Catálogo de cubos triangulares

El Catálogo de Cúbicas Triangulares es un recurso en línea que contiene información detallada sobre más de 1200 curvas cúbicas en el plano de un triángulo de referencia. ^{[ 1 ]} El recurso es mantenido por Bernard Gibert. A cada cúbica del recurso se le asigna un número de identificación único de la forma "Knnn", donde "nnn" denota tres dígitos. El número de identificación de la primera entrada en el catálogo es "K001", que corresponde a la cúbica de Neuberg del triángulo de referencia $ABC$ . El catálogo proporciona, entre otras cosas, la siguiente información sobre cada una de las cúbicas listadas:

Ecuación baricéntrica de la curva
Una lista de centros de triángulos que se encuentran en la curva
Puntos especiales en la curva que no son centros de triángulos
Propiedades geométricas de la curva
Propiedades del lugar geométrico de la curva
Otras propiedades especiales de la curva
Otras curvas relacionadas con la curva cúbica
Numerosas figuras claras y ordenadas que ilustran las diversas propiedades.
Referencias a la literatura sobre la curva

Las ecuaciones de algunos de los cubos que aparecen en el Catálogo son tan increíblemente complicadas que el responsable del sitio web ha optado por no incluirlas en la página web del cubo; en su lugar, se proporciona un enlace a un archivo que contiene la ecuación en formato de texto sin formato. Por ejemplo, la ecuación del cubo K1200 se proporciona como un archivo de texto. ^{[ 2 ]}

Coordenadas

Supongamos que $△ ABC$ es un triángulo con longitudes de lado $a=|BC|,$ $b=|CA|,$ $c=|AB|.$ En relación con $el triángulo ABC$ , muchas cúbicas con nombre pasan por puntos bien conocidos. Los ejemplos que se muestran a continuación utilizan dos tipos de coordenadas homogéneas : trilineales y baricéntricas .

Para convertir de trilineal a baricéntrica en una ecuación cúbica, sustituya de la siguiente manera:

x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;

Para convertir de baricéntrico a trilineal, utilice

x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.

Muchas ecuaciones para funciones cúbicas tienen la forma

f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.

En los ejemplos que se muestran a continuación, dichas ecuaciones se escriben de forma más concisa en "notación de suma cíclica", como esta:

\sum _{\text{cíclico}}f(x,y,z,a,b,c)=0

.

Las cúbicas que se enumeran a continuación se pueden definir en términos de la isogonal conjugada , denotada por $X*$ , de un punto $X$ que no se encuentra en una línea lateral del $triángulo ABC$ . A continuación se muestra una construcción de $X*$ . Sea $L A$ la reflexión de la línea $XA$ con respecto a la bisectriz del ángulo interno $A$ , y definamos $L B$ y $L C$ de forma análoga. Entonces, las tres líneas reflejadas coinciden en $X*$ . En coordenadas trilineales, si $X=x:y:z,$ entonces $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$

Los primeros cubos triangulares del catálogo

A continuación se presentan los diez primeros cubos que aparecen en el catálogo.

Los seis primeros cubos del Catálogo de Cubos Triangulares

curvas individuales

Neuberg cúbico

Cúbica de Neuberg del triángulo $△ ABC$ : El lugar geométrico de $X$ tal que, si $X A, X B, X C$ son las reflexiones de $X$ en los lados $BC, CA, AB$ , entonces las líneas $AX A, BX B, CX C$ son concurrentes.

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

La cúbica de Neuberg (llamada así en honor a Joseph Jean Baptiste Neuberg ) es el lugar geométrico de un punto $X$ tal que $X*$ se encuentra en la recta $EX$ , donde $E$ es el punto infinito de Euler ( $X$ $(30)$ en la Enciclopedia de Centros de Triángulos $) .$ $Además$ , esta cúbica es el lugar geométrico de $X$ $tal$ que el triángulo $△ XAXBXC$ es perspectiva del $triángulo$ $△ ABC$ , donde $△ XAXBXC$ es la reflexión de $X$ en las rectas $BC$ $, CA$ $y$ $AB$ $,$ respectivamente $.$

La cúbica de Neuberg pasa por los siguientes puntos: incentro , circuncentro , ortocentro , ambos puntos de Fermat , ambos puntos isodinámicos , el punto infinito de Euler, otros centros de triángulos, los excentros, las reflexiones de $A, B, C$ en los lados de $△ ABC$ y los vértices de los seis triángulos equiláteros erigidos en los lados de $△ ABC$ .

