Singularidad canónica

En matemáticas, las singularidades canónicas son una clase de singularidades que aparecen en el modelo canónico de una variedad algebraica , y las singularidades terminales son una clase más restringida que se presentan como singularidades de modelos mínimos . Estas clases de singularidades fueron introducidas por Miles Reid (1980) . Las singularidades terminales son importantes en el programa de modelos mínimos porque no existen modelos mínimos suaves en la generalidad deseada, y por lo tanto, se deben permitir ciertas singularidades "suaves".

Sea X una variedad normal sobre un cuerpo cuya clase canónica K _X es - Cartier (como se discute más adelante), y sea una resolución de singularidades de X. Usando que los divisores de Cartier se pueden retraer , se puede escribir${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle f\colon Y\to X}$

${\displaystyle \displaystyle K_{Y}=f^{*}(K_{X})+\sum _{i}a_{i}E_{i}}$

donde la suma se realiza sobre los divisores excepcionales de f (las subvariedades de Y de codimensión 1 , que son irreducibles por definición, cuya imagen en X tiene codimensión al menos 2). Los a _i son números racionales, llamados discrepancias .

Entonces se dice que X es

• terminal si para todo i ,${\displaystyle a_{i}>0}$
• canónico si para todo i .${\displaystyle a_{i}\geq 0}$

(También se puede decir que X tiene "singularidades terminales" o "singularidades canónicas"). Estas propiedades son independientes de la elección de la resolución. ^{[ 1 ]}

Supongamos, más concretamente, que es una resolución logarítmica , lo que significa que Y no es singular y el lugar excepcional de f es un divisor con cruces normales simples en Y. Entonces se dice que X es${\displaystyle f\colon Y\to X}$

• Terminal de registro de Kawamata (klt) si para todos i ,${\displaystyle a_{i}>-1}$
• log canónico (lc) si para todo i .${\displaystyle a_{i}\geq -1}$

Estas dos propiedades son independientes de la elección de la resolución del registro. ^{[ 2 ]} Fueron introducidas a principios de la década de 1980 (con una terminología ligeramente diferente) por Yujiro Kawamata .

Si alguna resolución logarítmica de X tiene un divisor excepcional con discrepancia menor que , entonces X tiene otras resoluciones logarítmicas con discrepancias arbitrariamente negativas . ^{[ 3 ]} Como resultado, "log canónico" es la condición más general que se puede definir en estas líneas, independientemente de la elección de la resolución logarítmica.${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle a_{j}}$

Estas propiedades significan que las formas diferenciales en X se comportan como aquellas en una variedad suave , en mayor o menor medida. ^{[ 4 ]} Cuando X es una variedad suave de dimensión n sobre un cuerpo k , su fibrado de líneas canónico se define como el haz de n- formas (o "formas de volumen") en X , . Para cualquier morfismo de n- variedades suaves, hay una forma natural de hacer retroceder secciones de a secciones de . En coordenadas locales, esta operación de retroceso viene dada por el determinante jacobiano de f . Cuando es un morfismo birracional de variedades suaves, el retroceso de una sección de se anula a lo largo de cada divisor excepcional de f , porque el determinante jacobiano se anula allí.${\displaystyle \omega _{X}:=\Omega _{X/k}^{n}}$${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{Y}}$${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle \omega _{X}}$

Para una variedad X sobre un cuerpo perfecto que es normal pero no liso, el lugar singular de X tiene codimensión al menos 2. El haz relevante de "formas de volumen", llamado haz canónico , se define por: una sección de en un subconjunto abierto U de X es simplemente una n -forma en el lugar liso de U. ^{[ 5 ]} Este haz no tiene por qué ser un fibrado de líneas (un haz localmente libre de rango 1) en X. ( Es decir, en un punto singular p en X , puede que no haya ningún entorno abierto U de p para el cual haya una n - forma que no se anule en ningún lugar en .) Pero la condición de que sea -Cartier, en la definición de "terminal" y demás, significa que para algún entero positivo m , el m -ésimo fibrado de líneas de potencia tensorial en se extiende a un fibrado de líneas en X. La parte principal de la definición de "terminal" establece que, para una resolución de singularidades , cada sección de (en un subconjunto abierto de X ) se reduce a una sección de que se anula en cada divisor excepcional de f , y de igual modo para todos los múltiplos positivos de . Por lo tanto, las formas de volumen en una variedad terminal se comportan "exactamente igual" que las de una variedad lisa.${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle U^{\text{suave}}}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \omega _{X}^{\otimes m}}$${\displaystyle X^{\text{suave}}}$${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{Y}}$${\displaystyle \omega _{X}}$

