Glosario de teoría tensorial

Este es un glosario de teoría tensorial . Para exposiciones de la teoría tensorial desde diferentes puntos de vista, véase:

• Tensor
• Tensor (definición intrínseca)
• Aplicación de la teoría tensorial en la ciencia de la ingeniería.

Para conocer algo de la historia de la teoría abstracta, véase también álgebra multilineal .

cálculo de Ricci

El fundamento más antiguo de la teoría tensorial: la notación de índices tensoriales. ^{[ 1 ]}

Orden de un tensor

Los componentes de un tensor con respecto a una base son una matriz indexada. El orden de un tensor es el número de índices necesarios. Algunos textos pueden referirse al orden del tensor utilizando el término grado o rango .

Rango de un tensor

El rango de un tensor es el número mínimo de tensores de rango uno que deben sumarse para obtener dicho tensor. Un tensor de rango uno puede definirse como el producto exterior del número de vectores distintos de cero necesarios para obtener el orden correcto.

Tensor diádico

Un tensor diádico es un tensor de orden dos y puede representarse como una matriz cuadrada . En cambio, una díada es específicamente un tensor diádico de rango uno.

notación de Einstein

Esta notación se basa en el entendimiento de que, siempre que una matriz multidimensional contenga una letra de índice repetida, la interpretación por defecto es que el producto se suma sobre todos los valores permitidos del índice. Por ejemplo, si a _ij es una matriz, entonces, según esta convención, a _ii es su traza . La convención de Einstein se usa ampliamente en textos de física e ingeniería, hasta el punto de que, si no se va a aplicar la suma, es habitual indicarlo explícitamente.

delta de Kronecker

Símbolo de Levi-Civita

tensor covariante

tensor contravariante

La interpretación clásica se basa en componentes. Por ejemplo, en la forma diferencial a _i dx ^i, las componentes a _i forman un vector covariante. Esto significa que todos los índices son menores; si es contravariante, todos los índices son mayores.

tensor mixto

Esto se refiere a cualquier tensor que tenga índices tanto inferiores como superiores.

tensor cartesiano

Los tensores cartesianos se utilizan ampliamente en diversas ramas de la mecánica de medios continuos , como la mecánica de fluidos y la elasticidad . En la mecánica de medios continuos clásica, el espacio de interés suele ser el espacio euclidiano tridimensional , al igual que el espacio tangente en cada punto. Si restringimos las coordenadas locales a coordenadas cartesianas con la misma escala centradas en el punto de interés, el tensor métrico es la delta de Kronecker . Esto significa que no es necesario distinguir entre componentes covariantes y contravariantes, ni tampoco entre tensores y densidades tensoriales . Todos los índices de los tensores cartesianos se escriben como subíndices. Los tensores cartesianos logran una considerable simplificación computacional a costa de la generalidad y de cierta comprensión teórica.

Contracción de un tensor

Subida y bajada de índices

tensor simétrico

tensor antisimétrico

Productos cruzados múltiples

Esto evita el uso inicial de componentes y se distingue por el uso explícito del símbolo de producto tensorial.

producto tensorial

Si v y w son vectores en los espacios vectoriales V y W respectivamente, entonces

${\displaystyle v\otimes w}$

es un tensor en

${\displaystyle V\otimes W.}$

Es decir, la operación ⊗ es una operación binaria , pero traslada valores a un espacio nuevo (en sentido estricto, es externa ). La operación ⊗ es una aplicación bilineal , pero no se le aplican otras condiciones.

tensor puro

Un tensor puro de V ⊗ W es aquel que tiene la forma v ⊗ w .

Podría escribirse diádicamente a ⁱ b ^j , o más precisamente a ⁱ b ^j e _i ⊗ f _j , donde los e _i son una base para V y los f _j una base para W . Por lo tanto, a menos que V y W tengan la misma dimensión, la matriz de componentes no tiene por qué ser cuadrada. Tales tensores puros no son genéricos: si tanto V como W tienen dimensión mayor que 1, habrá tensores que no sean puros, y habrá condiciones no lineales que un tensor debe satisfacer para ser puro. Para más información, consulte la incrustación de Segre .

álgebra tensorial

En el álgebra tensorial T ( V ) de un espacio vectorial V , la operación${\displaystyle \otimes }$se convierte en una operación binaria (interna) normal . Una consecuencia es que T ( V ) tiene dimensión infinita a menos que V tenga dimensión 0. El álgebra libre en un conjunto X es, a efectos prácticos, la misma que el álgebra tensorial en el espacio vectorial con X como base.

Operador estrella de Hodge

Energía exterior

El producto exterior es la forma antisimétrica de la operación ⊗ . El espacio cociente de T ( V ) en el que se convierte en una operación interna es el álgebra exterior de V ; es un álgebra graduada , donde la parte graduada de peso k se denomina k - ésima potencia exterior de V.

Potencia simétrica, álgebra simétrica

Esta es la forma invariante de construir álgebras de polinomios .

Tensor métrico

tensor de deformación

Tensor de energía-tensión

matriz jacobiana

Campo tensorial

Densidad tensorial

Derivada de Lie

derivada tensorial

Geometría diferencial

Producto tensorial de campos

Esta es una operación sobre campos que no siempre produce un campo.

Producto tensorial de álgebras R

Módulo Clifford

Una representación de un álgebra de Clifford que proporciona una realización de un álgebra de Clifford como un álgebra matricial.

functores Tor

Estos son los functores derivados del producto tensorial, y tienen un papel fundamental en el álgebra homológica . Su nombre proviene del subgrupo de torsión en la teoría de grupos abelianos .

Método simbólico de la teoría de invariantes

Categoría derivada

Las seis operaciones de Grothendieck

Se trata de enfoques altamente abstractos que se utilizan en algunas ramas de la geometría.

Ver:

Grupo de espín

Grupo Spin-c

Espino

Grupo de pines

Pinors

campo espinorial

Matar espino

colector de giro

• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover, 1980  ), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). Vectores y tensores en ingeniería y física (2.ª  ed.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Análisis tensorial y funciones tensoriales no lineales . Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• Synge, John L ; Schild, Alfred (1949). Cálculo tensorial . Publicaciones de Dover edición de 1978. ISBN 978-0-486-63612-2.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )