Espacio simétrico

El teorema de Cartan-Ambrose-Hicks implica que M es localmente riemanniano simétrico si y solo si su tensor de curvatura es covariante constante , y además que todo espacio localmente riemanniano completo y simplemente conexo es en realidad riemanniano simétrico.

Todo espacio simétrico riemanniano M es completo y homogéneo riemanniano (lo que significa que el grupo de isometrías de M actúa transitivamente sobre M ). De hecho, la componente identidad del grupo de isometrías actúa transitivamente sobre M (porque M es conexo).

Los espacios simétricos localmente riemannianos que no son simétricos riemannianos pueden construirse como cocientes de espacios simétricos riemannianos mediante grupos discretos de isometrías sin puntos fijos, y como subconjuntos abiertos de espacios simétricos (localmente) riemannianos.

Ejemplos básicos de espacios simétricos riemannianos son el espacio euclidiano , las esferas , los espacios proyectivos y los espacios hiperbólicos , cada uno con su métrica riemanniana estándar. Otros ejemplos los proporcionan los grupos de Lie compactos y semisimples equipados con una métrica riemanniana bi-invariante.

Toda superficie de Riemann compacta de género mayor que 1 (con su métrica habitual de curvatura constante − 1) es un espacio localmente simétrico, pero no un espacio simétrico.

Cada espacio lente es localmente simétrico pero no simétrico, con la excepción de${\displaystyle L(2,1)}$, que es simétrica. Los espacios de las lentes son cocientes de la 3-esfera mediante una isometría discreta que no tiene puntos fijos.

Un ejemplo de espacio simétrico no riemanniano es el espacio anti-de Sitter .

Un espacio simétrico riemanniano simplemente conexo se denomina irreducible si no es el producto de dos o más espacios simétricos riemannianos. Se puede demostrar entonces que cualquier espacio simétrico riemanniano simplemente conexo es un producto riemanniano de espacios irreducibles. Por lo tanto, podemos limitarnos a clasificar los espacios simétricos riemannianos irreducibles y simplemente conexos.

El siguiente paso es demostrar que cualquier espacio simétrico riemanniano irreducible y simplemente conexo M es de uno de los tres tipos siguientes:

1. Tipo euclidiano : M tiene curvatura nula y, por lo tanto, es isométrico a un espacio euclidiano .
2. Tipo compacto : M tiene una curvatura seccional no negativa (pero no idénticamente cero) .
3. Tipo no compacto : M tiene una curvatura seccional no positiva (pero no idénticamente cero).

Un invariante más refinado es el rango , que es la dimensión máxima de un subespacio del espacio tangente (a cualquier punto) en el que la curvatura es idénticamente cero. El rango siempre es al menos uno, con igualdad si la curvatura seccional es positiva o negativa. Si la curvatura es positiva, el espacio es de tipo compacto, y si es negativa, es de tipo no compacto. Los espacios de tipo euclidiano tienen rango igual a su dimensión y son isométricos a un espacio euclidiano de esa dimensión. Por lo tanto, queda por clasificar los espacios simétricos riemannianos irreducibles y simplemente conexos de tipo compacto y no compacto. En ambos casos hay dos clases.

A. G es un grupo de Lie simple (real);

B. G es o bien el producto de un grupo de Lie simple y compacto consigo mismo (tipo compacto), o bien una complejización de dicho grupo de Lie (tipo no compacto).

Los ejemplos de la clase B se describen completamente mediante la clasificación de grupos de Lie simples . Para el tipo compacto, M es un grupo de Lie simple compacto simplemente conexo, G es M × M y K es el subgrupo diagonal. Para el tipo no compacto, G es un grupo de Lie simple complejo simplemente conexo y K es su subgrupo compacto maximal. En ambos casos, el rango es el rango de G.

Los grupos de Lie compactos simplemente conexos son los recubrimientos universales de los grupos de Lie clásicos SO( n ), SU( n ), Sp( n ) y los cinco grupos de Lie excepcionales E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ .

Los ejemplos de la clase A se describen completamente mediante la clasificación de grupos de Lie simples reales no compactos simplemente conexos. Para el tipo no compacto, G es un grupo de este tipo y K es su subgrupo compacto maximal. Cada ejemplo de este tipo tiene un ejemplo correspondiente de tipo compacto, considerando un subgrupo compacto maximal de la complejización de G que contiene a K. De forma más directa, los ejemplos de tipo compacto se clasifican mediante automorfismos involutivos de grupos de Lie simples compactos simplemente conexos G (salvo conjugación). Estas involuciones se extienden a involuciones de la complejización de G , y estas a su vez clasifican las formas reales no compactas de G.

