es simultáneamente triangularizable si y solo si la matriz $p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]$ es nilpotente para todos los polinomios p en k variables no conmutativas, donde $[A_{i},A_{j}]$ es el conmutador ; para conmutar $A_{i}$ El conmutador se anula, por lo que esto se cumple. Esto fue demostrado por Drazin, Dungey y Gruenberg en 1951; ^{[ 4 ]} Prasolov da una breve demostración en 1994. ^{[ 5 ]} Una dirección es clara: si las matrices son simultáneamente triangularizables, entonces $[A_{i},A_{j}]$ es estrictamente triangular superior (por lo tanto nilpotente), lo cual se conserva mediante la multiplicación por cualquier $A_{k}$ o una combinación de ambas: seguirá teniendo 0 en la diagonal en la base triangularizante.

Álgebras de matrices triangulares

La triangularidad superior se conserva mediante muchas operaciones:

La suma de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
El producto de dos matrices triangulares superiores es triangular superior.
La inversa de una matriz triangular superior, si existe, es triangular superior.
El producto de una matriz triangular superior y un escalar es triangular superior.

En conjunto, estos hechos implican que las matrices triangulares superiores forman una subálgebra del álgebra asociativa de matrices cuadradas de un tamaño dado. Además, esto también demuestra que las matrices triangulares superiores pueden considerarse una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de matrices cuadradas de tamaño fijo, donde el corchete de Lie [ a , b ] viene dado por el conmutador ab − ba . El álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores es un álgebra de Lie resoluble . A menudo se la denomina subálgebra de Borel del álgebra de Lie de todas las matrices cuadradas.

Todos estos resultados se mantienen si se reemplazan las matrices triangulares superiores por matrices triangulares inferiores ; en particular, las matrices triangulares inferiores también forman un álgebra de Lie. Sin embargo, las operaciones que combinan matrices triangulares superiores e inferiores no suelen producir matrices triangulares. Por ejemplo, la suma de una matriz triangular superior y una inferior puede ser cualquier matriz; el producto de una matriz triangular inferior por una superior tampoco es necesariamente triangular.

El conjunto de matrices unitarangulares forma un grupo de Lie .

El conjunto de matrices triangulares estrictamente superiores (o inferiores) forma un álgebra de Lie nilpotente , denotada ${\mathfrak {n}}.$ Esta álgebra es el álgebra de Lie derivada de ${\mathfrak {b}}$ , el álgebra de Lie de todas las matrices triangulares superiores; en símbolos, ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].$ Además, ${\mathfrak {n}}$ es el álgebra de Lie del grupo de Lie de matrices unitarangulares.

De hecho, según el teorema de Engel , cualquier álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es conjugada a una subálgebra de las matrices triangulares superiores estrictas, es decir, un álgebra de Lie nilpotente de dimensión finita es simultáneamente triangularizable superiormente estricta.

Las álgebras de matrices triangulares superiores tienen una generalización natural en el análisis funcional que produce álgebras anidadas en espacios de Hilbert .

Subgrupos de Borel y subálgebras de Borel

El conjunto de matrices triangulares invertibles de un tipo dado (inferior o superior) forma un grupo , de hecho un grupo de Lie , que es un subgrupo del grupo lineal general de todas las matrices invertibles. Una matriz triangular es invertible precisamente cuando sus elementos diagonales son invertibles (distintos de cero).

En cuanto a las cifras reales, este grupo está desconectado, teniendo $2^{n}$ componentes en consecuencia, ya que cada entrada diagonal es positiva o negativa. El componente identidad son matrices triangulares invertibles con entradas positivas en la diagonal, y el grupo de todas las matrices triangulares invertibles es un producto semidirecto de este grupo y el grupo de matrices diagonales con $\pm 1$ en la diagonal, correspondiente a los componentes.

El álgebra de Lie del grupo de Lie de matrices triangulares superiores invertibles es el conjunto de todas las matrices triangulares superiores, no necesariamente invertibles, y es un álgebra de Lie resoluble . Estos son, respectivamente, el subgrupo de Borel estándar B del grupo de Lie GL _n y la subálgebra de Borel estándar. ${\mathfrak {b}}$ del álgebra de Lie gl _n .

Las matrices triangulares superiores son precisamente las que estabilizan la bandera estándar . Las invertibles forman un subgrupo del grupo lineal general, cuyos subgrupos conjugados son los que se definen como estabilizadores de alguna otra bandera completa. Estos subgrupos son subgrupos de Borel . El grupo de matrices triangulares inferiores invertibles es uno de estos subgrupos, ya que es el estabilizador de la bandera estándar asociada a la base estándar en orden inverso.

El estabilizador de una bandera parcial, obtenida al omitir algunas partes de la bandera estándar, puede describirse como un conjunto de matrices triangulares superiores por bloques (aunque no todas sus matrices triangulares son elementos). Los conjugados de dicho grupo son los subgrupos definidos como estabilizadores de alguna bandera parcial. Estos subgrupos se denominan subgrupos parabólicos.

Ejemplos

El grupo de matrices unitarias superiores de 2×2 es isomorfo al grupo aditivo del campo de los escalares; en el caso de los números complejos corresponde a un grupo formado por transformaciones parabólicas de Möbius ; las matrices unitarias superiores de 3×3 forman el grupo de Heisenberg .

Véase también

Referencias

1 2 3 Axler, Sheldon Jay (1997). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 86–87 , 169. ISBN 0-387-22595-1OCLC 54850562
1 2 Bernstein, Dennis S. (2009). Matemáticas matriciales: teoría, hechos y fórmulas (2.ª ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press. pág. 168. ISBN 978-0-691-14039-1.
↑ Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 285–290 . ISBN 0-471-01090-1OCLC 3307396 .
↑ Drazin, MP; Dungey, JW; Gruenberg, KW (1951). "Algunos teoremas sobre matrices conmutativas" . Journal of the London Mathematical Society . 26 (3): 221– 228. doi : 10.1112/jlms/s1-26.3.221 .
↑ Prasolov, VV (1994). Problemas y teoremas de álgebra lineal . Simeon Ivanov. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 178–179 . ISBN 9780821802366OCLC 30076024

[axler-1] 1 2 3 Axler, Sheldon Jay (1997). Álgebra lineal bien hecha (2.ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 86–87 , 169. ISBN 0-387-22595-1OCLC 54850562

[bernstein2009-2] 1 2 Bernstein, Dennis S. (2009). Matemáticas matriciales: teoría, hechos y fórmulas (2.ª ed.). Princeton, NJ: Princeton University Press. pág. 168. ISBN 978-0-691-14039-1.

[herstein-3] Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 285–290 . ISBN 0-471-01090-1OCLC 3307396 .

[4] Drazin, MP; Dungey, JW; Gruenberg, KW (1951). "Algunos teoremas sobre matrices conmutativas" . Journal of the London Mathematical Society . 26 (3): 221– 228. doi : 10.1112/jlms/s1-26.3.221 .

[5] Prasolov, VV (1994). Problemas y teoremas de álgebra lineal . Simeon Ivanov. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 178–179 . ISBN 9780821802366OCLC 30076024

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Descripción

Ejemplos

Sustitución hacia adelante y hacia atrás

Sustitución hacia adelante

Aplicaciones

Propiedades

Formularios especiales

Matriz unitaria triangular

Matriz estrictamente triangular

Matriz triangular atómica

Matriz triangular de bloques

Bloque superior triangular

Bloque inferior triangular

Triangularizabilidad

triangularizabilidad simultánea

Álgebras de matrices triangulares

Subgrupos de Borel y subálgebras de Borel

Ejemplos

Véase también

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