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modelo Tobit

En estadística, un modelo Tobit es cualquier modelo de regresión en el que el rango observado de la variable dependiente está censurado de alguna manera. [ 1 ] El término fue ac...

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En estadística, un modelo Tobit es cualquier modelo de regresión en el que el rango observado de la variable dependiente está censurado de alguna manera. [ 1 ] El término fue acuñado por Arthur Goldberger en referencia a James Tobin , [ 2 ] [ a ] ​​quien desarrolló el modelo en 1958 para mitigar el problema de los datos inflados de ceros para las observaciones del gasto de los hogares en bienes duraderos . [ 3 ] [ b ] Debido a que el método de Tobin se puede extender fácilmente para manejar muestras truncadas y otras muestras no seleccionadas aleatoriamente, [ c ] algunos autores adoptan una definición más amplia del modelo Tobit que incluye estos casos. [ 4 ]

La idea de Tobin fue modificar la función de verosimilitud para que reflejara la probabilidad de muestreo desigual para cada observación, dependiendo de si la variable dependiente latente se encontraba por encima o por debajo del umbral determinado. [ 5 ] Para una muestra que, como en el caso original de Tobin, estaba censurada por debajo de cero, la probabilidad de muestreo para cada observación que no es límite es simplemente la altura de la función de densidad apropiada . Para cualquier observación límite, es la distribución acumulativa, es decir, la integral por debajo de cero de la función de densidad apropiada. La función de verosimilitud de Tobit es, por lo tanto, una mezcla de densidades y funciones de distribución acumulativa. [ 6 ]

La función de verosimilitud

A continuación se muestran las funciones de verosimilitud y log-verosimilitud para un modelo Tobit de tipo I. Este es un modelo Tobit que está censurado desde abajo enyL{\displaystyle y_{L}}cuando la variable latenteyj∗≤yL{\displaystyle y_{j}^{*}\leq y_{L}}Para escribir la función de verosimilitud, primero definimos una función indicadora.I{\displaystyle I}:

I(y)={0si y≤yL,1si y>yL.{\displaystyle I(y)={\begin{cases}0&{\text{si }}y\leq y_{L},\\1&{\text{si }}y>y_{L}.\end{cases}}}

A continuación, dejemosΦ{\displaystyle \Phi }sea ​​la función de distribución acumulativa normal estándar yφ{\displaystyle \varphi }ser la función de densidad de probabilidad normal estándar . Para un conjunto de datos con N observaciones, la función de verosimilitud para un tobit de tipo I es

L(β,σ)=∏j=1norte(1σφ(yj−incógnitajβσ))I(yj)(1−Φ(incógnitajβ−yLσ))1−I(yj){\displaystyle {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )=\prod _{j=1}^{N}\left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)^{I(y_{j})}\left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)^{1-I(y_{j})}}

y la verosimilitud logarítmica viene dada por

registro⁡L(β,σ)=∑j=1norteI(yj)registro⁡(1σφ(yj−incógnitajβσ))+(1−I(yj))registro⁡(1−Φ(incógnitajβ−yLσ))=∑yj>yLregistro⁡(1σφ(yj−incógnitajβσ))+∑yj=yLregistro⁡(Φ(yL−incógnitajβσ)){\displaystyle {\begin{aligned}\log {\mathcal {L}}(\beta ,\sigma )&=\sum _{j=1}^{n}I(y_{j})\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+(1-I(y_{j}))\log \left(1-\Phi \left({\frac {X_{j}\beta -y_{L}}{\sigma }}\right)\right)\\&=\sum _{y_{j}>y_{L}}\log \left({\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {y_{j}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left(\Phi \left({\frac {y_{L}-X_{j}\beta }{\sigma }}\right)\right)\end{aligned}}}

