Singularidad racional

En matemáticas , más particularmente en el campo de la geometría algebraica , un esquema${\displaystyle X}$tiene singularidades racionales , si es normal , de tipo finito sobre un cuerpo de característica cero, y existe una aplicación birracional propia

${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$

de un plan regular${\displaystyle Y}$de tal manera que las imágenes directas más altas de${\displaystyle f_{*}}$aplicado a${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$son triviales. Es decir,

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}=0}$para${\displaystyle i>0}$.

Si existe una resolución de este tipo, entonces se deduce que todas las resoluciones comparten esta propiedad, ya que cualesquiera dos resoluciones de singularidades pueden ser dominadas por una tercera.

Para superficies, las singularidades racionales fueron definidas por ( Artin 1966 ) .

Alternativamente, se puede decir que${\displaystyle X}$tiene singularidades racionales si y solo si el mapa natural en la categoría derivada

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow Rf_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$

es un cuasi-isomorfismo . Nótese que esto incluye la afirmación de que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\simeq f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$y por lo tanto la suposición de que${\displaystyle X}$es normal.

Existen nociones relacionadas en las características positivas y mixtas de

• pseudorracional

y

• F-racional

Las singularidades racionales son, en particular, las de Cohen-Macaulay , las normales y las de Du Bois . No tienen por qué ser de Gorenstein ni siquiera de Q-Gorenstein .

Las singularidades terminales logarítmicas son racionales. ^{[ 1 ]}

Un ejemplo de singularidad racional es el punto singular del cono cuádrico.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.\,}$

Artin ^{[ 2 ]} demostró que los puntos dobles racionales de las superficies algebraicas son las singularidades de Du Val .

• Singularidad elíptica

• Artin, Michael (1966), "Sobre singularidades racionales aisladas de superficies", American Journal of Mathematics , 88 (1), The Johns Hopkins University Press: 129–136 , doi : 10.2307/2373050 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373050 , MR 0199191   
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Geometría birracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, vol.  134, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959 
• Lipman, Joseph (1969), "Singularidades racionales, con aplicaciones a superficies algebraicas y factorización única" , Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 195–279 , ISSN 1618-1913 , MR 0276239