En ambas clases, A y B, existe una correspondencia entre espacios simétricos de tipo compacto y de tipo no compacto. Esto se conoce como dualidad en los espacios simétricos riemannianos.

Especializándose en los espacios simétricos riemannianos de clase A y tipo compacto, Cartan descubrió que existen las siguientes siete series infinitas y doce espacios simétricos riemannianos excepcionales G / K . Aquí se presentan en términos de G y K , junto con una interpretación geométrica, si está disponible. La nomenclatura de estos espacios es la que utilizó Cartan.

Una clasificación más moderna ( Huang y Leung 2010 ) clasifica uniformemente los espacios simétricos riemannianos, tanto compactos como no compactos, mediante una construcción de cuadrado mágico de Freudenthal . Los espacios simétricos riemannianos compactos irreducibles son, salvo recubrimientos finitos, un grupo de Lie simple compacto, un grassmanniano, un grassmanniano lagrangiano o un grassmanniano lagrangiano doble de subespacios de${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$para las álgebras de división normadas A y B. Una construcción similar produce los espacios simétricos riemannianos irreducibles no compactos.

La clasificación de los espacios simétricos riemannianos no se extiende fácilmente al caso general por la sencilla razón de que no existe una división general de un espacio simétrico en un producto de irreducibles. Aquí, un espacio simétrico G / H con álgebra de Lie

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$

Se dice que es irreductible si${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es una representación irreducible de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$. Desde ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$En general, no es semisimple (ni siquiera reductivo), puede tener representaciones indescomponibles que no son irreducibles.

Sin embargo, los espacios simétricos irreducibles pueden clasificarse. Como lo demostró Katsumi Nomizu , existe una dicotomía: un espacio simétrico irreducible G / H es plano (es decir, un espacio afín) o${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es semisimple. Este es el análogo de la dicotomía riemanniana entre espacios euclidianos y aquellos de tipo compacto o no compacto, y motivó a M. Berger a clasificar los espacios simétricos semisimples (es decir, aquellos con ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ semisimples) y determinar cuáles de estos son irreducibles. La última cuestión es más sutil que en el caso riemanniano: incluso si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Es simple, G / H podría no ser irreducible.

Como en el caso riemanniano, existen espacios simétricos semisimples con G = H × H. Cualquier espacio simétrico semisimple es un producto de espacios simétricos de esta forma con espacios simétricos tales que${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es simple. Resta describir el último caso. Para ello, es necesario clasificar las involuciones σ de un álgebra de Lie simple (real).${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$no es sencillo, entonces${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie simple compleja, y los espacios simétricos correspondientes tienen la forma G / H , donde H es una forma real de G : estos son los análogos de los espacios simétricos riemannianos G / K con G un grupo de Lie simple complejo, y K un subgrupo compacto maximal.

Por lo tanto podemos suponer${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$es simple. La subálgebra real${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$puede considerarse como el conjunto de puntos fijos de una involución antilineal compleja τ de${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$, mientras que σ se extiende a una involución antilineal compleja de${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$conmuta con τ y, por lo tanto, también una involución lineal compleja σ ∘ τ .

La clasificación se reduce, por lo tanto, a la clasificación de pares conmutativos de involuciones antilineales de un álgebra de Lie compleja. El compuesto σ ∘ τ determina un espacio simétrico complejo, mientras que τ determina una forma real. A partir de esto, es fácil construir tablas de espacios simétricos para cualquier espacio dado.${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$Además, existe una dualidad obvia que se obtiene al intercambiar σ y τ . Esto extiende la dualidad compacto/no compacto del caso riemanniano, donde σ o τ es una involución de Cartan , es decir, su conjunto de puntos fijos es una subálgebra compacta máxima.

La siguiente tabla indexa los espacios simétricos reales por espacios simétricos complejos y formas reales, para cada grupo de Lie simple complejo clásico y excepcional.

Para grupos de Lie simples excepcionales, el caso riemanniano se incluye explícitamente más adelante, permitiendo que σ sea la involución identidad (indicada por un guion). En las tablas anteriores, esto está implícitamente cubierto por el caso kl = 0 .

El tensor métrico en la variedad riemanniana M se puede elevar a un producto escalar en G combinándolo con la forma de Killing . Esto se hace definiendo

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\mathfrak {g}}={\begin{cases}\langle X,Y\rangle _{p}\quad &X,Y\in T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}\\-B(X,Y)\quad &X,Y\in {\mathfrak {h}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

Aquí,${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{p}}$es la métrica riemanniana definida en${\displaystyle T_{p}M}$, y${\displaystyle B(X,Y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} X\circ \operatorname {ad} Y)}$es la forma de Killing . El signo menos aparece porque la forma de Killing es definida negativa en${\displaystyle {\mathfrak {h}}~;}$esto hace${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathfrak {g}}}$positivo-definido.