Reparametrización

La log-verosimilitud, como se indicó anteriormente, no es globalmente cóncava , lo que complica la estimación de máxima verosimilitud . Olsen sugirió la reparametrización simple.β=δ/γ{\displaystyle \beta =\delta /\gamma }yσ2=γ−2{\displaystyle \sigma ^{2}=\gamma ^{-2}}, lo que resulta en una log-verosimilitud transformada,

registro⁡L(δ,γ)=∑yj>yL{registro⁡γ+registro⁡[φ(γyj−incógnitajδ)]}+∑yj=yLregistro⁡[Φ(γyL−incógnitajδ)]{\displaystyle \log {\mathcal {L}}(\delta ,\gamma )=\sum _{y_{j}>y_{L}}\left\{\log \gamma +\log \left[\varphi \left(\gamma y_{j}-X_{j}\delta \right)\right]\right\}+\sum _{y_{j}=y_{L}}\log \left[\Phi \left(\gamma y_{L}-X_{j}\delta \right)\right]}

que es globalmente cóncava en términos de los parámetros transformados. [ 7 ]

Para el modelo truncado (Tobit II), Orme demostró que, si bien la log-verosimilitud no es globalmente cóncava, sí lo es en cualquier punto estacionario bajo la transformación anterior. [ 8 ] [ 9 ]

Consistencia

Si el parámetro de relaciónβ{\displaystyle \beta }se estima mediante la regresión de la observadayi{\displaystyle y_{i}}enincógnitai{\displaystyle x_{i}}El estimador de regresión de mínimos cuadrados ordinarios resultante es inconsistente . Proporcionará una estimación sesgada hacia abajo del coeficiente de pendiente y una estimación sesgada hacia arriba de la intersección. Takeshi Amemiya (1973) demostró que el estimador de máxima verosimilitud sugerido por Tobin para este modelo es consistente. [ 10 ]

Interpretación

Elβ{\displaystyle \beta }El coeficiente no debe interpretarse como el efecto deincógnitai{\displaystyle x_{i}}enyi{\displaystyle y_{i}}, como se haría con un modelo de regresión lineal ; este es un error común. En cambio, debe interpretarse como la combinación de

  1. el cambio enyi{\displaystyle y_{i}}de aquellos que superan el límite, ponderados por la probabilidad de estar por encima del límite;
  2. el cambio en la probabilidad de estar por encima del límite, ponderado por el valor esperado deyi{\displaystyle y_{i}}si arriba. [ 11 ]

∂mi[Yi∣incógnitai]∂incógnitaik=∂mi[Yi∣Yi>0,incógnitai]∂incógnitaik⋅PAG(Yi>0∣incógnitai)+∂PAG(Yi>0∣incógnitai)∂incógnitaik⋅mi[Yi∣Yi>0,incógnitai].{\displaystyle {\frac {\partial \mathbb {E} [Y_{i}\mid X_{i}]}{\partial x_{ik}}}={\frac {\partial \mathbb {E} [Y_{i}\mid Y_{i}>0,X_{i}]}{\partial x_{ik}}}\cdot \mathbb {P} (Y_{i}>0\mid X_{i})+{\frac {\partial \mathbb {P} (Y_{i}>0\mid X_{i})}{\partial x_{ik}}}\cdot \mathbb {E} [Y_{i}\mid Y_{i}>0,X_{i}].}

Variaciones del modelo Tobit

Se pueden generar variaciones del modelo Tobit cambiando dónde y cuándo ocurre la censura . Amemiya (1985 , p. 384) clasifica estas variaciones en cinco categorías (Tobit tipo I – Tobit tipo V), donde Tobit tipo I corresponde al primer modelo descrito anteriormente. Schnedler (2005) proporciona una fórmula general para obtener estimadores de verosimilitud consistentes para estas y otras variaciones del modelo Tobit. [ 12 ]

Tipo I

El modelo Tobit es un caso especial de un modelo de regresión censurada , porque la variable latenteyi∗{\displaystyle y_{i}^{*}} no siempre se puede observar mientras que la variable independienteincógnitai{\displaystyle x_{i}}es observable. Una variación común del modelo Tobit es la censura en un valoryL{\displaystyle y_{L}}distinto de cero:

yi={yi∗si yi∗>yL,yLsi yi∗≤yL.{\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{si }}y_{i}^{*}>y_{L},\\y_{L}&{\text{si }}y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}