Para una representación gráfica y una lista extensa de propiedades de la cúbica de Neuberg, consulte K001 en Cubics in the Triangle Plane de Bernhard Gibert .

cúbica de Thomson

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

La cúbica de Thomson es el lugar geométrico de un punto $X$ tal que $X*$ está en la línea $GX$ , donde $G$ es el centroide.

El cubo de Thomson pasa por los siguientes puntos: incentro, baricentro, circuncentro, ortocentro, punto simediano, centros de otros triángulos, los vértices $A, B, C,$ los excentros, los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ y los puntos medios de las alturas del $triángulo ABC$ . Para cada punto $P$ que se encuentra en el cubo pero no en una línea lateral del $triángulo ABC$ , el conjugado isogonal de $P$ también se encuentra en el cubo.

Para gráficos y propiedades, consulte K002 en Cúbicas en el plano triangular .

cúbica de Darboux

Cubo de Darboux del triángulo $△ ABC$ : El lugar geométrico de $X$ tal que si $D, E, F$ son los pies de las perpendiculares desde $X$ a los lados $BC, CA, AB,$ entonces las líneas $AD, BE, CF$ son concurrentes.

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

La cúbica de Darboux es el lugar geométrico de un punto $X$ tal que $X*$ se encuentra en la recta $LX$ , donde $L$ es el punto de De Longchamp . Además, esta cúbica es el lugar geométrico de $X$ tal que el triángulo pedal de $X$ es el triángulo ceviano de algún punto (que se encuentra en la cúbica de Lucas). Asimismo, esta cúbica es el lugar geométrico de un punto $X$ tal que el triángulo pedal de $X$ y el triángulo anticeviano de $X$ son perspectiva; el punto de referencia se encuentra en la cúbica de Thomson.

El cubo de Darboux pasa por el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el punto de De Longchamp, los centros de otros triángulos, los vértices $A, B y C,$ los excentros y los antípodas de $A, B y C$ en la circunferencia circunscrita. Para cada punto $P$ que se encuentra en el cubo pero no en una línea lateral del $triángulo ABC$ , el conjugado isogonal de $P$ también se encuentra en el cubo.

Para obtener información sobre gráficos y propiedades, consulte K004 en Cúbicas en el plano triangular .

Cúbica de Napoleón-Feuerbach

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}\cos(BC)x(y^{2}-z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

El cubo de Napoleon-Feuerbach es el lugar geométrico de un punto $X*$ que se encuentra en la línea $NX$ , donde $N$ es el centro de nueve puntos ( $N = X (5)$ en la Enciclopedia de Centros de Triángulos ).

El cubo de Napoleon-Feuerbach pasa por el incentro, el circuncentro, el ortocentro, el primer y segundo punto de Napoleon , los centros de otros triángulos, los vértices $A, B, C,$ los excentros, las proyecciones del centroide sobre las alturas y los centros de los 6 triángulos equiláteros erigidos en los lados de $△ ABC$ .

Para obtener información sobre gráficos y propiedades, consulte K005 en Cúbicas en el plano triangular .

Lucas cúbico

Cúbica de Lucas del triángulo $△ ABC$ : El lugar geométrico de un punto $X$ tal que el triángulo ceviano de $X$ es el triángulo pedal de algún punto $X'$ ; el punto $X'$ se encuentra en la cúbica de Darboux.

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

La cúbica de Lucas es el lugar geométrico de un punto $X$ tal que el triángulo ceviano de $X$ es el triángulo pedal de algún punto; el punto se encuentra sobre la cúbica de Darboux.

La cúbica de Lucas pasa por el centroide, el ortocentro, el punto de Gergonne, el punto de Nagel , el punto de De Longchamp, otros centros de triángulos, los vértices del triángulo anticomplementario y los focos de la circunelipse de Steiner.

Para obtener información sobre gráficos y propiedades, consulte K007 en Cúbicas en el plano triangular .

Primer cubo de Brocard

Primer triángulo cúbico de Brocard: Es el lugar geométrico de $X$ tal que las intersecciones de $XA', XB', XC'$ con los lados $BC, CA, CB,$ donde $△ A'B'C'$ es el primer triángulo de Brocard del triángulo $△ ABC$ , son colineales. En la figura, $Ω$ y $Ω'$ son el primer y segundo punto de Brocard.

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

Sea el triángulo $△ A'B'C'$ el primer triángulo de Brocard. Para un punto arbitrario $X$ , sean $X A, X B, X C$ las intersecciones de las rectas $XA', XB', XC'$ con los lados $BC, CA, AB,$ respectivamente. El primer triángulo cúbico de Brocard es el lugar geométrico de $X$ para el cual los puntos $X A, X B, X C$ son colineales.