Asimismo, «canónico» significa que las secciones de se reducen a secciones de , y lo mismo ocurre con los múltiplos positivos (pero sin que se requiera que se anulen en los divisores excepcionales). «Klt» significa que las secciones de se reducen a secciones de , sin el mismo requisito para los múltiplos positivos de . Finalmente, «log canónico» significa que las secciones de se reducen a secciones racionales de que tienen como máximo un polo de orden 1 a lo largo de cada divisor excepcional. (La palabra «log» proviene principalmente de la noción de formas logarítmicas , que equivale a esta condición de «polo de orden 1». Por ejemplo, es una 1-forma en la recta afín con «polos logarítmicos» en el origen).${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{Y}}$${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{Y}}$${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{X}}$${\displaystyle \omega _{Y}}$${\displaystyle dx/x}$

Una consecuencia directa de la definición de singularidades canónicas es que si dos variedades proyectivas con singularidades canónicas son birracionales, entonces tienen los mismos plurigéneros , las dimensiones de los espacios vectoriales para todo . Por Caucher Birkar , Paolo Cascini, Christopher Hacon y James McKernan , toda variedad proyectiva lisa X de tipo general sobre un cuerpo de característica cero es birracional a una única variedad proyectiva con singularidades canónicas y clase canónica amplia , llamada modelo canónico de X. Además, X también es birracional a una variedad proyectiva (no en general única) con singularidades terminales y clase canónica nef , llamada modelo mínimo de X. ^{[ 6 ]} Estas son herramientas fundamentales para la clasificación birracional de variedades algebraicas .${\displaystyle H^{0}(X,O(mK_{X}))}$${\displaystyle m\geq 0}$

La motivación para definir singularidades terminales o canónicas fue que constituyen las clases más pequeñas de singularidades para las que se espera la existencia de modelos mínimos o canónicos. Sin embargo, muchas técnicas del programa de modelos mínimos resultaron ser aplicables a la mayor generalidad de las singularidades klt o incluso log canónicas. En consecuencia, se puede afirmar más al considerar estas clases más amplias de singularidades. Por ejemplo: el teorema de anulación de Kodaira y el teorema del cono se extienden a variedades log canónicas proyectivas (y pares, como se analiza más adelante ) en característica cero. ^{[ 7 ]} O también: las variedades de Fano klt en característica cero son racionalmente conexas . ^{[ 8 ]}

Las variedades terminales de dimensión como máximo 2 sobre un cuerpo perfecto son suaves. (Sobre un cuerpo arbitrario, la afirmación correcta es más bien que las variedades terminales de dimensión como máximo 2 son esquemas regulares ). Esto explica por qué los modelos mínimos de superficies pueden tomarse como suaves. De manera más general, el lugar singular de cualquier variedad terminal tiene codimensión al menos 3. Por lo tanto, las singularidades terminales en dimensión 3 están aisladas; sobre los números complejos , fueron clasificadas por Shigefumi Mori (1985) y Reid. En particular, una singularidad terminal de 3 pliegues es el cociente de una singularidad de hipersuperficie con multiplicidad 2 por un grupo cíclico finito . ^{[ 9 ]} Algunos ejemplos simples de singularidades terminales en dimensión 3 son el nodo de 3 pliegues, en , y la singularidad cociente .${\displaystyle xy=zw}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{4}}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{3}/\pm 1}$

Las singularidades canónicas bidimensionales también se denominan singularidades de du Val . ^{[ 10 ]} Sobre los números complejos, son localmente analíticamente isomorfas a cocientes del plano afín por subgrupos finitos del grupo lineal especial . En cualquier dimensión, las singularidades cociente son canónicas cuando G es un subgrupo finito de .${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}}$${\displaystyle SL(2,{\mathbb {C} })}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}/G}$${\displaystyle SL(n,{\mathbb {C} })}$

Las singularidades klt bidimensionales sobre son localmente analíticamente isomorfas a cocientes de por subgrupos finitos del grupo lineal general . ^{[ 11 ]} En cualquier dimensión, todas las singularidades cociente (con G un subgrupo finito de ) son klt. Por otro ejemplo, las variedades tóricas X con -Cartier son klt.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}}$${\displaystyle GL(2,{\mathbb {C} })}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}/G}$${\displaystyle GL(n,{\mathbb {C} })}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Las singularidades log canónicas bidimensionales fueron clasificadas por Kawamata (1988) : son elípticas simples, cúspides o suaves, divididas por la acción de un grupo finito . ^{[ 12 ]} Por ejemplo, la superficie en es terminal (de hecho, suave) para , canónica (o también klt) para , y log canónica para . Para , este es el cono afín sobre una curva cónica suave en el plano proyectivo (llamado nodo de superficie), que también puede verse como el cociente . Para , este es el cono afín sobre una curva elíptica .${\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}=0}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{3}}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle d\leq 2}$${\displaystyle d\leq 3}$${\displaystyle d=2}$${\displaystyle {\mathbf {P} }^{2}}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}/\pm 1}$${\displaystyle d=3}$

Generalizando el ejemplo anterior, existe una descripción clara de estas condiciones para una singularidad de cono de cualquier dimensión. Sea X una variedad proyectiva lisa sobre un cuerpo, A un fibrado lineal amplio sobre X , e Y el cono afín sobre X con respecto a A :

${\displaystyle Y={\text{Spec}}(\oplus _{m\geq 0}H^{0}(X,A^{\otimes m})).}$

Entonces ^{[ 13 ]}

• Y es terminal si y solo si A es linealmente equivalente a para algún número racional ;${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle c(-K_{X})}$${\displaystyle 0<c<1}$
• Y es canónico si y solo si A es -linealmente equivalente a para algún número racional ;${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle c(-K_{X})}$${\displaystyle 0<c\leq 1}$
• Y es klt si y solo si A es -linealmente equivalente a para algún número racional ;${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle c(-K_{X})}$${\displaystyle c>0}$
• y Y es log canónico si y solo si es -linealmente equivalente a para algún número racional .${\displaystyle -K_{X}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle bA}$${\displaystyle b\geq 0}$

En particular, si Y es klt, entonces X debe ser una variedad de Fano , lo que significa que es amplia. Si Y es log-canónica, entonces X es de Fano o de Calabi-Yau , lo que significa que es -linealmente equivalente a cero. Por ejemplo, un cono sobre una curva elíptica es log-canónica pero no klt, y un cono sobre una curva de género al menos 2 no es log-canónica.${\displaystyle -K_{X}}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Otro ejemplo: dado que el fibrado canónico de la recta proyectiva tiene grado , estos resultados indican que el cono afín sobre la curva normal racional de grado d en es terminal (de hecho, suave) para , canónico para , y klt para todos los enteros positivos d . (Sobre los números complejos, estas singularidades de superficie también pueden verse como singularidades cociente , donde G es el grupo cíclico de orden d que actúa mediante escalares).${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{d}}$${\displaystyle d=1}$${\displaystyle d\leq 2}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{2}/G}$

Para enteros positivos con n al menos 2, la singularidad de hipersuperficie en es canónica si y solo si . ^{[ 14 ]}${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \{x_{1}^{a_{1}}+\cdots +x_{n}^{a_{n}}=0\}}$${\displaystyle A_{\mathbb {C} }^{n}}$${\displaystyle {\frac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}>1}$

Estas clases de singularidades están estrechamente relacionadas con la noción más antigua de singularidades racionales . Supongamos aquí que el cuerpo base son los números complejos . Entonces, toda variedad klt X tiene singularidades racionales. ^{[ 15 ]} En particular, X es Cohen-Macaulay . (Estas afirmaciones pueden fallar para variedades log-canónicas. Por ejemplo, un cono afín sobre una superficie abeliana es log-canónico pero no Cohen-Macaulay, por lo que no tiene singularidades racionales. ^{[ 16 ]} )${\displaystyle \mathbb {C} }$