Otro ejemplo es la censura de valores superioresyU{\displaystyle y_{U}}.

yi={yi∗si yi∗<yU,yUsi yi∗≥yU.{\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{si }}y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{U}&{\text{si }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}

Otro modelo resulta cuandoyi{\displaystyle y_{i}}Está censurado desde arriba y desde abajo al mismo tiempo.

yi={yi∗si yL<yi∗<yU,yLsi yi∗≤yL,yUsi yi∗≥yU.{\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&{\text{si }}y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U},\\y_{L}&{\text{si }}y_{i}^{*}\leq y_{L},\\y_{U}&{\text{si }}y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}

El resto de los modelos se presentarán como acotados inferiormente en 0, aunque esto se puede generalizar como se hizo para el Tipo I.

Tipo II

Los modelos Tobit de tipo II introducen una segunda variable latente. [ 13 ]

y2i={y2i∗si y1i∗>0,0si y1i∗≤0.{\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}

En el modelo Tobit de tipo I, la variable latente engloba tanto el proceso de participación como el resultado de interés. El modelo Tobit de tipo II permite que el proceso de participación (selección) y el resultado de interés sean independientes, condicionados a los datos observables.

El modelo de selección de Heckman cae en el tobit de tipo II, [ 14 ] que a veces se llama Heckit en honor a James Heckman . [ 15 ]

Tipo III

El tipo III introduce una segunda variable dependiente observada.

y1i={y1i∗si y1i∗>0,0si y1i∗≤0.{\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y2i={y2i∗si y1i∗>0,0si y1i∗≤0.{\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}

El modelo Heckman pertenece a este tipo.

Tipo IV

El método de tipo IV introduce una tercera variable dependiente observada y una tercera variable latente.

y1i={y1i∗si y1i∗>0,0si y1i∗≤0.{\displaystyle y_{1i}={\begin{cases}y_{1i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y2i={y2i∗si y1i∗>0,0si y1i∗≤0.{\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y3i={y3i∗si y1i∗≤0,0si y1i∗<0.{\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}<0.\end{cases}}}

Tipo V

Similar al Tipo II, en el Tipo V solo el signo dey1i∗{\displaystyle y_{1i}^{*}}se observa.

y2i={y2i∗si y1i∗>0,0si y1i∗≤0.{\displaystyle y_{2i}={\begin{cases}y_{2i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0.\end{cases}}}
y3i={y3i∗si y1i∗≤0,0si y1i∗>0.{\displaystyle y_{3i}={\begin{cases}y_{3i}^{*}&{\text{if }}y_{1i}^{*}\leq 0,\\0&{\text{if }}y_{1i}^{*}>0.\end{cases}}}

Versión no paramétrica

Si la variable latente subyacenteyi∗{\displaystyle y_{i}^{*}}Como no tiene una distribución normal, se deben usar cuantiles en lugar de momentos para analizar la variable observable.yi{\displaystyle y_{i}}El estimador CLAD de Powell ofrece una posible manera de lograr esto. [ 16 ]