La primera cúbica de Brocard pasa por el centroide, el punto simediano, el punto de Steiner, los centros de otros triángulos y los vértices del primer y tercer triángulo de Brocard.

Para obtener información sobre gráficos y propiedades, consulte K017 en Cúbicas en el plano triangular .

2.º cubo de Brocard

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

La segunda cúbica de Brocard es el lugar geométrico de un punto $X$ para el cual el polo de la recta $XX*$ de la circuncónica que pasa por $X$ y $X*$ se encuentra sobre la línea que une el circuncentro con el punto simediano (es decir, el eje de Brocard). La cúbica pasa por el baricentro, el punto simediano, ambos puntos de Fermat, ambos puntos isodinámicos, el punto de Parry, los centros de otros triángulos y los vértices de los triángulos de Brocard segundo y cuarto.

Para obtener información sobre gráficos y propiedades, consulte K018 en Cúbicas en el plano triangular .

1.ª áreas iguales cúbicas

Primer triángulo cúbico de área igual $△ ABC$ : El lugar geométrico de un punto $X$ tal que el área del triángulo ceviano de $X$ es igual al área del triángulo ceviano de $X*$ .

Ecuación trilineal: $\sum _{\text{cíclico}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

El primer cubo de áreas iguales es el lugar geométrico de un punto $X$ tal que el área del triángulo ceviano de $X$ es igual al área del triángulo ceviano de $X*$ . Además, este cubo es el lugar geométrico de $X$ para el cual $X*$ está en la línea $S*X$ , donde $S$ es el punto de Steiner. ( $S = X (99)$ en la Enciclopedia de Centros de Triángulos ).

El primer cubo de áreas iguales pasa por el incentro, el punto de Steiner, los centros de los demás triángulos, el primer y segundo punto de Brocard y los excentros.

Para obtener información sobre gráficos y propiedades, consulte K021 en Cúbicas en el plano triangular .

2.ª áreas iguales cúbicas

Ecuación trilineal: $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$

Ecuación baricéntrica: $\sum _{\text{cíclico}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$

Por cualquier punto $X=x:y:z$ (trilineales), sea $X_{Y}=y:z:x$ y $X_{Z}=z:x:y.$ El segundo cubo de áreas iguales es el lugar geométrico de $X$ tal que el área del triángulo ceviano de $X Y$ es igual al área del triángulo ceviano de $X Z$ .

El segundo cubo de áreas iguales pasa por el incentro, el centroide, el punto simediano y los puntos en la Enciclopedia de Centros de Triángulos indexados como X (31), X (105), X ( 238), X (292), X (365), X (672), X (1453), X (1931), X (2053) y otros.

Para obtener información sobre gráficos y propiedades, consulte K155 en Cúbicas en el plano triangular .

Herramienta GeoGebra para dibujar cubos triangulares

Cuadrícula de Tucker (cúbica K011 en el catálogo) del triángulo ABC dibujada usando el comando GeoGebra *Cubic(A,B,C,11)* .

GeoGebra , el paquete de software para aplicaciones interactivas de geometría, álgebra, estadística y cálculo, tiene una herramienta integrada para dibujar las cúbicas listadas en el Catálogo. ^{[ 3 ]} El comando

Cúbico( <Punto>, <Punto>, <Punto>, n)

Imprime la n -ésima cúbica del catálogo para el triángulo cuyos vértices son los tres puntos indicados. Por ejemplo, para imprimir la cúbica de Thomson del triángulo cuyos vértices son A, B y C, se puede ejecutar el siguiente comando:

Cúbico(A, B, C, 2)

Véase también

Geometría triangular moderna

Referencias

↑ Bernardo Gibert. «Catálogo de Triángulos Cúbicos» . Cúbicas en el plano del triángulo . Bernardo Gibert . Consultado el 27 de noviembre de 2021 .
↑ "K1200: una cúbica KHO crucodal" . Cúbicas en el plano triangular . Bernard Gibert . Consultado el 27 de noviembre de 2021 .
↑ «Comando Cúbico» . GeoGebra . GeoGebra . Consultado el 27 de noviembre de 2021 .

[1] Bernardo Gibert. «Catálogo de Triángulos Cúbicos» . Cúbicas en el plano del triángulo . Bernardo Gibert . Consultado el 27 de noviembre de 2021 .

[2] "K1200: una cúbica KHO crucodal" . Cúbicas en el plano triangular . Bernard Gibert . Consultado el 27 de noviembre de 2021 .

[3] «Comando Cúbico» . GeoGebra . GeoGebra . Consultado el 27 de noviembre de 2021 .

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