Por el contrario, si es Cartier, entonces las singularidades "canónicas", "klt" y "racionales" son todas equivalentes, e implican que X es Gorenstein . ^{[ 17 ]} De manera más general, toda variedad klt X (en algún entorno de un punto dado p ) es el cociente por un grupo cíclico finito G de una singularidad canónica Y con Cartier, llamada la cubierta de índice 1 de X cerca de p . Además, G actúa libremente en codimensión 1 (lo que significa que actúa libremente fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2 en Y ). Como resultado, las singularidades klt sobre son exactamente los cocientes de singularidades racionales de Gorenstein por un grupo cíclico que actúa libremente en codimensión 1. ^{[ 18 ]}${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle K_{Y}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

De manera más general, siguiendo a Kawamata, estos conceptos pueden definirse para un par (o par logarítmico ) . Es decir, sea X una variedad normal y sea un -divisor en X (una combinación lineal finita de subvariedades de codimensión-1 con coeficientes racionales) tal que es -Cartier. (Las siguientes propiedades dependen del -divisor específico , no solo de su clase de equivalencia lineal . De manera más general, las definiciones funcionan de la misma manera para los -divisores). La idea básica es pensar en un par como una generalización de una variedad, siendo la "clase canónica" del par .${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K_{X}+\Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle K_{X}+\Delta }$

Sea una resolución logarítmica de , lo que significa que Y es no singular y la unión del lugar excepcional de f con la transformación estricta de es un divisor con cruces normales simples en Y . (La transformación estricta de una subvariedad S de codimensión 1 de X (que se entiende irreducible) es la única subvariedad de codimensión 1 de Y que se aplica a S ; esto se extiende de manera obvia a una combinación lineal finita de subvariedades.) Existe un -divisor bien definido en Y tal que${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle K_{Y}+\Gamma =f^{*}(K_{X}+\Delta ).}$

(Aquí la transformación estricta de cada componente de tiene el mismo coeficiente en que en .) El par se llama ^{[ 2 ]}${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle (X,\Delta )}$

• Terminal de logaritmo de Kawamata (klt) si todos los coeficientes de son ,${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle <1}$
• logaritmo canónico (lc) si todos los coeficientes de son .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \leq 1}$

Estas propiedades también pueden definirse sin especificar una resolución logarítmica particular de . Es decir, sea cualquier morfismo birracional propio de una variedad normal Y a X. Existe un -divisor bien definido en Y como el anterior. Para cada subvariedad de codimensión 1 E en Y , definimos la discrepancia de E con respecto a como el negativo del coeficiente de E en . Entonces se dice que es klt si todo divisor irreducible E sobre X (es decir, en toda tal variedad Y ) tiene discrepancia . De igual modo, es log canónico si todo divisor irreducible E sobre X tiene discrepancia . ^{[ 2 ]} (Esto concuerda con las definiciones anteriores si existe una resolución logarítmica, por ejemplo, cuando el cuerpo base tiene característica cero. Las definiciones de este párrafo son las que se utilizan cuando no se sabe que existe una resolución logarítmica, por ejemplo, cuando el cuerpo base tiene característica positiva y X tiene dimensión mayor que 3.)${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle >-1}$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \geq -1}$

Utilizando esta terminología, se pueden definir varias clases relacionadas de pares de la siguiente manera. A saber, un par es${\displaystyle (X,\Delta )}$

• terminal si tiene coeficientes y cada divisor excepcional sobre X tiene discrepancia (con respecto a ),${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle <1}$${\displaystyle >0}$${\displaystyle (X,\Delta )}$
• canónico si tiene coeficientes y cada divisor excepcional sobre X tiene discrepancia ,${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle \geq 0}$
• terminal logarítmico puro (plt) si tiene coeficientes y cada divisor excepcional sobre X tiene discrepancia .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \leq 1}$${\displaystyle >-1}$

Aquí, un divisor excepcional sobre${\displaystyle X}$ significa un divisor irreducible E en alguna variedad normal como la anterior, tal que la imagen de E en X tiene codimensión al menos 2. Cuando , estas definiciones de "terminal" y "canónico" coinciden con las dadas anteriormente para variedades en lugar de pares. Cuando X tiene dimensión al menos 2, la suposición en estas definiciones sobre los coeficientes de puede omitirse (se deduce de la condición sobre divisores excepcionales). ^{[ 19 ]}${\displaystyle Y\to X}$${\displaystyle \Delta =0}$${\displaystyle \Delta }$

Una última clase relacionada de pares es: es divisorial log terminal (dlt) si tiene coeficientes como máximo 1 y la discrepancia es para cada divisor excepcional sobre X cuya imagen en X está contenida en el subconjunto cerrado donde el par no tiene cruces normales simples. ^{[ 19 ]} (En términos generales, esto significa que "dlt" es la clase más pequeña de pares que incluye pares klt, así como pares de cruces normales simples con coeficientes como máximo 1).${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle >-1}$${\displaystyle (X,\Delta )}$

En dimensión al menos 2, si un par no es log-canónico, es decir, si algún divisor irreducible sobre X tiene una discrepancia menor que , entonces existen divisores irreducibles sobre X con discrepancias arbitrariamente negativas. ^{[ 3 ]} Esto explica por qué "log-canónico" es la condición más general que se puede formular en este sentido para variedades normales. (Existe una generalización útil de "log-canónico" a esquemas no normales, "semilog-canónico" o "slc". ^{[ 20 ]} Por ejemplo, las curvas estables son slc.)${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle -1}$

Una razón práctica para estudiar pares es que muchos resultados del programa de modelos mínimos se han extendido de variedades a pares. Por ejemplo, el teorema de desaparición de Kodaira y el teorema del cono se cumplen para pares logcanónicos proyectivos (o incluso slc) con efectivos (es decir, con coeficientes ). ^{[ 7 ]} O también: para un par dlt Fano (lo que significa que X es proyectivo, es amplio y es efectivo), X es racionalmente conexo. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, puede ser posible decir más sobre una variedad dada X encontrando un adecuado .${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \geq 0}$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle -(K_{X}+\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$

Así como las singularidades terminales y canónicas ocurren en modelos mínimos y canónicos de variedades proyectivas suaves, los pares dlt y log canónicos surgen naturalmente como modelos "mínimos" o "log canónicos" de pares con X proyectiva suave y D un divisor de cruce normal simple con coeficientes 1. ^{[ 21 ]} Una motivación temprana para estudiar tales pares fue clasificar variedades suaves no compactas, en la medida de lo posible. De hecho, toda variedad cuasi-proyectiva suave sobre puede escribirse como para alguna variedad proyectiva suave X y algún divisor D con cruces normales simples. Un par dado puede entonces simplificarse a través del programa de modelo mínimo.${\displaystyle (X,D)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X-D}$${\displaystyle (X,D)}$

Filosóficamente, la definición de singularidades terminales (por ejemplo) ya indica que muchas propiedades de una variedad X pueden codificarse en una resolución de singularidades junto con el -divisor tal que . Esto sugiere que los pares pueden verse como objetos geométricos comparables a las variedades: para ciertos propósitos, X puede reemplazarse por el par . Se dice que X es birracional crepante al par . ^{[ 22 ]}${\displaystyle f\colon Y\to X}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle f^{*}(K_{X})=K_{Y}+\Delta }$${\displaystyle (Y,\Delta )}$${\displaystyle (Y,\Delta )}$

Para pares (a diferencia de variedades), las condiciones más importantes son "log canónico" y las distintas versiones de "log terminal". Estas condiciones miden las singularidades de la variedad X junto con las del divisor . Al variar los coeficientes de se obtiene una medida cuantitativa de cuán singulares son los componentes de . Por ejemplo: para C la curva cúbica cuspidal en el plano afín , el par es klt si y solo si , y es log canónico si y solo si . ^{[ 23 ]} Es decir, una curva cuspidal en una superficie lisa tiene umbral log canónico . (Como sugiere este ejemplo, al disminuir los coeficientes siempre se conserva "klt" y estas otras condiciones en un par , suponiendo que la propiedad " -Cartier" se mantiene).${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle (A^{2},bC)}$${\displaystyle b<5/6}$${\displaystyle b\leq 5/6}$${\displaystyle 5/6}$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle K_{X}+\Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Para un caso simple, sea X una variedad suave y sea un -divisor en X cuyo soporte tiene intersecciones normales simples. (Por ejemplo, X podría ser el plano afín y podrían ser los dos ejes de coordenadas, con un coeficiente racional dado en cada eje). Entonces el par es klt si y solo si los coeficientes de son menores que 1. A continuación, "dlt" y "log canonical" son equivalentes a que los coeficientes de sean como máximo 1. Finalmente, "plt" significa que los coeficientes de son como máximo 1, y no hay dos componentes con coeficiente 1 que se encuentren. De manera más general, un par es plt si y solo si es dlt y no hay dos componentes de con coeficiente 1 que se encuentren. ^{[ 24 ]}${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$