El espacio tangente${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$puede factorizarse aún más en autoespacios clasificados por la forma de Killing. ^{[ 1 ]} Esto se logra definiendo un mapa adjunto${\displaystyle {\mathfrak {m}}\to {\mathfrak {m}}}$tomando${\displaystyle Y\mapsto Y^{\#}}$como

${\displaystyle \langle X,Y^{\#}\rangle =B(X,Y)}$

dónde${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$es la métrica riemanniana en${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$y${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$es la forma de Killing. Este mapa a veces se denomina transpuesta generalizada , ya que corresponde a la transpuesta para los grupos ortogonales y al conjugado hermitiano para los grupos unitarios. Es un funcional lineal y es autoadjunto, por lo que se concluye que existe una base ortonormal.${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$de${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$con

${\displaystyle Y_{i}^{\#}=\lambda _{i}Y_{i}}$

Estos son ortogonales con respecto a la métrica, en el sentido de que

${\displaystyle \langle Y_{i}^{\#},Y_{j}\rangle =\lambda _{i}\langle Y_{i},Y_{j}\rangle =B(Y_{i},Y_{j})=\langle Y_{j}^{\#},Y_{i}\rangle =\lambda _{j}\langle Y_{j},Y_{i}\rangle }$

ya que la forma de Killing es simétrica. Esto se factoriza${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$en espacios propios

${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {m}}_{d}}$

con

${\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0}$

para${\displaystyle i\neq j}$. En el caso de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$semisimple, de modo que la forma de Killing no sea degenerada, la métrica también se factoriza:

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ={\frac {1}{\lambda _{1}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{1}}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{d}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{d}}}$

En ciertas aplicaciones prácticas, esta factorización puede interpretarse como el espectro de operadores, por ejemplo, el espectro del átomo de hidrógeno, donde los autovalores de la forma de Killing corresponden a diferentes valores del momento angular de un orbital ( es decir, la forma de Killing es un operador de Casimir que puede clasificar las diferentes representaciones bajo las cuales se transforman los distintos orbitales).

La clasificación de los espacios simétricos se basa en si la forma de Killing es definida o no.

Si el componente identidad del grupo de holonomía de una variedad riemanniana en un punto actúa irreduciblemente sobre el espacio tangente, entonces o bien la variedad es un espacio simétrico localmente riemanniano, o bien pertenece a una de 7 familias .

Un espacio simétrico riemanniano que, además, posee una estructura compleja paralela compatible con la métrica riemanniana se denomina espacio simétrico hermitiano . Algunos ejemplos son los espacios vectoriales complejos y los espacios proyectivos complejos, ambos con su métrica riemanniana habitual, y las bolas unitarias complejas con métricas adecuadas que las hacen completas y simétricas riemannianas.

Un espacio simétrico irreducible G / K es hermitiano si y solo si K contiene un círculo central. Un giro de un cuarto de vuelta de este círculo actúa como una multiplicación por i en el espacio tangente en la clase lateral identidad. Por lo tanto, los espacios simétricos hermitianos se deducen fácilmente de la clasificación. Tanto en el caso compacto como en el no compacto, se observan cuatro series infinitas, a saber, AIII, BDI con p = 2 , DIII y CI, y dos espacios excepcionales, a saber, EIII y EVII. Los espacios simétricos hermitianos no compactos pueden representarse como dominios simétricos acotados en espacios vectoriales complejos.

Un espacio simétrico riemanniano que además está equipado con un subfibrado paralelo de End(T M ) isomorfo a los cuaterniones imaginarios en cada punto, y compatible con la métrica riemanniana, se llama espacio simétrico de cuaternión-Kähler .

Un espacio simétrico irreducible G / K es cuaternión-Kähler si y solo si la representación isotrópica de K contiene un sumando Sp(1) que actúa como los cuaterniones unitarios en un espacio vectorial cuaterniónico . Por lo tanto, los espacios simétricos cuaternión-Kähler se leen fácilmente a partir de la clasificación. Tanto en los casos compactos como en los no compactos, resulta que hay exactamente uno para cada grupo de Lie simple complejo, a saber, AI con p = 2 o q = 2 (estos son isomorfos), BDI con p = 4 o q = 4, CII con p = 1 o q = 1, EII, EVI, EIX, FI y G.             

En el teorema de periodicidad de Bott , los espacios de lazos del grupo ortogonal estable pueden interpretarse como espacios simétricos reductivos.