Aplicaciones

Los modelos Tobit se han aplicado, por ejemplo, para estimar factores que impactan la recepción de subvenciones, incluidas las transferencias financieras distribuidas a gobiernos subnacionales que pueden solicitar estas subvenciones. En estos casos, los beneficiarios de las subvenciones no pueden recibir cantidades negativas, y los datos están, por lo tanto, censurados por la izquierda. Por ejemplo, Dahlberg y Johansson (2002) analizan una muestra de 115 municipios (42 de los cuales recibieron una subvención). [ 17 ] Dubois y Fattore (2011) utilizan un modelo Tobit para investigar el papel de varios factores en la recepción de fondos de la Unión Europea aplicando gobiernos subnacionales polacos. [ 18 ] Sin embargo, los datos pueden estar censurados por la izquierda en un punto superior a cero, con el riesgo de una especificación incorrecta. Ambos estudios aplican Probit y otros modelos para comprobar la robustez. Los modelos Tobit también se han aplicado en el análisis de la demanda para acomodar observaciones con gastos cero en algunos bienes. En una aplicación relacionada de los modelos Tobit, se ha utilizado un sistema de modelos de regresión Tobit no lineales para estimar conjuntamente un sistema de demanda de marca con variantes homocedásticas, heterocedásticas y heterocedásticas generalizadas. [ 19 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Cuando se le preguntó por qué se llamaba modelo "tobit", en lugar de Tobin, James Tobin explicó que este término fue introducido por Arthur Goldberger , ya sea como una combinación de " probit de Tobin " o como una referencia a la novela El motín del Caine , una novela del amigo de Tobin, Herman Wouk , en la que Tobin hace un cameo como "el Sr. Tobit". Tobin afirma haberle preguntado a Goldberger cuál era la razón, y el hombre se negó a decirlo. Véase Shiller, Robert J. (1999). "The ET Interview: Professor James Tobin". Econometric Theory . 15 (6): 867– 900. doi : 10.1017/S0266466699156056 . S2CID 122574727 . 
  2. ↑ Un modelo casi idéntico fue sugerido independientemente por Anders Hald en 1949, véase Hald, A. (1949). "Estimación de máxima verosimilitud de los parámetros de una distribución normal truncada en un punto conocido". Scandinavian Actuarial Journal . 49 (4): 119– 134. doi : 10.1080/03461238.1949.10419767 .
  3. ↑ Una muestra(yi,incógnitai){\displaystyle (y_{i},\mathbf {x} _{i})}está censurado enyi{\displaystyle y_{i}}cuandoincógnitai{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}Se observa en todas las observaciones.i=1,2,…,norte{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}, pero el verdadero valor deyi{\displaystyle y_{i}}se conoce solo para un rango restringido de observaciones. Si la muestra se trunca , ambosincógnitai{\displaystyle \mathbf {x} _{i}}yyi{\displaystyle y_{i}}solo se observan siyi{\displaystyle y_{i}}cae dentro del rango restringido. Véase Breen, Richard (1996). Modelos de regresión : datos censurados, de muestras seleccionadas o truncados . Thousand Oaks: Sage. págs. 2–4 . ISBN   0-8039-5710-6.