La condición "dlt" es local en la topología de Zariski , pero no en la topología clásica sobre (o en la topología étale , sobre un cuerpo general). Por ejemplo, sea C la curva cúbica nodal en el plano afín sobre . Entonces el par es log canónico pero no dlt, aunque el punto singular de C es localmente analíticamente isomorfo a los dos ejes de coordenadas en . El punto es que C tiene cruces normales pero no cruces normales simples . ^{[ 25 ]} El uso de "cruces normales simples" en la definición hace que los pares dlt sean más fáciles de manejar, sin dejar de ser lo suficientemente amplio como para incluir modelos mínimos de pares de cruces normales simples.${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (A^{2},C)}$${\displaystyle A^{2}}$

Para un par , se cumplen las siguientes implicaciones:${\displaystyle (X,\Delta )}$

${\displaystyle {\text{terminal}}\implies {\text{canonical}}\implies {\text{plt}}\implies {\text{dlt}}\implies {\text{lc}}.}$

Además, "terminal" implica "klt", que a su vez implica "plt". Un par canónico no tiene por qué ser klt, como demuestra el par con X, una variedad suave, y D, una subvariedad suave de codimensión 1 con coeficiente 1.${\displaystyle (X,D)}$

La noción de "plt" se adapta bien a los argumentos por inducción sobre la dimensión. Por ejemplo, sea S una subvariedad definida localmente por una ecuación en una variedad normal X (de modo que S es un divisor de Cartier irreducible en X ). Entonces, la fórmula de adjunción dice que . Como resultado, se puede esperar pasar de información sobre la variedad de menor dimensión S a información sobre el par . Por lo tanto, resulta natural estudiar pares con coeficiente 1, incluso si el objetivo es demostrar cosas sobre variedades. Una herramienta útil en tales argumentos es el teorema de inversión de la adjunción . Una versión simple dice: si S es de Cartier en X y es -Cartier, entonces el par es plt en algún entorno abierto de S si y solo si S es klt. ^{[ 26 ]}${\displaystyle K_{S}=(K_{X}+S)|_{S}}$${\displaystyle (X,S)}$${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle (X,S)}$

Una consecuencia importante de la condición dlt (y por lo tanto de todas las condiciones más fuertes) es: para un par dlt sobre un cuerpo de característica cero con efectivo, X tiene singularidades racionales. ^{[ 15 ]} Esto falla en general para pares log-canónicos (e incluso variedades log-canónicas), como se mencionó anteriormente.${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$

Se dice que una variedad X es de tipo klt si cada punto tiene un entorno abierto de Zariski U que contiene un -divisor efectivo tal que el par es klt. ^{[ 27 ]} (Una razón para hacer esta definición es que puede que no haya una elección natural de .) Por ejemplo, toda variedad tórica es de tipo klt. Para otro ejemplo, el cono afín Y sobre la incrustación de Segre , también conocido como la variedad determinante de matrices con rango a lo sumo 1, es de tipo klt pero no klt. ^{[ 13 ]} (De hecho, no es -Cartier, porque no es un múltiplo racional de en el grupo de Picard .) Según el párrafo anterior, el tipo klt implica singularidades racionales en característica cero.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle (U,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle X={\mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {P} }^{2}\subset \mathbf {P} ^{5}}$${\displaystyle 2\times 3}$${\displaystyle K_{Y}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle -K_{X}=O(2,3)}$${\displaystyle O_{{\mathbf {P} }^{5}}(1)|_{X}=O(1,1)}$${\displaystyle {\text{Pic}}({\mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {P} }^{2})\cong {\mathbb {Z} }^{2}}$

• Ideal multiplicador

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