Referencias

  1. ↑ Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton: Princeton University Press. pp. 518–521 . ISBN  0-691-01018-8.
  2. ↑ Goldberger, Arthur S. (1964). Teoría econométrica . Nueva York: J. Wiley. págs. 253–255 . ISBN  9780471311010.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  3. ↑ Tobin, James (1958). "Estimación de relaciones para variables dependientes limitadas" (PDF) . Econometrica . 26 (1): 24– 36. doi : 10.2307/1907382 . JSTOR 1907382 . 
  4. ↑ Amemiya, Takeshi (1984). "Modelos Tobit: una revisión". Journal of Econometrics . 24 ( 1–2 ): 3–61 . doi : 10.1016/0304-4076(84)90074-5 .
  5. ↑ Kennedy, Peter (2003). Guía de econometría (Quinta ed.). Cambridge: MIT Press. págs. 283–284 . ISBN   0-262-61183-X.
  6. ↑ Bierens, Herman J. (2004). Introducción a los fundamentos matemáticos y estadísticos de la econometría . Cambridge University Press. pág. 207 . 
  7. ↑ Olsen, Randall J. (1978). "Nota sobre la unicidad del estimador de máxima verosimilitud para el modelo Tobit". Econometrica . 46 (5): 1211– 1215. doi : 10.2307/1911445 . JSTOR 1911445 . 
  8. ↑ Orme, Chris (1989). "Sobre la unicidad del estimador de máxima verosimilitud en modelos de regresión truncados". Econometric Reviews . 8 (2): 217– 222. doi : 10.1080/07474938908800171 .
  9. ↑ Iwata, Shigeru (1993). "Una nota sobre las raíces múltiples de la verosimilitud logarítmica de Tobit". Journal of Econometrics . 56 (3): 441– 445. doi : 10.1016/0304-4076(93)90129-S .
  10. ↑ Amemiya, Takeshi (1973). "Análisis de regresión cuando la variable dependiente es normal truncada". Econometrica . 41 (6): 997– 1016. doi : 10.2307/1914031 . JSTOR 1914031 . 
  11. ↑ McDonald, John F.; Moffit, Robert A. (1980). "Los usos del análisis Tobit". The Review of Economics and Statistics . 62 (2): 318– 321. doi : 10.2307/1924766 . JSTOR 1924766 . 
  12. ↑ Schnedler, Wendelin (2005). "Estimación de verosimilitud para vectores aleatorios censurados" (PDF) . Econometric Reviews . 24 (2): 195– 217. doi : 10.1081/ETC-200067925 . hdl : 10419/127228 . S2CID 55747319 . 
  13. ↑ Amemiya, Takeshi (1985). "Modelos Tobit". Econometría avanzada . Cambridge, Mass: Harvard University Press. pág . 384. ISBN  0-674-00560-0OCLC 11728277​​ 
  14. ↑ Heckman, James J. (1979). "Sesgo de selección de muestra como error de especificación". Econometrica . 47 (1): 153– 161. doi : 10.2307/1912352 . ISSN 0012-9682 . JSTOR 1912352 .  
  15. ↑ Sigelman, Lee; Zeng, Langche (1999). "Análisis de datos censurados y seleccionados por muestreo con modelos Tobit y Heckit". Political Analysis . 8 (2): 167– 182. doi : 10.1093/oxfordjournals.pan.a029811 . ISSN 1047-1987 . JSTOR 25791605 .  
  16. ↑ Powell, James L (1 de julio de 1984). "Estimación de mínimas desviaciones absolutas para el modelo de regresión censurada". Journal of Econometrics . 25 (3): 303– 325. CiteSeerX 10.1.1.461.4302 . doi : 10.1016/0304-4076(84)90004-6 . 
  17. ↑ Dahlberg, Matz; Johansson, Eva (2002-03-01). "Sobre el comportamiento de compra de votos de los gobiernos titulares". American Political Science Review . 96 (1): 27– 40. CiteSeerX 10.1.1.198.4112 . doi : 10.1017/S0003055402004215 . ISSN 1537-5943 . S2CID 12718473 .   
  18. ↑ Dubois, Hans FW; Fattore, Giovanni (2011-07-01). "Asignación de fondos públicos mediante evaluación de proyectos". Estudios Regionales y Federales . 21 (3): 355– 374. doi : 10.1080/13597566.2011.578827 . ISSN 1359-7566 . S2CID 154659642 .  
  19. ↑ Baltas, George (2001). "Sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad con consumo endógeno de categoría: principios y aplicaciones de marketing". Decision Sciences . 32 (3): 399– 422. doi : 10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x . ISSN 0011-7315 . 

Lecturas adicionales

  • Amemiya, Takeshi (1985). «Modelos Tobit» . Econometría avanzada . Oxford: Basil Blackwell. pp. 360–411 . ISBN  0-631-13345-3.
  • Breen, Richard (1996). «El modelo Tobit para datos censurados». Modelos de regresión  : datos censurados, de muestras seleccionadas o truncados . Thousand Oaks: Sage. pp. 12–33 . ISBN  0-8039-5710-6.
  • Gouriéroux, Christian (2000). «El modelo Tobit» . Econometría de variables dependientes cualitativas . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 170–207 . ISBN  0-521-58985-1.
  • King, Gary (1989). «Modelos con selección no aleatoria» . Metodología política unificadora  : la teoría de la verosimilitud de la inferencia estadística . Cambridge University Press. págs. 208-230 . ISBN  0-521-36697-6.
  • Maddala, GS (1983). «Modelos de regresión censurados y truncados». Variables cualitativas y dependientes limitadas en econometría . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 149-196 . ISBN  0-521-24143-X.